傅里葉后焦面成像原理及應用

方蔚瑞

(大連理工大學 物理學院，遼寧 大連 116024)

1 傅里葉變換光學簡介

傅里葉變換光學是光學這門古老而又新穎的學科中較老而又具有重要當代應用價值的方向. 傳統的傅里葉變換光學在20世紀60年代就已經非常成熟. 但是隨著微納加工技術的發展、納米光學的研究以及量子點等小尺寸樣品研究的需要，從Lieb等人利用現代顯微鏡做的工作后[1]，傅里葉顯微鏡又在現代技術的基礎上重新發展起來. 本文基于傅里葉變換光學的基本原理介紹了傅里葉顯微技術及其在前沿科技中的應用.

由于顯微成像時被觀測物總是遠小于物鏡的尺寸，因此在以下的討論中，為了避免陷入復雜的數學處理，假定透射窗函數為1，僅利用菲涅耳衍射、夫瑯禾費衍射、透鏡相位變換以及傅里葉變換的語言來敘述而避免使用角譜理論等. 而且只考慮單色光的變換，非單色光近似為不同色光光強的線性疊加.

2 傅里葉變換原理

根據基本數學原理，函數U的二維傅里葉變換的積分表示為[2]

(1)

其逆變換為

(2)

傅里葉變換的卷積關系為，如果

U2(ξ,η)?h(x,y),

(3)

則其傅里葉變換滿足

FU1(fx,fy)=H(fx,fy)FU2(fx,fy),

(4)

其中H(fx,fy)為h(x,y)的傅里葉變換

(5)

2.1 衍射屏可以看成余弦光柵疊加

由于實際被觀測物或者衍射屏由各種原子或分子組成，其大小遠小于可見光半波長，因此可以看作是連續的. 由此假定任何(一維)衍射屏的空間特征都可以用傅里葉變換分解為不同頻率的余弦光柵的疊加：

(6)

衍射積分的本質是脈沖響應系統的線性疊加，所以光屏的衍射完全可以用傅里葉變換進行研究. 二維衍射屏只是一維情形的直接擴展.

2.2 菲涅耳衍射與夫瑯禾費衍射作為分頻原理

菲涅耳近似和夫瑯禾費衍射與傍軸近似是等價的[2].

由此，菲涅耳衍射的結果是與x2+y2相關的因子相乘的緊靠孔徑屏的復場與關于ξ2+η2二次相位因子的傅里葉變換. 所以菲涅耳衍射可以看成是緊鄰衍射孔附近的光場的傅里葉變換.

(8)

(9)

由于夫瑯禾費近似所需要的條件非常苛刻，一般在實驗室利用增加透鏡的方式實現. 所以利用透鏡實現的夫瑯禾費衍射本身就是傅里葉變換. 夫瑯禾費衍射可實現衍射分頻.

2.3 薄透鏡變換函數

考慮如圖1所示的一般透鏡(左側球面半徑為R1，右側球面半徑為R2，當光從左側入射，則R1取正、R2取負)的相位延遲，有

φ(x,y)=knΔ(x,y)+k[Δ0-Δ(x,y)],

(10)

tl(x,y)=ejkΔ0ejk(n-1)Δ(x,y),

(11)

(12)

由于考慮光強，忽略常相位因子Δ0,在傍軸條件下,考慮平面波正入射而且場分布為1，則透射后場分布

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

為球面波.

圖1 透鏡光程函數計算示意圖

2.4 薄透鏡的傅里葉變換性質

考慮如圖2(a)所示的光路，輸入物屏[透射函數為to(x,y)]平行于透鏡平面緊挨著透鏡放在透鏡前，用垂直于屏的振幅為A的平面波照射，則透鏡后振幅分布為

(18)

利用菲涅耳衍射公式，在透鏡的后焦面(z=f)上，忽略定常相位因子ejkf，有

(19)

可以看出，這時的光場分布與夫瑯禾費衍射式(8)完全一致. 這也是由于在透鏡存在的情況下，后焦面上的成像可以看成是入射方平行光線在無窮遠處成像，這樣是滿足夫瑯禾費衍射條件的，這也是在實驗室中利用透鏡來實現夫瑯禾費衍射的原因. 在這種情況下，由于積分號前面的二次相位因子的存在，這個傅里葉變換關系還不是確定的.

(a)物屏緊挨透鏡放置

(b)物屏放在透鏡前距離為d處圖2 正透鏡后焦面成像光路圖

接下來考慮一般光路如圖2(b)所示，輸入物屏[透射函數為to(ξ,η)]平行于透鏡平面放在透鏡前面距離d處，用垂直于屏的振幅為A的平面波照射. 為了方便推導，令Fo(fξ,fη)為輸入衍射物屏光場Uo=Ato(x,y)的傅里葉頻譜，Fl(fx,fy)為物屏的光信號投射到透鏡入射面的位置的光場Ul(x,y)的傅里葉頻譜,則可以寫出投射到透鏡后焦面(z=f)上的光場為(忽略定常相位因子ejkf)

(20)

Uo(ξ,η)?h(x,y) ,

(21)

(22)

Fl(fx,fy)=H(fx,fy)Fo(fξ,fη).

