淺議利用導數解決生活中的優化問題

張昱

摘 要 在日常生活中，我們經常遇到諸如產量多少、利潤多少、用料多少、效率高低等問題，而這些問題我們稱之為生活中的優化問題。數學中的導數是求函數最大（小）值的有力工具，我們利用這個工具，往往很方便解決這些優化問題。

關鍵詞 生活 優化 導數

導數是數學中一個重要的概念，它在日常生活、工作和科學研究中有著廣泛的應用，當需要定量研究相對于自變量的函數變化時，比如：物體的運動速度，電流強度等參數，我們可以利用數學中的一個重要工具——導數來處理這些問題，如果要進行這些問題的優化時，其中導數在這些解決方法或工具中顯得最方便、快捷。

1 生活中的優化問題

1.1 優化問題

在實際生活中，導數的應用主要是解決有關函數最大值或最小值問題，包括以下幾個方面：與幾何有關的最值問題； &與物理學有關的最值問題； 與經濟中利潤及其成本有關的最值問題； o效率最值問題。

在經濟學中，我們經常用到邊際成本的概念：生產成本關于產量的導函數。邊際成本是這樣定義的：當產量為時，生產成本的增加速度。另一種意思表述為：當產量為時，每增加一個單位的產量，需要增加個單位的成本。

1.2 解決優化問題的基本方法與思路

常用解決優化問題的基本方法與思路又是怎樣的呢？首先是需要分析這些問題中有哪些變量，這些變量關系如何？然后建立合適的數學模型，也就是轉換用函數表示的數學問題，注意一定要確定函數的定義域。最后就是要通過解決數學模型來解決實際問題，當然解決方法有很多很多，而導數最實用、方便。具體路線見圖1。

2 解決生活中的優化問題注意事項

利用導數解決優化問題，其本質上就是求函數的最大值或最小值，需要注意：

（1）當問題涉及多個變量時，應該搞清楚這幾個變量的之間關系，然后想辦法建立這幾個變量之間的數學函數關系式；

（2）要注意數學函數關系式中自變量的取值范圍，也就是確定它的定義域，這一步非常關鍵；

（3）最后我們通過解答數學模型所得的結果，必須與我們所要解決生活優化問題一致，不能失去它的實際意義。

3 利用導數解決生活中的優化問題

利用導數解決生活中的優化問題的一般步驟：

（1）首先建立數學模型，研究變量間的關系，確定自變量的取值范圍，列出函數關系式；

（2）然后令導數，可以得到所有實數根；

（3）將所有實數根代入函數得到各個根的函數值大小，與函數在定義域內端點的函數值進行比較，從而確定函數的最大值或最小值，當然我們必須考慮這些最值在生活中的實際意義。

3.1 用料問題

某一農民想利用自家現有的一面墻，利用籬笆圍成一個面積為100平方米的長方形圍場，如圖2所示，要使圍場所用的籬笆最節省，則這個圍場的長和寬應該為多少米？

（2）由（1）知，

令，得，所以=64。

當時<0，在區間（0，64）內單調遞減；

當時，在在區間（64，640）內單調遞增，

所以在=64處取得最小值，此時，。

故需新建9個橋樁才能使最小。

用料最省、費用最低問題出現的形式多與幾何體有關，解題時根據題意明確哪一項指標最?。ㄍ獜膸缀误w的面積、體積入手），我們可以將該項指標表示為關于自變量的函數，在自變量的變化范圍內，利用導數求出函數的最小值。

3.3 利潤問題

為了適應市場的不斷變化，某工廠為提高經濟效益，現對現有的一條加工生產線進行升級改造，經過調查研究測算，工廠產值的增加值與升級改造投資之間滿足函數關系式：，其中；為常數；，。工廠產值的增加值與升級改造投資的單位均為萬元。（已知） 求：

（1）工廠產值的增加值的表達式；

（2）工廠升級改造后利潤的最大值（保留一位小數）。

解：（1） 由條件可得解得：

則

（2），

則

令，則或，

當1≤x<5時，P'（x）<0，故P（x）在（1，5）內是減函數；

當50，故P（x）在（5，50）內是增函數；

當50

又∵（萬元），

P（1）=0.545（萬元）。

∴當x=50時，P（x）取最大值，（萬元）。

即該工廠升級改造后利潤P（x）的最大值為24.8萬元.

3.4 效率問題

假設W為消耗汽油量（單位：L），s為汽車行駛的路程（單位：km），g為汽油平均消耗率（即汽車平均每小時消耗的汽油量，單位：L/h），v為汽車的平均速度（單位：km/h）。

（1）汽油的使用效率含義是什么？

（2）若g與v之間有所示的函數關系：

，則汽油的使用效率最高時，汽車速度是多少（L/km）？

解：（1）我們一般定義汽油的使用效率為：消耗汽油量與汽車行駛距離之比，假設y為平均每千米消耗的汽油量，則。“汽油的使用效率”問題就轉化為求平均每千米消耗的汽油量y的最小值。

（2）由題意，每千米汽油平均消耗量為，當且僅當，，即時，取得最小值。故汽油的使用效率最高時，汽車速度。

4 小結

通過前面分析與總結，我們將利用導數解決優化問題的基本方法歸納為如下：首先分析實際問題的各變量的關系，建立合適的數學模型，并確定函數自變量的定義域，從而根據數學模型來解決優化問題。在這個解決問題的過程中，我們可以充分利用導數的特點，快速、正確地解決問題。我們必須注意的是，我們建立的數學模型中的自變量不一定是求導的最“佳”變量，我們可以采用換元的方法解決問題。當然，在實際問題中，常常得到定義域內的根只有一個，無需與函數別的值比較，我們可以判斷該極值就是最值。

參考文獻

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