含容電磁感應問題典例剖析

導體棒切割磁感線運動問題往往涉及變化的安培力導致的連續變化過程，如果在回路中還含有電容器，那么同學們在分析處理時就容易受思維定式的影響，認為含有電容器的電路是不閉合回路，沒有電流。下面通過例題分析，幫助同學們厘清處理含容電磁感應問題的思路。

例1 如圖1所示，足夠長的平行金屬導軌MN、PQ傾斜放置，其所在平面與水平面間的夾角θ=30度，兩導軌間距為L，導軌下端分別連著電容為C的電容器和阻值為R的定值電阻。一根質量為m的金屬棒放在導軌上，金屬棒與導軌始終垂直且接觸良好，金屬棒與導軌間的動摩擦因數μ=√3/2。一根不可伸長的絕緣輕繩一端拴在金屬棒中間，另一端跨過定滑輪與質量為4m的重物相連，金屬棒與定滑輪間的輕繩始終在兩導軌所在平面內且與兩導軌平行，磁感應強度為B的勻強磁場垂直于導軌所在平面向上。初始狀態用手托住重物使輕繩恰處于伸直狀態，重力加速度為g，不計滑輪阻力，以及金屬棒和導軌的電阻。

（l）若開關Sl閉合、S2斷開，由靜止釋放重物，求重物的最大速度。

（2）若開關Sl斷開、S2閉合，請推導出重物的速度v隨時間t變化的關系。

點評：部分同學會因為只知道電容器對電流的作用是“通交流、隔直流”，忽略了電容器可以充電、放電的物理規律而誤認為電路中沒有電流，從而根據牛頓第二定律4mgmgsinθ- μmgcosθ=5ma和運動學公式w=at，解得a=5.5 m/s2和v=5.5t（ m/s）。

例2 如圖2所示，水平面內有兩根足夠長的平行導軌L1、L2，其間距d=0.5 m，左端接有電容C=2 000 μF的電容器，質量m=20g的導體棒與導軌垂直且接觸良好，可在導軌上無摩擦地滑動，導體棒和導軌的電阻不計。整個空間存在垂直于導軌所在平面的勻強磁場（垂直于紙面向里），磁感應強度B=2T。現用一沿導軌向右的恒力F1 =0. 44 N作用于導體棒，使導體棒從靜止開始運動，經時間t后到達虛線N處，速度v=5 m/s。此時，突然將拉力方向變為沿導軌向左，大小變為F2，又經時間2t后導體棒返回到初始位置M處，整個過程中電容器未被擊穿。求：

（1）導體棒運動到N處時，電容器積累的電荷量。

（2）時間t的大小。

（3）拉力F2的大小。

解析：（1）導體棒到達虛線N處時，電容器兩端的電壓等于導體棒切割磁感線產生的感應電動勢，即U= E感=Bdv=5 V，電容器積累的電荷量Q=CU=l×l0^-2 C。

點評：本題以電磁感應為背景，以“單棒十電容器”的串聯電路為情景，在電容器被充電的過程中，考查導體棒的動力學問題。解決本題的突破口是結合電路知道E感=Bdv等于電容器兩端的電壓U，再利用微元法推導出充電電流i與電荷量△Q、電容C、電壓△U的關系i=CBda，從而判斷出導體棒做勻加速直線運動。

變式1：如圖3所示，間距為L的兩豎直光滑導軌上端接有電容為C的電容器，質量為m的導體棒與導軌接觸良好，導軌和導體棒的電阻不計。導軌間有沿水平方向的勻強磁場（垂直于紙面向里），磁感應強度為B。分析導體棒由靜止釋放后的加速度是否變化。如果變化，請說明原因;如果不變，請求出加速度的表達式。

變式2：如圖4所示，間距為L的兩傾斜導軌與水平面間的夾角為a，頂端接有電容為C的電容器。導體桿的質量為m，導軌與導體桿的電阻不計，導體桿與導軌間的動摩擦因數為μ，導軌間有垂直于導軌所在平面向上的勻強磁場，磁感應強度為B。求導體桿由靜止釋放后下滑的加速度。

備考建議

在解決含電容器的電磁感應問題時，電容器可以被充電，也可以放電，這取決于與電容器相連的“電源”電動勢的變化情況。 在“單棒十電容器”的電磁感應電路中，當導體棒切割磁感線的速度蠻六時，導體棒中產生的感應電動勢變六，電容器被充電;當導體棒切割磁感線的速度變小時，導體棒中產生的感應電動勢變小，電容器放電。 解決含電容器的電磁感應問題的思路：確定導體棒做加速運動還是減速運動，分析感應電動勢的變化情況，從而確定電容器是被充電還是放電;選其中很短的一段時間△t，認為電流不變，用微元法推導出充（放）電電流i與電荷量、電容、電壓（等于導體棒切割磁感線產生的感應電動勢BL△v）的關系i=CBLa;代入牛頓第二定律，確定導體棒的受力情況及加速度的變化情況。

跟蹤訓練

在豎直向下的磁感應強度為B的勻強磁場中，兩根足夠長的平行金屬導軌MN、PQ固定在水平畫內，相距為L。一質量為m的導體棒cd垂直于兩導軌放置，與導軌接觸良好。導軌和導體棒的電阻均不計。

（1）如圖5所示，若在導軌左端M、P間接一阻值為R的電阻，導體棒在水平拉力F的作用下以速度v沿導軌做勻速運動。請通過公式推導證明：在任意一段時間內，拉力F做的功與電路獲得的電能相等。

（2）如圖6所示，若在導軌左端M、P間接一電容為C的電容器，導體棒在水平拉力作用下從靜止開始向右運動。電容器兩極板間電勢差U隨時間t變化的圖像如圖7所示，已知t1時刻電容器兩極板間的電勢差為Ul。求導體棒受到的水平拉力的大小。