(23)

代入式(20)，有

g(u,v)Fo(fξ,fη),

(24)

其中

(25)

在運算中忽略了常相位因子ejk(d+f).

2.5 實例：頻譜分析、余弦光柵

從2.1節可知，余弦光柵可以作為最基本的衍射單元來分解各種衍射屏. 下面利用一維余弦光柵作為衍射屏來展示傅里葉變換過程. 假設余弦光柵的透過率函數為

tcos(x,y)=t0+t1cos (2πfxx+ψ0)，

(26)

當1束單色平行光(波前為U0)照射到余弦光柵上，假設ψ0=0，經過余弦光柵之后的波前為

Ucos(x,y)=U0tcos(x,y)=U0[t0+t1cos (2πfxx)]=

(27)

如果此余弦光柵位于透鏡前焦面上，則透鏡后焦面上的光場為(與y方向無關)

2πδ(u-0)δ(v-0)+πδ(u+kx)δ(v-0)+

πδ(u-kx)δ(v-0) ,

(28)

可以看出一維余弦光柵在薄透鏡焦面上是3個亮點，其中中間一點位于光軸上，另外2點位于兩側并且與第一點對稱分布(圖3). 其中kx=2πfx=2π/dx，反映了物屏的周期以及光波在x方向的波矢，ky=0.

圖3 單色平面波正入射照明時余弦光柵1級衍射示意圖

對于其他周期性函數，可以看成是多個不同周期的余弦光柵疊加而成，每個余弦光柵在透鏡后焦面的光場分布都具有相應的頻率點，由此達到分頻的目的.

2.6 從衍射、薄透鏡傅里葉變換的角度看衍射極限與近場光學

(29)

這3列平面波經過透鏡聚焦以后分別會聚于3個焦點，即余弦光柵的衍射斑. 式(29)正好是夫瑯禾費1級衍射公式，或者看成是周期為ndx的光柵的高階衍射.

U+1=U0ej(kxx+kyy+kzz),

(30)

其中

(31)

同時，在衍射光柵出射面有

kx=2πfx，ky=0,

(32)

所以

(33)

(a)同空間頻率的不同級衍射

(b)不同空間頻率的1級衍射圖4 單色平面波正入射時衍射屏衍射分頻示意圖

一般來說，在透鏡的成像過程中，由于物鏡的口徑有限，物體結構的高階衍射也不能被收集到，所以很自然會丟失一些信息. 增大物鏡口徑，只能收集到更多的高階衍射的光，以及更加逼近波長尺度的結構的衍射光，但并不能(收集隱失場信息而)突破衍射極限. 通過增加物鏡與樣品之間介質的折射率(如油浸入式物鏡)可以減小衍射角θ±1從而增大數值孔徑NA=nsinθ(變相增大fx)讓更加精細結構的光被收集到，也可以增加分辨率. 但是一般匹配的油的折射率無法增加太多，所以從傅里葉光學的角度講，衍射極限也無法被突破. 所以目前非掃描式光學顯微鏡增加分辨率(在此不討論基于掃描式及點擴散函數的數學處理實現超分辨的顯微鏡)的主要途徑是減小波長λ(增大f0)的方式. 其中利用短波成像以及高次諧波實現超分辨是比較常用的手段. 所以由于超精細結構的衍射場為隱失場無法傳播到遠場，只能利用近場光學的手段準確探測超精細結構(基于點擴散函數的掃描式遠場超分辨顯微鏡也只能給出遠場信息).

3 傅里葉后焦面成像裝置

除了傳統的利用透鏡組的傅里葉變換光學，近年來傅里葉后焦面成像(Fourier back plan, FBP)在表面等離激元光子學以及光子晶體領域重新被科學家所利用. 但是由于表面等離激元光子學領域的重新興起是由于微納加工技術所帶來的，而對于微納樣品的測量不可避免地會用到顯微鏡來進行有效觀察,所以接下來首先介紹現代顯微鏡系統中的FBP原理及裝置.

3.1 無限遠光學系統滿足夫瑯禾費衍射條件及近似薄透鏡條件

3.1.1 無限遠光學系統

現在科研用的顯微鏡經過不斷改進，早已區別于早期的顯微鏡. 早期的顯微鏡[圖5(a)]樣品放在物鏡焦距與2倍焦距之間，在鏡筒中形成倒立放大的實像，然后利用CCD對此實像直接成像，或者利用目鏡進行觀察. 其中放大倍數為物鏡放大倍數乘以目鏡(或者CCD)放大倍數. 在這種設計中，鏡筒的長度是一定的，不同的廠家具有不同標準，一般為160 mm, 180 mm 或200 mm，所以缺點也很明顯，即若要想加入偏振片等其他光學元件，整個鏡筒的長度就得重新設計，非常麻煩. 現在科研用顯微鏡為無限遠光學系統[圖5(b)]. 在無限遠光學系統成像過程中，樣品位于物鏡的焦面上，經過物鏡以后，樣品上每點發出的光線都為平行光，然后利用結像透鏡(Tube lens)聚焦后在結像透鏡的后焦面上形成倒立的實像，利用目鏡或者CCD進行觀察. 在此過程中，由于經過物鏡后光線為平行光，所以可以在中間增加各種兩面平行的光學元件而不改變光路. 由于是平行光，原則上鏡筒可以無限延伸，所以也被稱為無限遠光學系統. 而結像透鏡的焦距是固定的，各個廠家都與自己的老式設計標準相一致(160 mm, 180 mm 或者200 mm). 而實像的放大倍數為結像透鏡的焦距除以物鏡的焦距.

