課堂教學中的預設與生成

魏巍

【摘要】課堂教學是數學教育落實的主要方式，如何在課堂教學中培養學生的能力和意識，提升學生的核心素養，是每位教師都應該著重研究的方向。文章借助基本不等式的教學過程展示了預設與生成是教學中的一對矛盾統一體，兩者相輔相成，缺一不可。

【關鍵詞】基本不等式；課堂教學；預設；生成

2018年，筆者有幸參加了山東省中學數學優質課評選活動，課題是人教版《普通高中課程標準實驗教科書·數學（必修5）》中的“基本不等式 ”。本節課中，教材運用數形結合的方法對基本不等式進行了證明和解釋。在備課、上課及課后反思中，筆者對課堂教學中的預設與生成有了深刻體會，不吐不快。下面把這節課的內容分析、教學設計、教后反思與教學心得記錄下來，愿與同行研討。

一、教學內容分析與教法說明

“基本不等式 ”是必修5的重點內容，在課本封面上就體現出來了。它是在學完“不等式的性質”“不等式的解法”及“線性規劃”的基礎上對不等式的進一步研究。在不等式的證明和求最值過程中有著廣泛的應用。求最值是高考的熱點。同時本節知識又滲透了數形結合、化歸等重要數學思想，有利于培養學生良好的思維品質。

本節課是第一課時，教學重點是應用數形結合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式 的證明過程，而不是如何應用基本不等式解決具體問題。在教學中，筆者應用“情景-問題-研究”模式教學，展示了“數學教學是數學活動的教學”。教師是活動的組織者、指導者、協作者和調控者，學生是數學建構活動的主人。教學設計不是用傳統的“公式+例子+練習”模式設計，而是把公式的建立當作一種情境，設計問題串為學習搭建腳手架，引發學生去操作，活動，討論，反思。

二、教學設計及設計意圖

（一）設計問題，創設情境

（多媒體展示）華羅庚先生的詩：

“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數無形時少直觀，形少數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事休。切莫忘，幾何代數流一體，永遠聯系莫分離。”

開場白：華羅庚先生有數學家的睿智、詩人的浪漫。同學們請說出華先生的這首詩表達的思想。

生：“數形結合百般好”。

師：今天我們一同來體會如何運用數形結合的方法來研究問題。

設計意圖：使學生了解數學家、數學史、數學思想，盡快進入數學情景；為本節課問題的探究指明方法，做鋪墊。給學生留下疑問：“我們要運用數形結合研究什么問題呢？如何運用數形結合來研究問題呢？”激發學生學習興趣，使學生對將要出現的探究問題充滿期待。

（多媒體展示）第24界國際數學家大會的會標。

師：第24界國際數學家大會于2002年在北京召開，這是大會的會標，其中的圖案大家見過么？

生：見過，這是“趙爽弦圖”，在初中曾用它證明過勾股定理。

師：我們還能在“趙爽弦圖”中探究出什么信息呢？

（多媒體展示）

問1：同學們在原來的學習過程中見過這個圖形嗎？

問2：在此圖中有哪些幾何圖形？

問3：若我們設圖中直角三角形的直角邊分別為 、 ，你能用 、 表示四個直角三角形的面積和嗎？你能用 、 表示大正方形的面積嗎？

問4：根據圖形，比較四個直角三角形的面積和與大正方形的面積的不等關系，寫出不等式。

設計意圖：尋求學生的最近發展區，以學生初中已經接觸過的趙爽弦圖作為導入素材，使學生有熟悉的感覺，樂于探究新的知識。以 、 表示直角三角形的兩條直角邊，為后面的學習掃清障礙。若以教材的安排，以 、 分別代替 、b，學生不太容易理解。四個問題的設置，便于學生層層深入地研究，使研究方向更明確。

（二）學生探究，嘗試解決

師生互動：學生觀察圖形，思考問題，寫出結果。教師巡視，了解學生情況，在適當時候建議學生小組內部相互交流。學生在小組內部對比結果，互相交流，達成共識，展示成果。

設計意圖：培養學生獨立動手、動腦能力和應用數學知識、方法、思想解決問題的能力，培養學生交流合作的能力，通過交流培養學生發現問題（不全面）的能力，培養學生全面思考問題的意識以及努力探究的精神。

師：請一位同學展示一下研究成果。

預設：有的學生可能會寫出 ，也可能寫出 。

師：四個直角三角形的面積和與大正方形的面積有沒有可能相等？相等時，圖形產生了怎樣的變化？ 、 有什么關系？

生：有可能相等，四個直角三角形的直角頂點會重合，此時 。

師：如此一來，我們可以得到如下結論：（多媒體展示并板書）結論（1）：對任意實數 ， ，我們有 ，當且僅當 時，等號成立。

以上結論是我們從幾何圖形中的面積關系獲得的，同學們能否運用代數的方法對這個結論進行證明？

師生互動：學生觀察結論內容，積極思考，寫出證明過程；教師巡視，及時掌握學生情況，指出學生在證明過程中出現的問題，適當的時候挑選學生板演證明過程。

設計意圖：培養學生獨立思考、解決問題的能力，使學生體會不等式證明的常用方法，使學生感受到幾何的直觀性后，進一步感受代數證明的嚴謹。

預設：有的同學會把要證明的結論作為條件使用；有的同學只證明 ，而忽視了“當且僅當 時，等號成立”的證明；有的同學會以 為條件，證明“當且僅當 時，等號成立”；有的同學會使用作差法證明這個結論。

（三）師生交流，解釋規律

師生互動：教師對學生板演的證明過程做出評價；注意方法的選擇、步驟的規范；強調等號成立的條件。

師：同學們對結論中的“當且僅當”如何理解？

生：當 時，并且只有 時，等號成立。