善用知識聯系加深數學理解

俞世祥 朱萍 洪巨波

【摘 要】“積的變化規律”是乘法運算中重要的規律，本節課教學之前，在乘法口訣、乘法題組計算等情況下已經有所滲透。因此，本節課作為本單元的第一課時，教師讓學生在題組計算中發現“積的變化規律”，在回顧相關教材內容的過程中加深數學理解，滲透函數思想。

【關鍵詞】積的變化規律；函數思想

“積的變化規律”是乘法計算中自然存在著的規律，即當一個因數不變，積與另外一個因數存在著正比例關系。這一種關系，在二年級學習乘法口訣時學生已經有所體會，如“一五得五，二五一十”。其中因數5不變，另一個因數乘2，積也乘2，反之，另外一個因數除以2，積也除以2。但是，由于受當時學生思維水平的限制，并沒有引導學生做這樣的探究。到了四年級上學期，學生對“積的變化規律”已經有了較為豐富的認識基礎，教師可以引導學生通過對計算題的觀察，發現規律、總結規律、應用規律，并滲透函數思想。

一、抽象概括，總結規律

在相應題組計算的過程中，讓學生自主地發現“積的變化規律”，是基本的教學思路。同時，不同的學生對于規律發現的水平是不一樣的。因此，教師可以在計算后讓學生充分表達自己的發現，有層次地展示學生的發現，在交流互動過程中逐步發現規律、總結規律。

（一）計算觀察，獲得結論

課始，教師出示如下兩組計算題，并提出問題：觀察這兩組計算題，你有什么發現？

（1）2×6= （2）20×4=

20×6= 10×4=

80×6= 5×4=

對于這兩組題目，筆者預設，學生在觀察時會有兩種發現，一種發現是定性的，即每一組中的兩個算式間一個因數不變，另一個因數變大（或變小），積也變大（或變小）。另一種發現是定量的，即一個因數不變，另一個因數乘（或除以）幾，積也乘（或除以）幾。當然，學生在表達第二種規律時，一般會用具體的數據進行展示。在自主發現規律階段，這兩種發現應該都是正確的，都可以成為后續的學習資源。

（二）交流互動，分析結論

不同認知水平的學生，發現的規律也是不同的。整體展示學生發現的幾種典型的規律，在交流比較的過程中，逐步分析結論。

教師首先展示圍繞第1組題發現的規律。

（1）一個因數不變，另一個因數變大，積也變大。

（2）一個因數不變，另一個因數乘幾，積也乘幾。

展示上面的兩種發現后，教師追問：它們是由哪一組計算題歸納得到的？并在觀察發現第一種規律是正確的基礎上，進一步提問：第二種發現正確嗎？你能夠舉例說一說嗎？依據學生的說法，得到如圖1的板書。

進一步分析，這兩種規律，哪一種規律更符合實際。為什么？逐步引導學生認識到，第一種規律只是說明變化的情況，第二種規律還說明了具體的變化。所以第二種更符合實際。在此基礎上，依據這一種經驗，再對第2題組發現的規律進行修正。

（三）舉例驗證，完善規律

上面的發現，還只停留于一個題組的歸納。鑒于此，可以讓學生再舉一組同類的算式，驗證總結的規律是否也同時成立。

在學生舉例的基礎上，教師舉出如圖2的例子。請學生分析圖2中的算式“同時除以0”是否有意義，從而進一步完善原來總結的規律。

觀察與分析、抽象與概括、猜想與驗證是學生發現數學規律的基本方式。因此，教師在提供學習材料之后，應該讓學生有充足的獨立探究與交流反饋的時空，讓數學規律的發現過程成為學生數學學習經驗的積累過程。

二、回溯舊知，溫故知新

“積的變化規律”的發現與總結，來自對已知的乘法題組。總結出規律后，引導學生進一步回顧與“積的變化規律”有關的舊知，并用積的變化規律對新知進行理解，從而滲透函數思想。

（一）乘法口訣的回顧

之后，教師把圖3進行調整，變成了如圖4的形式，然后追問：從左往右看，各有幾個5，積是多少？學生回答后得到圖5。最后教師添上一條直線（見圖6），讓學生直觀感受積的變化過程。

通過上面這些圖的演示，學生直觀地感受到5的個數與積的變化過程，整個教學滲透了正比例的函數思想。

（二）整十、整百數乘一位數口算的回顧

整十、整百、整千數乘一位數是多位數乘一位數的基礎，當時教學時，是通過數的意義來說明算理，并通過題組比較，總結簡便算法。在學習了“積的變化規律”后，可以引導學生從積的變化規律的角度來闡述算理。