圖5 有限遠與無限遠光學顯微鏡示意圖

3.1.2 無限遠光學系統中的物鏡及結像透鏡

無限遠光學系統實際采用的物鏡[如圖6所示(圖片許可轉載自參考文獻[4-5])]有平場消球差、復消色差、消像差、彗差等各種設計及其組合設計，精巧的設計使得現代物鏡都滿足傍軸條件.

(a)無限遠消球差消色差平場油浸入式顯微物鏡

(b)無限遠物鏡的內部光路圖圖6 無限遠光學系采用的物鏡

從圖6(b)[5]的光線路徑看，如果將物鏡看為黑盒子，只考慮入瞳與出瞳，物鏡可以滿足薄透鏡近似條件. 盡管在廠商的專利中也沒給出所有的參數，但是Kurvits等人還是根據專利中的參數，并且結合實際拆開的物鏡，對各種品牌及各種規格的物鏡用幾何光學方法進行了研究(圖7)[6]. 研究表明，部分物鏡在數值孔徑大于1.3時，會出現比較嚴重的畸變. 而且高的NA/nimmerge會導致較高的畸變. 一般來說，需要選擇低放大倍數及高數值孔徑的物鏡. 對于一定的數值孔徑，較小放大倍數將能得到較大的傅里葉后焦面圖像，而且圖像并不會隨著焦距的增大而變模糊. 在實際選擇中，由于需要一定的放大倍數，所以只能選擇較高折射率的物鏡油，以及較大的物鏡出瞳孔徑. 在后方搭建傅里葉面處，選擇較長的焦距的透鏡. 隨著發光物點尺寸的減小，這種畸變會越來越小.

圖7 利用幾何光學方法對無限遠光學顯微鏡傅里葉后焦面成像畸變程度的研究

另外在科研中一般為了能夠直接測量樣品的散射角度，一般利用高倍(>50×)的油浸入式物鏡，這種物鏡一般都是平場復消色差物鏡. 盡管Kurvits等人的研究[6]表明對于低倍的平場物鏡，其傅里葉變換效果最好，但是在實際高倍測量中，只關注視場中心很小的區域的信號，所以在這些測量中都滿足以上討論的近似條件.

3.1.3 照明與成像

明場為科爾照明系統，屬于平行光入射；暗場為直接發射，滿足惠更斯-菲涅耳二次波源的條件，所以可以直接利用菲涅耳衍射條件，從而也滿足式(7)(從另一方面看，暗場照明激發的散射光也可以看成是球面波照明，此時如果物屏位于透鏡前焦面，在后焦面上的場與物屏場也滿足嚴格的傅里葉變換關系).

在顯微測量中，無限遠光學系統的樣品位于物鏡焦平面上，所以一定滿足之前嚴格傅里葉變換條件. 但由于物鏡的共軛焦點位于物鏡鏡筒內部，無法在物鏡后焦面上直接進行傅里葉成像測量，一般是先經過結像透鏡在結像透鏡后焦面(一般在安裝成像CCD的接口處，此焦面在顯微鏡外部)上成倒立實像，然后在顯微鏡外部利用薄透鏡對此倒立放大的實像進行傅里葉變換.

3.2 傅里葉后焦面成像裝置

在科研中，將傅里葉變換透鏡波特蘭透鏡(不改變原有光路共軛焦面位置)置于光路不同的部分，傅里葉后焦面成像裝置具有4種不同的搭建方式(圖7)[6]. 但是一般為了在測量中保證測量樣品或者樣品部分的準確性，一般需要同時采集顯微圖像. 同時考慮到方便性、后焦面的放大倍數等因素，比較方便的做法是利用4f系統(盡管Kurvits等人的分析顯示BIP及AIP配置會稍好一些，但是一般在研究中會考慮實際的實現問題)，通過轉動改變最后1個透鏡的焦距從而實現采集實像還是傅里葉像. 如圖8所示[4]的4f系統，透鏡1與透鏡2是具有相同焦距的薄透鏡，一般不鍍膜. 結像透鏡成的實像位于3處，此像位于透鏡1的前焦面，同時此像也位于結像透鏡的后焦面上，所以可以看成是球面波照明. 經過透鏡1之后，在后焦面上將成嚴格的傅里葉變換像，此時如果將透鏡2的前焦面與透鏡1的后焦面重合，則在透鏡2的后焦面上成正立的實像，一般將CCD安置在透鏡2的后焦面上. 而如果利用光學轉輪將透鏡2替換為透鏡2′，其焦距為透鏡2焦距的一半，則此時在CCD上將成透鏡1后焦面的倒立等大的實像，亦即像面3所成像的傅里葉變換像.

