對(duì)一道初中數(shù)學(xué)壓軸題的解讀

魏建軍

中考?jí)狠S題涉及了很多的知識(shí)點(diǎn)，也蘊(yùn)含非常豐富的數(shù)學(xué)思想方法，更滲透了眾多的數(shù)學(xué)解題技巧，最能體現(xiàn)學(xué)生知識(shí)整合與運(yùn)用、問(wèn)題分析與解決能力.

2009年十堰市中考數(shù)學(xué)壓軸題是這樣的：

如圖1所示，已知拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（-3，0），與y軸交于點(diǎn)C.（1）求拋物線的解析式.（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M，問(wèn)在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）如圖2所示，若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE，CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo).

從解題過(guò)程看，該題蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法如下：

1.數(shù)形結(jié)合思想方法.此題第（1）問(wèn)的方法是把圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，求出未知的系數(shù)或表達(dá)式，這是由“形”得“數(shù)”的結(jié)論.第（2）問(wèn)由△CMP為等腰三角形在拋物線對(duì)稱軸上尋求一點(diǎn)滿足條件.可以確定在CM，CP，PM三條線段中腰與底的問(wèn)題，運(yùn)用直角三角形勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)解決此問(wèn)題.第（3）問(wèn)的方法①根據(jù)E點(diǎn)坐標(biāo)（x，-x2-2x+3）求出線段EF，F(xiàn)O，BF，進(jìn)而用含x的代數(shù)式表示四邊形BOCE的面積，求出x的值，是由“數(shù)”得“形”的結(jié)論.

2.化歸思想方法.此題第（3）問(wèn)求一般四邊形BOCE的面積的最大值，其方法①或②中均采用了將其轉(zhuǎn)化為三角形面積與梯形面積之和來(lái)解決，將不規(guī)則圖形面積通過(guò)化歸思想轉(zhuǎn)化為特殊圖形的面積和.

3.分類討論思想方法.此題第（2）問(wèn)在探索拋物線上對(duì)稱軸是否存在一點(diǎn)P，使△CPM為等腰三角形中，學(xué)生須多個(gè)角度分析找準(zhǔn)△CPM的三邊CP，CM，PM中哪條為腰，哪條為底，由等腰三角形定義可探究出以CM，CP為腰或以CM，MP為腰或以PM，CP為腰三種情況來(lái)考慮問(wèn)，體現(xiàn)了分類討論思想.

4.數(shù)學(xué)建模思想方法.此題第（3）問(wèn)求四邊形BOCE的面積的最大值，其方法①根據(jù)E點(diǎn)坐標(biāo)（x，-x2-2x+3）求線段EF，OF，BF，用含x的代數(shù)式表示四邊形BOCE的面積，從而構(gòu)建S與x的二次函數(shù)，進(jìn)而運(yùn)用配方法及二次函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題，方法②將四邊形BOCE面積轉(zhuǎn)化為△BEC和△BOC面積之和，由于S△BOC是定值，所以要使四邊形BOCE面積最大，須使△BEC最大，使△BCE的邊BC上的高最大即可，分析得出E點(diǎn)在與BC平行且與y=-x2-2x+3有唯一交點(diǎn)的直線上，從而構(gòu)建得出直線EG方程與拋物線y=-x2-2x+3的二元二次方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程，并利用判別式解決，這樣的建模思維可使問(wèn)題的解決更直觀.

該壓軸題包羅了全部的數(shù)學(xué)思想方法，認(rèn)真分析此題不僅能體會(huì)各種思想方法之間的聯(lián)系，而且能學(xué)習(xí)到各種思想方法在解題中的運(yùn)用技巧.因此，作為數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)重視一題多變、一題多解的教學(xué)，重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.