圓形是特殊的扇形嗎？

莊妍

[摘 要]由于圓形是第一次由直邊圖形向曲邊圖形的轉折點，學生在學習圓形時原有的知識經驗無法順利遷移類比，造成了學生對圓形的周長和面積計算公式的推導存在很大的認知障礙。為了平穩銜接直邊到曲邊的變化，彌合知識斷層，可以引入帶有兩條直邊的扇形，將其作為一個過渡載體。

[關鍵詞]圓形；扇形；圓面；扇面；平行四邊形；三角形；梯形

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2019）11-0024-02

蘇教版教材五年級下冊中，圓的部分增設了扇形的知識。為了使學生能夠理解圓心角大小決定扇形大小，某位教師設計了這樣的活動——在黑板上畫圓，以兩根指針為半徑，一根固定，旋轉另一根。

師（一邊演示一邊問）：你有什么發現？

生1：扇形大小隨著圓心角的大小一同變化。

生2：扇形半徑夾角越大，面積越大。

生3：扇形是殘缺的圓。

生4：圓是圓心角為360[°]的扇形。

對于生4的說法，教師雖然感到意外，但也覺得不無道理……

一、“問”：記錄

評課時，教師對于“扇形與圓形的從屬關系”爭論不休——

師1 ：我認可“扇形是圓的一部分”這一觀點，因為教材例題（如圖1）中的扇形就是從圓形中截取的。

[觀察各圓中的涂色部分，說說它們的共同特點。]

圖1

師1：我反對，因為扇形是由一段圓弧和兩條半徑圍成的圖形，而圓形的一部分只是弧線。

師1（不服）：課本不是白紙黑字寫著“涂色部分”嗎？

師2（解釋）：提示卡（如圖2）明確提到，扇形只指外部的邊線。

師3（依然不服）：教材（如圖3）上寫的“上面各圓中的涂色部分都是扇形”又是何道理？

師2（語塞）：是啊，這就前后矛盾了。

……

師3 ：我感覺“圓是特殊的扇形”這種觀點也有問題。

師4（質疑）：如果它們不存在從屬關系，那為何面積公式可以通用？

師3（思考許久）：這就難辦了。

……

從多邊形到圓形的學習是一個質變的過程，多邊形的直邊首尾連接構成封閉圖形，對學生認識其周長和面積概念都有著很強的指導性，而圓形的曲邊沒有直邊的參考，所以在構建周長和面積概念時不容易形成整體，那么捋順扇形與圓形的從屬關系就顯得至關重要。只要扇形與圓形在本質屬性上能夠順利融通對接，那么學生就能從兩者面積公式的統一性上找到理解圓形的突破口。

二、追根溯源，咬文嚼字求真理

圓常見的定義表述有兩種：①平面上到定點O的距離等于定長r的全體點的集合；②到定點的距離等于定長的動點的軌跡。以上定義表明，圓是一條線，而非一個面，它是“圓周”的簡稱。

由此分析上述課例，教者的畫圓操作，最后形成這樣一個圖形（如圖4），它是圓心角是360°的扇形，對比圖5，略有細微差別：扇形是由圓的兩條半徑、弧線圍成的圖形。圍成扇形的要素有：①兩條半徑；②一段弧；③圍合封閉；當扇形的圓心角是360°時，兩半徑重疊，弧長達到最長等于圓周。而圓只是指圓周這一條曲線。

就此而論，“圓心角是360°的扇形”和“圓”是兩個概念，“圓是特殊的扇形”這種論調似乎站不住腳。教材上只寫“弧是圓的一部分”而不寫“扇形是圓的一部分”。

可以說，一些學生混淆概念就是沒有弄清二者的本質含義。除此之外，還有一個重要的原因：一些學生對圓本身存在認知誤區，他們頭腦中的圓形是圖6這樣的——帶有半徑的圖形。

為什么存在這一認知誤區呢？這與教學方式大有關系。認識圓的過程一開始就與半徑“纏繞”在一起，許多學生認為半徑是圓形的一部分構件，再加上教師的認識也很含糊，于是學生的認知就更加模棱兩可。反觀長方形的認識過程，就沒有這樣的誤解，因為長方形沒有內部構件；類似于三角形、四邊形，它們的圖內構件——如高線，一般是在學完面積后才推出，且常畫成虛線。另外，動態畫圓的過程中，代表半徑的線段掃過的面給學生留下深刻印象，學生難免產生錯覺。由此可見，采用沿著圓形物體邊緣畫線成圓的方法，可以避免以上麻煩。