從顯微鏡外的成像過程中可以看出，單色光成像滿足嚴格的傅里葉變換關系. 在實際的實驗中，對于白光成像的傅里葉變換來說，由于勃蘭特透鏡并不能在全波段進行色散校正，傅里葉變換會呈現出偏差，但是在科研中，由于選擇的透鏡焦距的標定位于研究光源的中心波段，所以一般認為是滿足傅里葉變換關系的，不做進一步討論；而且實際實驗中一般利用焦距很大的透鏡來搭建裝置，這樣也能減小色散的影響.

圖8 傅里葉后焦面成像裝置示意圖

另一方面此傅里葉變換是較嚴格的針對結像透鏡所成的像的傅里葉變換，而被研究樣品是位于物鏡前焦面的實際物體，在這個過程中裝置是否滿足了結像透鏡的像嚴格反映了待測物的性質. 從3.1中可以看出在物鏡部分，滿足傍軸條件與薄透鏡近似條件. 在無限遠光學系統中，結像透鏡一般是2個透鏡直接膠合而成，而且在無限遠光學系統中，結像透鏡的入射角很小，滿足傍軸條件. 而在結像透鏡成像時，由于物鏡的出射光是平行光(針對某一點來說，滿足點擴散函數條件及線性響應條件)，所以在無限遠光學系統的鏡筒中，可以看成是物鏡后焦面的二次點源的夫瑯禾費衍射，利用結像透鏡將此夫瑯禾費衍射成像在后焦面上，所以結像透鏡的像是物鏡傅里葉像的嚴格傅里葉變換. 從另一方面來看，這種情況也可以看成是d=∞時式(24)的近似，也是滿足傅里葉變換關系的. 在此過程中，廠家為了獲得較好的成像質量，盡量將物鏡出瞳孔徑做大同時將出瞳角限制在較小的數值上，從而使得盡量多的信息傳遞到了結像透鏡的入射面.

4 傅里葉后焦面成像前沿應用

傅里葉光學的理論在20世紀60年代就已經非常完善，并且廣泛應用了. 與表面等離激元光子學的重新興起及納米光學的發展一樣，傅里葉光學的現代重新發展得益于20世紀90年代開始大規模普及的微納加工技術. 納米光學的興起使得在衍射極限的尺度有了新的值得研究的現象. 由此介紹的傅里葉后焦面成像的前沿應用也主要聚焦在納米光學方面.

4.1 空間濾波或k空間重構成像

傳統傅里葉變換的直接應用之一是進行空間濾波，并且直接進行圖像微分處理，這也是阿貝爾原理的直接應用. 相關的現代進展還是進行圖像微分從而使得圖像更加清晰.

當物處于物鏡前焦面時，在傅里葉面上會出現很多衍射斑點. 如果擋住高階的衍射斑點，像面上的圖像將變得很模糊. 反之，如果擋住低階的衍射斑點，那么像的邊緣將變得非常銳利，類似在圖像處理軟件中進行的圖像微分. 這個原理在現在前沿研究中被用來進行可編程圖像處理. 如圖9所示[7]，物體位于物鏡前焦面，L1是結像透鏡，其所成的像在圖中像面的位置. 經過透鏡L2，可以在L2后焦面上成傅里葉變換像，可以在LCOS位置進行圖像采集. 在這項研究中，LCOS前面是可編程空間調制器，可以通過編程實現不同位置、不同區域的光透過或者被反射，即傅里葉面的空間濾波器. 被反射的光經過NPBS的反射，再次通過透鏡L3成實空間像. 如圖9所示[7]相當于高通濾波器，可以進行圖像微分，所成像也只有邊界.

另外近年來發展出利用傅里葉面濾波進行圖像重構從而實現高分辨成像的被稱為傅里葉掃瞳顯微鏡(Fourier ptychographic microscopy，FPM)的技術. 這種技術一開始是利用計算機程序對圖像進行傅里葉變換再重構[8]. 但是最近Tian等利用物鏡的后焦面位于物鏡出瞳位置直接實現用出瞳進行傅里葉濾波，之后再利用算法算出出瞳透過函數及傅里葉空間像從而進行圖像重構[9]. 如圖10所示[9]，LED照明陣列可以發出光從不同的角度照亮樣品. 由光學位移相移定理可知這相當于在樣品衍射單元上附加入射的相位差，這樣夫瑯禾費衍射斑點在k空間會產生相應的位移. 而出瞳孔徑的位置不變，所以可以進行一定的濾波. 不同的LED位置照明相當于在k空間取不同的空間頻率進行濾波，然后進行成像. 在獲得圖像之后，利用傅里葉變換算法獲得一定的振幅與相位信息，并且將此振幅與相位信息作為輸入信息，再改變LED照明位置采集圖像，進行下一輪的傅里葉變換，這種算法是自洽的，從而最終獲得重構的圖像. 當利用傾斜光照明時，相當于將0級衍射進行偏移，從而使得高階的夫瑯禾費衍射光進入透鏡，同時高頻信息及部分精細結構的信息也會進入透鏡(如圖10所示)[9]. 相似的通過計算機傅里葉變換重構的工作見文獻[8,10-11].

