立足本質理解算理掌握算法

張微

【摘要】分數除法是小學階段數與運算內容中的重點和難點，是小學階段最后一次學習有關除法的內容.它與分數乘法的意義、計算及其應用都有著密切的聯系，同時，還和整數除法的意義有關.

【關鍵詞】理解管理;掌握算法

一、現象分析

備課之前我查閱了一些資料，發現有些教師根據課堂教學進行了教學后測，后測結果顯示，86%的學生學習了分數除法以后，能依據分數除法的計算方法進行計算，并能夠得到正確的結果，但當教師問及“為什么除以一個數（0除外）可以乘這個數的倒數”時，有近40%的學生不知如何回答，對算理解釋不清，只有20%的學生能結合課上的思考過程進行合理的解釋，這三個數據產生的原因引發了我的關注和思考.

（一）學生方面

對程序性的知識只關注結果.

從上面的數據可以看出，對分數除法的計算方法并不是教學的難點，而真正的難點在于計算方法背后的道理.另外，學生缺少對問題本質的探究.

（二）教師方面

對數學知識的本質關注不夠，過程性目標和可持續發展目標缺失，導致教師在教學過程中關注更多的是算法而非算理，在分數除法計算教學時，認為只要記住“除以一個數（0除外）等于乘這個數的倒數”這個結論，能熟練運算就算教學目標的達成.

二、我的思考

那么如何讓學生更好地理解算理，掌握算法呢？

華羅庚說過：“善于‘退，足夠‘退，‘退到最原始的而不失去重要的地方，是學好數學的訣竅.”除法是計算分數除法的原始方法，也是學習分數除法的基礎.

基于以上的認識：我們從除法運作本質的角度，來理解“顛倒相乘”算法方面做了一些思考.

（一）什么是運作？

1.詞典中的解釋

運作：運行和操作.運作是一種操作層面的理解.

2.我們理解計算中的“運作”

運作：指的是借助圖示和模型將抽象的算理形象化，再將具體的運算分解成若干步驟，從而使計算過程形成一種程序化的步驟，最終得到計算結果.也就是通過運作的過程不僅能知道計算方法，還能理解為什么這么算的道理？

如，一個分數除以一個整數，借助直觀圖理解將這個分數平均分幾份，再取1份，最后再轉化為求這個分數的幾分之一是多少.

通過這樣的運作過程，借助圖形語言，將抽象的算理形象化，將復雜的數學思考變得簡單易懂.

（二）運作在除法中如何體現？

1.運作在分數除法中的體現.

分數除法包括分數除以整數和一個數除以分數.

運作在分數除以整數中，主要體現在：借助直觀圖，先分，再取，再轉化，即將分數平均分成幾份，再求一份，最后轉化成求這個分數的幾分之一，從而使抽象的算理形象化.

運作在一個數除以分數中，主要體現在借助線段圖直觀地展示推算的過程，將除數的運作意義回歸到以“份”為單位，即先求“一份”是多少，再求這樣的幾份是多少.在將情境中的邏輯關系程序化的過程中，使計算的操作步驟程序化，從而理解分數除法的計算需要“顛倒相乘”求結果.綜上所述，只要是分數除法，都可以借助幾何直觀，經歷先分再取的運作過程.由此我們聯想到分數除法中的運作是否可以推廣到整數，小數除法中呢？

2.分數除法與整數除法，小數除法的聯系.

整數，小數除法的算理：

整數除法：8÷2=4，就是8個一平均分2份，結果是4個一.

小數除法：0.8÷2=0.4，就是8個0.1平均分2份，結果是4個0.1.

分數除法：45÷2=25，就是把4個15平均分2份，結果是2個15.

綜觀整數除法，小數除法，整數除法平均分的是整數計數單位（“個”“十”“百”“千”……），小數除法平均分的是更小的小數計數單位（0.1，0.01，0.001，…），二者實質上都是在把計算單位的個數進行平均分，凸顯了位值制和十進制.而分數除法平均分的是分數單位，當分數單位的個數無法直接平均分時，還需要把分數單位再細分.

由此可見：整數除法，小數除法，分數除法都是把計數單位的個數進行平均分，它們的本質都可以化歸為運作——先分，再取.也就是先除再乘.

三、除法運作在這兩節課是如何落實的？

（一）借助圖形去支撐算法的理解，使抽象的算理形象化

分數除以整數，如45÷2=4÷25，借助平均分的意義把4個15平均分成2份，每份是（4÷2）個15.也可以借助分數的意義先把45平均分成2份，再取其中的1份，也就是求45的12.

兩種算法雖然形式不同，但都是用圖形語言揭示分數除法計算過程的幾何意義，溝通除法意義和分數乘法意義之間的聯系，接著引出分子不能被除數整除的情況.讓學生經歷由特殊到一般的探索過程，進而理解把一個數平均分成幾份，求其中的1份，就是求這個數的幾分之一是多少.

（二）借助線段圖，使抽象的運算步驟化

一個數除以分數：小明23小時走了2 km，1小時行了多少千米？在理解2÷23算理時，借助線段圖的直觀方式，明確23小時是把1小時平均分成3份，表示這樣的2份.在學生明確對應關系的基礎上，借助“份”這個基本概念，從運作的角度對一個數除以分數的算法進行直接合理的解釋：先求一份，就是把2千米平均分成2份，求2千米的12，再取這樣的3份（再×3），也就是求2的32，由于有了直觀圖的運作，降低了學生對2×12×3中每一步的理解難度，從而使抽象的運算步驟化.

綜上所述，在研究的過程中，我們認為，對程序性的知識，通過借助直觀和線段圖，經歷先分再取的運作過程，有助于學生抓住數學問題的本質，不對抽象的算理望而生畏.