課本中所指的“圓面積”，嚴格來說，應是“圓盤面積”。眾所周知，我國近代數學是從西方“移植”過來的，英文中對圓有著雙重定義，對于circle，我們直譯為圓，其含義是一維的曲線，無面積，而disk，專指二維的圓形的圖形，有面積。在平面幾何中，圓一般多指圓周。在不同的語境中，圓可以視情況理解成圓周或者圓面，在平常使用中，如果帶有面積屬性，一般說“圓面積”而非“圓面面積”，“扇形面積”而非“扇面面積”等。在圓代指圓面、扇形代指扇面的情況下，“扇形是圓的一部分”“圓是特殊的扇形”這種說法似乎又有一定道理。

從文字定義上找到關于圓形和扇形邏輯聯系的蛛絲馬跡，實則很有必要，因為爭論的關鍵還是在于直線段“半徑”的歸屬問題。在辨析中學生的注意力被引向對直徑的關注，圓形帶不帶直徑，以及扇形究竟只是弧線還是包括兩段半徑，都直接與扇形和圓形的周長、面積掛鉤，最終學生會感悟到：無論怎么分類，弧線長度是解決（曲線圖形）周長、面積的關鍵，而弧線無論是出現在圓形還是扇形中，都是與半徑分不開的，而且它們之間存在一個連續特定的比例關系。

三、考證教材用語，實現知識的多元歸一

扇形，一般情況下指封閉線條輪廓，“一般情況下”幾個字不可忽視。由此審視教材例題（如圖1），教師對“涂色部分都是扇形”的表述提出質疑很正常。

教材前后的措辭和用語（如圖7和圖8），傳遞出編者的意圖：“涂色部分都是扇形”是一種過渡用語，為了從圓面中截取扇面。由此揣測，教材可能想采用截取圓面的方式獲取扇形，從圓形中分化出扇形比重新單獨定義扇形要簡單。

上述課例中，生4認為“圓是圓心角為360°的扇形”，這是一種極限思想的雛形。這種觀點里，已經默認扇形為扇面。在這種觀點的誘導下，將扇形面積公式同圓的面積公式統一起來，就顯得順理成章。按此理論，“平行四邊形是特殊的梯形”這種說法也就有了理論依據，二者面積公式也能通過代數式變換統一起來。

對應的，“平行四邊形是特殊的梯形”這一說法又有爭議。根據梯形定義可知梯形只有一組對邊平行，毫無疑問，而平行四邊形有兩組對邊平行，不是梯形。持相反論調者也有證據：（1）從性質來看，梯形適用的所有公式，平行四邊形也適用；（2）從點的運動軌跡角度來看，如圖9所示，如果固定C、D兩點， 動點A、B沿著直線AB自由運動，當且僅當線段AB=線段CD 時，四邊形 ABCD 為平行四邊形，其余情形一律為梯形；同理，將點A、B設為定點，C、D視為動點，亦成立。（3）從語言邏輯來看，“有一組對邊平行的圖形叫作梯形”和“只有一組對邊平行的圖形叫作梯形”雖然只是一字之差，但邏輯結構截然不同，前者是存在邏輯，后者是必須邏輯。（4）從認知論看，研究問題都是從特殊情況歸納出一般情況，然后用從一般情況中總結的法則定律解決特殊問題；從特殊到一般：正方形—長方形—平行四邊形—梯形—四邊形。

有人說，數學概念的界線有時不必那么吹毛求疵。我們不妨按照現行教材的標準將平行四邊形與梯形作為四邊形里并列且不交叉的兩個子集，在之后的面積教學中，再借機指出兩者面積公式可以通用，包括三角形面積公式在內，平行四邊形和三角形都可看作梯形的特殊情況。

總之，數學教學隨著知識面的擴充，原先割裂的知識點可以有機統一起來。如果我們用發展變化的哲學觀點來教學，就會發現，加強知識的多元歸一比進行知識的是非比較更重要，它能夠讓我們站得更高看得更遠。

[[ 參 考 文 獻 ]]

[1] 姚進.小學數學中“圓的認識”的教學設計研究[D].揚州：揚州大學，2016.

[2] 張齊華，徐斌.走進“圓”的世界——小學數學“圓的認識”課堂實錄[J].教師之友，2004（6）.

（責編 金 鈴）