(a)可編程傅里葉濾波成像顯微鏡示意圖

(Ⅰ)可編程空間反射調制器 (Ⅱ)樣品的像

(Ⅲ) LCOS過濾孔反射 (Ⅳ) LCOS過濾孔反射 后所成的像 后所成的像(b)成像示意圖圖9 可編程傅里葉濾波成像顯微鏡光路圖及成像示意圖

(a)不同傾斜角照明時的不同級衍射光方向示意圖

(b)原理圖

(c)實驗裝置

(d)不同位置LED照明時對應的k空間位置及所成的像

(e)最終所成的高分辨圖像圖10 通過多點隨機傾斜照明方式來獲得高階信息進行高分辨圖像重構的顯微鏡

4.2 漏模顯微鏡及其應用：波導模式測量

傅里葉變換的物面上的空間頻率fx實際上反映了衍射光在垂直于光軸方向傳播的波矢(kx=2πfx). 以余弦光柵為例，光波在焦面方向滿足周期性邊界條件，從而使得只有與此周期匹配的光波存在. 另一方面，只要焦面上存在周期性光波，并且能傳播到遠場，那么就能利用傅里葉顯微鏡進行變換成像. 這種傅里葉后焦面成像裝置(第3節所述的裝置)一般被稱為漏模顯微鏡(Leakage radiation microscopy, LRM). 這是由倒易原理來的. 當1束光從光密介質入射到光疏介質時，如果入射角大于臨界角，將會發生全反射現象，并且在界面處產生倏逝波，倏逝波的波矢與入射光波矢的平行分量相同. 反之，如果在界面上有1列傳播的隱失波，則相應地在光密介質中會在一定的角度產生1束出射光，出射光波矢的平行分量與隱失波的波矢相同. 所以將這束出射光稱為漏模(Leakage mode). 其原理如圖11(a)所示. 隱失波的波矢實際上反映了界面上的空間特征，所以利用這個現象可以進行傅里葉變換成像. 這種顯微鏡一般用倒置顯微鏡并且利用油浸入式物鏡直接匹配樣品的襯底的折射率.

(a)光學倒易原理

(b)金屬薄膜SPP漏模

(c)金屬薄膜2個界面的色散關系圖11 金屬薄膜的漏模原理

早期研究是直接利用半球透鏡的發射方向在出射面不改變的原理來成像的[13-14]，所以不存在傅里葉變換關系. 較早期的直接利用漏模顯微鏡的對波矢成像的工作是Drezet等人做出的[15]. 如圖12所示[15]，利用掃描近場光學顯微鏡或者單顆粒缺陷激發起表面等離激元，等離激元的漏模經過傅里葉變換，在后焦面除了直接入射的光斑外，還存在2個半弧形的線條. 那就是漏模的波矢，其半弧的半徑對于一定的漏模角度. 半弧形表示表面等離激元波傳播時成發散的球面波.

(a)顯微裝置示意圖及實空間傳播方向示意圖

(Ⅰ) (Ⅱ)

(Ⅲ) (Ⅳ)(b)對應的實空間傳播方向圖(Ⅰ,Ⅲ)及傅里葉像面圖(Ⅱ,Ⅳ)圖12 利用FBP進行SPP傳播方向及波矢的測量

稍后比較典型的實驗是Berthelot等人進行的[16]. 如圖13所示[16]，將1束激光打在1個薄膜的方形邊角處，利用缺陷的散射可以同時激發起薄膜上的表面等離激元以及棱上的表面等離激元極化子. 由于在膜上傳播的SPP具有一定的發散角，類似于球面波，所以在傅里葉后焦面上呈圓弧狀. 而激發起的邊緣模由于只沿著y方向傳播，所以在傅里葉后焦面上，是1條直線，只有y方向的值. 在x方向相當于對一個點做傅里葉變換，所以在k空間應該具有所有的頻率，是1條沿著x方向的直線，具有所有可能的kx值. 其他的工作見文獻[17-20].