教師出示圖7，提問：想一想，你能夠用“積的變化規律”來解釋簡算的道理嗎？學生回答后，再讓學生編制這樣的一組題目，讓同桌完成。

在數學學習時，許多規律在發現之前已經在具體的數學情境中應用了，如在學習運算定律之前，在計算與解決問題時已經被多次應用了。因此，在總結出相關的運算定律后，可以選擇合適的素材進行回顧反思。

（三）整十、整百數乘一位數筆算的回顧

在學習多位數乘一位數的筆算乘法中，當多位數末尾有零時，已經學習了用豎式計算，當時更多地是從口算乘法中進行形式化的遷移，并沒有做算理上的解釋。在本節課中，可以出示如圖8的例題，讓學生用“積的變化規律”來解釋算理。

例6呈現的是計算方法上的優化，是學習三位數乘兩位數例2的基礎。出示本題，除了重新解釋算理外，也為教學三位數乘兩位數末尾有零乘法做好鋪墊。

三、以舊促新，綜合應用

在數學學習過程中，有許多新知是在舊知的基礎上就某一個方面適當地拓展，如從“兩位數乘兩位數”到“三位數乘兩位數”；有的是對舊有的問題在新的知識背景下進行重新思考，如從“歸一應用問題”到“正比例應用問題”。對于前者，我們可以把“新授課”當作“練習課”來上，對于后者，我們則需要更新原有的思維方式，將思維方式進行優化與提煉。在本節課中，這兩個方面的例子都出現了。

（一）滲透類比思想，學習“幾百幾十乘幾十”的筆算

顯然，人教版四年級上冊“三位數乘兩位數”例2（如圖9），與“整十、整百、整千數乘一位數”筆算是同一類型的。因此，回顧了后者，并用積的變化規律進行算理重構后，我們順勢而為，出示了如下的題組，讓學生嘗試筆算。

（1）36×15= （2）360×15= （3）360×150=（4）106×30=

這四個題目，前三題相互聯系，第（1）題是兩位數乘兩位數，第（2）（3）題是在第（1）題的基礎上出現了積末尾有零的情況。在學生計算之前，可以引導學生對這四道題進行比較，讓學生先擺出兩個因數相乘的豎式，然后說一說自己計算的思路，再整體計算。如其中的第（2）題，學生會有如圖9的兩種擺法。整體展示后，讓學生說一說哪一種擺法計算時會簡便一些，這樣計算的理由是什么？通過交流討論，統一豎式的擺法后，自主計算，反饋糾錯。反饋時可以特別討論第（3）題兩個因數末尾均有一個0時積為什么要添上兩個0。

這樣的編排結構，把因數末尾有零的“三位數乘兩位數”的筆算作為“積的變化規律”的應用，更有利于促進學生利用類比思想解決問題。

（二）利用幾何直觀，學習求“長方形擴大后的面積”新方法

如圖10，是利用“積的變化規律”解決實際問題的一個很好的例子。但是，在獨立完成時，大多數學生是根據長方形的面積與寬先求出長方形的長，再用長乘增加后的寬來求出“擴大后的面積”。如何引導學生根據增加后的寬與原來的寬的倍數關系來求擴大后的面積呢？采用幾何直觀是一種好方法。

在實際教學時，教師先請學生把題目中的信息用圖畫出來（如圖11），然后再依據圖示來解決問題。這時，大部分學生能夠同時用如下兩種方法計算，其中第二種方法就是“積的變化規律”的具體應用。

方法1：200÷8×24

方法2：200×（24÷8）

把文字信息用圖來表達，可以發揮“幾何直觀”的優點，發現更加合理、簡捷的解決問題的思路。

（三）借助表格信息，拓展“積的變化規律”

前面學習的“積的變化規律”，實質上是正比例函數的模型。那么，當積不變時，兩個因數又會怎樣變化呢？這既可以看成“積的變化規律”的拓展，也可以表述成“因數的變化規律”，即反比例函數的模型。就簡便運算而言，運用這一個模型，在后續學習如“1800×25”這類題目的簡便計算時，就可作為簡算的依據。

為了讓學生探究這一種規律，我們設計了如下一份表格。

先請學生計算出前面4組因數的積，然后請學生說一說有什么發現。根據“積的變化規律”的學習經驗，逐步概括出“因數的變化規律”，并依據發現的規律，填寫最后一組因數和積。

綜上可以體會到，數學知識間是有內在聯系的，教師在分析一個課時內容時，通過回溯，不僅可以了解學生的學習基礎，還可以對原有知識進行進一步分析、提煉，真正做到“溫故而知新”；同時，還可以溝通后續學習的內容，適時滲透數學思想方法，積累數學活動經驗。

（浙江省杭州市蕭山區新街三小 311200

浙江省杭州市蕭山區衙前農村小學 311200）