淺談小學、中學、大學教材中最大公因數的兩種定義對研究的影響

吳林雋

【摘要】很多高中生在讀小學時都學過公因數、最大公因數（或稱公約數、最大公約數）的定義，學生一直到高中畢業時，頭腦中對最大公因數的概念還停留在“公因數中最大的一個”這個根深蒂固的印象上.這對高中生畢業后進入大學再次學習最大公因數的定義是不利的，為此，筆者舉出一些現行的小學、中學、大學本科教材中對最大公因數的定義，并嘗試從不同的定義對一些比較重要的最大公因數的性質進行研究.

【關鍵詞】公因數;最大公因數;整除;定義;性質

很多高中生在讀小學時都學過公因數、最大公因數（或稱公約數、最大公約數）的定義，現行的北師大版小學五年級上冊數學教材[1]第77頁是這么定義公因數、最大公因數的：“12和18相同的因數是它們的公因數，其中最大的一個是它們的最大公因數.”第31頁還規定了小學階段的研究范圍：“我們只在自然數（零除外）范圍內研究倍數和因數.”學生一直到高中畢業時，頭腦中對最大公因數的概念還停留在“公因數中最大的一個”這個根深蒂固的印象上.這對高中生畢業后進入大學再次學習最大公因數的定義是不利的，為此，筆者舉出一些現行的大學本科教材中對最大公因數的定義.

三、對定義1和定義2的研究過程小結

我們由上面兩種定義的研究過程可以看到：

1.不管是哪種定義，對性質2和性質3這兩個“很自然的結論”的證明，都可以跳過形如t1a1+t2a2+…tnan的構造方法，但是形如t1a1+t2a2+…tnan的構造方法，確實讓我們的研究前進了一大步，是一個很妙的方法和結論.

2.定義1和定義2看上去都是很自然的定義，但是定義1給我們的感覺（特別是中小學生）更像是一個定義，而定義2給我們的感覺（特別是中小學生）更像是最大公因數的一個結論（雖然它看上去很自然、很“顯然”）.我們可以證明最大公因數的這兩種定義是相互等價的，大學教材如果在編寫時能夠說明這一點就更好了.

3.最小公倍數的定義，我們可以類似地在小學、中學、大學教材中找到兩種不同的定義方法，同樣可以根據兩種不同的定義方法，進行不同的研究（與此文中最大公因數的研究方法類似，但是最小公倍數的不少性質可能用算數基本定理會更加容易證明和理解）.

【參考文獻】

[1]劉堅，孔企平，張丹，位惠女，陶文中.義務教育教科書·數學·五年級（上冊）[M].北京：北京師范大學出版社，2014.

[2]張禾瑞，郝鈵新.高等代數：第5版[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]閔嗣鶴，嚴士健.初等數論：第3版[M].北京：高等教育出版社，2003.

[4]李迅，陳德燕.高中奧數專題講座[M].上海：華東師范大學出版社，2017.