(a)裝置示意圖

(b)實空間圖像

(c)對應的傅里葉面的圖像圖13 利用FBP對不同SPP傳播模式的波矢進行成像

其另外一個非常典型的應用是對一維納米線波導進行波矢成像[21]. 如圖14所示[21]，對于在金膜上的方形介質波導，對于不同的寬度，存在不同的波導模式[如圖14(a)所示]. 當利用波長為800 nm光激發不同寬度的波導時，會激發起不同的波導模式. 利用傅里葉后焦面可以對不同模式成像[如圖14(b)所示]. 如圖14(c)所示，對于寬度為1.5 μm的波導進行激發，則其存在TM00模，TM01模與TM02模，可以在傅里葉后焦面上直接進行成像. 更加清晰的例子請參見文獻[22]. 在這種周期性波導模式的成像中，高階模歸根結底是由于在波導橫截面方向上存在駐波模式，在橫向方向上也具有波矢，所以在成像中具有對稱的波矢結構. 周期性波導在不同的檢測偏振下成的FBP像，明顯示了不同的模式. 另外，更加廣泛的波導成像是用在表面等離激元金屬納米線波導波矢成像上. 金屬納米線波導一個不同于介質波導的非常典型的特征是，對于基模不存在截止半徑，而且基模的局域能力隨著納米線半徑的減小而增大，所以可以突破衍射極限進行光信號傳導，因此在現代光子芯片方面具有重要的應用價值. 對于金屬納米線來說，其激發的模式與納米線的直徑及周圍的介質折射率密切相關[23]. 而且當把納米線放在襯底上時，其模式會由于與襯底的相互作用而發生雜化，產生新的模式[24]. 而且這種相互作用也使得可以利用漏模顯微鏡對其模式進行測量. 圖15所示[25]的銀納米線波導其直徑只有400 nm，當其進行導光時，在傅里葉后焦面能夠明顯看到其波矢像. 非常典型的應用見文獻[26-27].

(a)置于金膜上的不同寬度的波導及對應的激發模式

(b) 對不同的寬度的波導用800 nm光進行激發的實空間圖像

(c)寬度為1.5 μm的波導的FBP所成模式圖14 利用FBP對波導模式進行成像及測量

(a) 納米線明場圖像、掃描電鏡圖像及局部放大的掃描電鏡圖

(b)波導實空間及傅里葉面成像圖15 利用FBP對銀納米線波導進行測量

4.3 漏模顯微鏡及其應用：色散關系測量

既然可以直接利用漏模顯微鏡測量波矢，那么就可以利用其進行色散關系的測量. Giannattasio等人利用CCD直接貼合襯底的方式進行色散關系測量，其利用的還是漏模原理，但是周期性結構的衍射光在經過有限的距離以后直接被CCD所接收(如圖16所示[28])，這種配置其實不滿足嚴格的傅里葉變換關系，還有不確定的相位因子. 而且由于沒有經過聚焦，在CCD上將會有較寬的條紋，不利于準確測量[28].

(a)利用CCD直接對漏模進行色散成像示意圖

(b)色散成像圖 圖16 漏模顯微鏡測量色散關系

在4.2節中利用傅里葉后焦面成像可以直接對波矢進行成像，若同時利用不同波長的光激發(或者單色光激發測量熒光)，如果利用棱鏡或者光柵進行分光，就可以直接對色散關系進行成像. 如圖17所示[29]，Taminiau等人利用狹縫限制，只取傅里葉面的一小塊，將光路直接接入成像光譜儀，傅里葉像經過光譜儀光柵分光以后，可以直接在光譜儀CCD上成像，該像由于狹縫的限制，在豎直方向上為波矢的值(橫向波矢限制為0)，在橫向上是頻率(或者波長)分布，由此直接成色散關系圖[29].

(a)在傅里葉面上利用狹縫擋住其他方向，只留豎直方向的像，利用成像光譜儀所成色散圖

(b)樣品的色散關系圖圖17 色散關系的測量方法之一

Thomas等人利用傅里葉后焦面成像對于不同周期的周期性一維光子晶體波導結構的色散關系進行了測量(圖18)[30]. 由于周期性結構存在布洛赫模與不同的波長相匹配，所以當改變光子晶體的晶格常量時，會同時改變其波導內的共振模式及波矢，當用傅里葉后焦面成像時，其原理與波導成像相同，不同的波導模式會直接成像在傅里葉后焦面上[圖18(c)]，利用這些模式可以直接計算出波矢，利用晶格常量可以計算出相應的歸一化頻率. 由此可以畫出色散曲線[圖18(d)].

其他的無缺陷的二維周期性結構成像可以歸結為對于光子晶體的波矢及態密度成像[31-32].

(a)基于GaInAsP/InP的光子晶體波導

(b)利用1 535 nm光激發波導的實空間

(c)FBP像

(d)第一、第二、第三及第四布里淵區色散曲線圖圖18 利用FBP測量色散關系

4.4 發射方向測量

傅里葉漏模顯微鏡的重新流行是2004年Lieb的工作所引發的. 在他們的工作中，主要用傅里葉后焦面成像進行單分子發射方向的測量[1]. 如圖19所示[1]，從直觀上來講，只要將點光源置于透鏡焦面上，在另外一面就可以直接測量到發射方向的分布. 稍早一些的工作是直接將點發光源置于半球狀透鏡的平面上，由于光在半球邊界折射角為0，可以直接反映光源的發射方向. 但是現在的點光源如分子或納米顆粒偶極子及多極子發射方向的研究都采用傅里葉顯微鏡,需要從傅里葉變換的角度看這類研究.

最早這方面的工作是在20世紀初由Sommerfeld等人做出的平行或者垂直于界面的偶極子發射分布[33-34]. 之后W. Lukosz與R. E. Kunz在1977年至1979年發表的3篇非常經典的文獻中詳細計算了位于距離界面非常小的電偶極子以及磁偶極子發射強度及發射空間角分布[35-37]. 在他們的計算中，盡管偶極子距離界面非常近(z≤λ1)，但是他們還是利用偶極子自由空間的發射分布以及菲涅耳系數來進行計算，透射分布即為按照菲涅耳系數進行計算的，反射分布為遠場條件下偶極子的直接發射與界面反射的相干疊加. 事實證明，這種計算結果還是非常準確的. 稍后Lieb等人實際利用了同樣的做法，但是沒有考慮更深層的物理原理，直接得出了與W. Lukosz一樣的結論，不過進一步利用傅里葉后焦面成像證明了這種空間分布結果[1]. 單個分子發射強度的空間角分布，也可以直接從傅里葉變換光學的角度來看. 事實上在W. Lukosz的理論中，由于光從偶極子的位置照射整個界面平面時，由于入射角的不同，其波矢的平行分量也不同，所以在進行這些計算時他首先對偶極子的標量勢在界面進行了傅里葉分解，然后對不同波矢的光獨立進行菲涅耳系數的計算[37]. 在此也可以利用倏逝波的概念來理解. 事實上偶極子是處于界面半波長以內的，所以偶極子的發射完全可以激發起界面處的倏逝波. 倏逝波的波矢由邊界條件所確定，取決于偶極子的偏振方向和與邊界的距離. 而根據倒易原理，倏逝波可以產生相應的漏模，從而傅里葉變換事實上是對倏逝波空間頻率的變換. 這樣，利用傅里葉顯微鏡對點光源發射方向成像就與之前的理論統一了. 從另外的角度來講，處于透鏡焦面的點的傅里葉變換應該是對應整個實空間的平面，而不是某些實空間的點. 點偶極子的發射空間角分布在物鏡的入瞳面來看，是已經經過了菲涅耳衍射分光后的結果，這些分光光場經過物鏡后，就其光場來看，在其后焦面也是可以近似理解為發射源的傅里葉變換.

在點光源發射方向方面的工作是傅里葉后焦面成像最普遍的應用了. 在Lieb的工作中(圖19)[1]，他們利用倒置顯微鏡搭建的傅里葉后焦面成像裝置對熒光分子進行了單分子實空間及傅里葉后焦面成像，利用圖19(b)所示的對應關系可以直接利用傅里葉后焦面的強度分布計算出分子在實空間的取向. 4.2節中Hartmann等人的工作盡管利用傅里葉顯微鏡對表面等離激元波矢進行成像，但是由于其利用單根碳納米管激發SPP波，所以也能根據波矢方向來確定碳納米管的取向[27]. 另外一個非常典型的工作是Curto等人做出的[38]. 如圖20所示[38]，金屬納米棒的局域表面等離激元共振由于存在偶極與高階的激發模式，其發射空間角分布會產生像電偶、電四、電八、電十六極矩等能量分布. 同上面所述在襯底上的單分子偶極子的發射方向一樣，利用傅里葉顯微鏡可以對金屬納米棒的多極子(此工作中利用量子點進行激發)的發射方向進行成像[圖20(c)][38].

(a)裝置示意圖 (b)發射方向成像示意圖(c)單個分子不同取向的傅里葉后焦面圖像

(d)不同分子的傅里葉后焦面圖像以及計算出的響應的取向圖19 利用FBP對單個分子的取向進行成像

(a)金屬納米棒激發示意圖 (b) 置于玻璃襯底上的金屬納米棒偶極子及四極子激發及發射角度模擬圖

(c)不同階激發的納米棒的FBP實驗測量圖及模擬圖圖20 利用FBP對金屬納米棒的多極輻射進行成像

如果考慮2個平行方向放置的相距一段距離的偶極子，則這個體系的遠場發射方向會取決于2個偶極子輻射場的相干疊加[39]. 如圖21所示[39]，2個置于玻璃襯底上的金和銀的納米圓盤(直徑分別為130 nm和110 nm)相距15 nm. 由于金和銀納米盤的局域表面等離激元共振波長不同，金盤的共振波長約在660 nm，銀盤的共振波長約在550 nm，其激發如同彈簧振子的振動模式的激發，如果激發波長小于共振波長，則圓盤的響應比激發落后π相位，如果激發波長大于共振波長，則圓盤的響應與激發同相位. 所以利用不同波長的光同時激發這2個圓盤，則其發射方向也會有不同的分布. 而如果用白光激發，則綠光與紅光由于各自的相干疊加會被散射到不同的方向. 利用此原理，可以直接對顏色進行分光，利用傅里葉后焦面可以直接測量分光現象. 同時由于金屬納米盤的共振波長與周圍環境的介電常數相關，所以當周圍環境變化時，其共振波長的變化將會導致傅里葉面上分光強度的變化. 利用這種特性可以做成傳感器，通過直接測量傅里葉面上左右兩側光強的比值，從而判斷是否有響應的分子吸附(圖22)[40-42].

(a)相同材料的2個圓盤，以及不同材料的2個圓盤共振時圓盤上振蕩相位曲線

(b)金-銀納米圓盤結構在不同波長的光激發時的發射方向示意圖、實驗樣品以及測量裝置示意圖

(c)樣品在不同偏振下利用白光激發時FBP左右兩邊測量的光譜以及發射方向對比圖圖21 利用FBP對2個不同材料組成的納米盤體系進行發射分光測量

(a)樣品圖、FBP示意圖以及FBP實驗圖 (b)在595 nm測量時對于氫氣吸附傳感實驗圖22 利用雙材料金屬盤分光效應進行的傳感應用

除此之外，還可以利用傅里葉后焦面對納米線波導終端的發射方向直接進行成像. 對于不同直徑的金屬納米線波導，由于有效環境折射率的不同以及直徑的不同，其不同的波矢可以從傅里葉后焦面直接測量出[43]. 其他類似應用參見文獻[44-45].

4.5 k空間成像及二維光子晶體

光子晶體的k空間態密度的成像，和前面介質波導的成像類似，是對不同的波矢進行成像，但是這個波矢的形成是周期性結構導致的周期性的布洛赫波函數形成的，而不是之前所述的平面上傳播的波的波矢. 傅里葉變換光學從直觀上來講可以將實空間信息變換為k空間信息. 前面的推導用的是空間頻率，但是由于布洛赫條件，空間頻率正好匹配k空間波矢. 所以利用傅里葉顯微鏡可以直接對光子晶體等進行k空間成像. 由此，對于k空間的成像其實更接近于傅里葉變換的直觀圖像[46-47].

(a)樣品示意圖

(b)樣品在不同偏振下的測量結果(豎直偏振為第1行，水平偏振為第2行) 圖23 利用FBP對一維周期性結構進行成像

(a)樣品掃描電鏡圖

(b)對上面2個不同結構的樣品的FBP所成的像(Ⅰ,Ⅲ對應左邊樣品，Ⅱ,Ⅳ對應右邊樣品)

(c)對上面2個不同結構的樣品改變周期時所成的FBP像圖24 利用FBP對二維光子晶體費米面進行成像

(a)微加工制作的金屬納米盤在玻璃襯底上的準晶分布圖案及其數值傅里葉變換圖，以及不同直徑的納米盤的消光譜

(b)利用不同的濾波片所成的FBP圖像(中間的是白光成像)

(c)在不同曝光時間下不同衍射級的FBP圖像圖25 利用FBP對準晶的布里淵區進行成像

5 在本科實驗教學中的相關實現

考慮到無限遠光學顯微鏡都比較貴，一般的教學實驗室又需要很多套設備，為了降低成本，可以在傳統的低成本顯微鏡上來實現.

如圖26所示，可以設計一體化的小管，內置波特蘭透鏡，一端可以直接插入目鏡接口，接具有波片切換裝置的管，在切換拉桿的2個孔上分別放入焦距為f和f/2的波特蘭透鏡. 然后在另一端可以直接安裝照相機CCD，調整切換拉桿其處于顯微鏡像面與CCD的中間位置并且保證顯微鏡像面與CCD芯片距離為2f，通過切換波特蘭透鏡，可以同時進行實空間或者k空間成像. 由于現代科研顯微鏡的結像透鏡焦距及管長與傳統顯微鏡兼容，所以這種裝置可以直接插在傳統顯微鏡上，或者科研無限遠顯微鏡上進行成像. 樣品可以用光盤等簡單的周期性結構. 這樣物理教學實驗室也可以用低成本的辦法實現前沿科技的研究裝置.

圖26 教學實驗室簡單傅里葉實空間成像裝置設計

6 結束語

本文從菲涅耳衍射與夫瑯禾費衍射的傅里葉分光本質以及薄透鏡的相位變換出發，結合近代無限遠光學顯微鏡所滿足的傅里葉變換的條件，介紹了傅里葉后焦面成像裝置及其在前沿研究中的具體應用. 通過這些研究的介紹可以感受到課堂知識在前沿中是如何體現的，同時發現這些前沿的技術也可以在物理實驗課上相對容易地實現.

基于傳統光學的傅里葉變換光學在20世紀60年代成熟以后，在近年來由于微納加工技術的飛速發展，又開始在納米光學領域重新煥發出勃勃生機. 由于納米光子學以及量子光學的發展，我們相信在傅里葉光學成像技術將繼續在文中所述的領域發揮巨大的作用. 在不久的將來，傅里葉光學這種基于簡單透鏡變換即可實現復雜變換運算的能力也將在量子運算及量子信息處理、并行光子芯片等方面發揮巨大的作用，而且如果能夠在微納尺度加工出具有同樣功能的納米透鏡、實現微納尺度的傅里葉后焦面成像，這項技術也許將實現質的飛越.