28÷12=280÷120嗎

章勤瓊

【摘 要】除法是數學中的基本運算之一，已知兩個數a，b（b≠0），要求一個數q，使q與b的積等于a。有余數的除法為任意一對自然數m和n（n≠0）規定了兩個而不是一個自然數與之對應。兩者存在本質的差別，不能說有余數的除法是除法的特例。有余數除法中“商……余數”的表示方法不能看作是兩個數相除的結果。因此，在比較28÷12與280÷120這兩個式子的大小時，不能運用“商相同，看余數大小”的方法進行比較，而應該直接運用商的變化規律，得出28÷12=280÷120。在學生初次接觸余數時，應強調余數與除數的相應關系；在運算教學中，應重視對等式性質與運算法則的理解。

【關鍵詞】除法；有余數除法；商的變化規律；運算能力

在某地區小學數學四年級上冊的期末考試中，出了這樣一道題：“在○里填上‘<‘>或‘=，28÷12○280÷120。”

如圖1所示，學生寫了“=”，卻被判了錯誤，并在后面訂正為“28÷12<280÷120”。此題引起了很大的爭議，有人認為此題應該是相等的，因為“被除數和除數同時乘或者除以一個數，商是不變的”。但也有人提出了不同的看法，認為“雖然商不變，但是余數會變化。這道題應該是小于，原因是如果把兩邊的式子計算出來，商相同，但余數并不相等。因為28÷12=2……4，而280÷120=2……40，商2和2是一樣的，而余數40比4要大，所以280÷120更大一些”。理由是“商相同時應該比余數”。也有人對這個題目本身提出了疑問，“這道題目是要比較余數的大小還是比較結果的大小？如果是比較余數的大小，應該是小于，如果題目是比較結果的大小還是應該等于”。

那么，這道題目的答案到底應該是等于還是小于呢？我們應該對與此相關的數學概念進行一些梳理，進而對教學進行進一步的思考。

一、“除法”與“有余數除法1”

要討論28÷12和280÷120是否相等，需要先弄清楚什么是除法。在現代數學中，一般是這樣定義的：“除法是數學中的基本運算之一，已知兩個數a，b（b≠0），要求一個數q，使q與b的積等于a，記為a÷b=q。……a稱為被除數，b稱為除數，q稱為它們的商。”[1]而在我國的小學數學教材中，學生一般在二年級開始學習除法，教材中并沒有給出除法的定義，都是結合生活實例，讓學生在分一分的活動中，在積累大量平均分經驗基礎上引出除法，而這些分一分的活動，既有按份數平均分（等分除），又有按每份數平均分（包含除）。

從定義中可以看出，在一個除法算式中，有3個數，分別是被除數、除數和商。事實上，所有的運算都應該是一種對應。而“對于自然數來說，我們可以認為算術運算是為一對自然數m和n指定一個自然數，其中m和n的順序不可改變。在自然數的前提下，算術運算的結果是一個單獨的（自然）數”。[2]清楚這一點，對于我們理解運算是有幫助的。在加減乘除四則運算中，自然數對于加法和乘法運算是封閉的，即任意兩個自然數經過加和乘之后仍然是自然數。但自然數對于減法和除法運算卻不封閉，兩個自然數相減，有可能出現負整數，如要對減法封閉，就要將數系擴充到整數；而兩個自然數相除，則可能出現分數（或小數），如要對除法封閉，就要將數系擴充到有理數。

而有余數的除法，是指“一個整數除以另一個不為零的整數，得到整數商后還有余數，這樣的除法叫作有余數的除法。有余數除法的意義也可以這樣表述：已知兩個整數a，b（a≠0），要求這樣的兩個整數q，r，使得q，r滿足：b =aq+r，r

由于都叫除法，人們容易把“有余數除法”看成是“除法運算”的一種特殊形式，但如果用對應的方式來看，這兩者存在著本質的區別。有余數的除法為兩個有序的自然數m和n（n≠0）規定了一對自然數與之對應，這對自然數就是m與n做有余數除法所得的商和余數。“有余數的除法為任意一對自然數m和n（n≠0）規定了兩個而不是一個自然數與之對應，這一事實使得它不夠資格成為算術運算。”[4]我們可以對有余數除法與除法進行如下這樣的比較[5]：

（1）“有余數除法”是定義在整數集上的一種運算；而“除法”可以在任何一種數集上定義。

（2）兩種除法的定義雖然都與乘法有關（所以它們都被稱之為“除法”），都要求除數不等于0，但具體條件不同：

（3）不能說“有余數的除法是除法的特例”，也不能說“除法是有余數除法當r =0時的特例”。它們的關系并不是屬種關系。

因而，在等式“28÷12=2……4”中，符號“2……4” 并不是28與12兩數相除的商。而是因為自然數對除法運算不封閉，無法找到一個自然數對應表示商所采取的一種特殊的表示方式，其表示的結果不代表任何確定的數。實質上它只給出了商的整數部分與分數部分的分子，分數部分的分母則是等號另一邊的除數。即28÷12=2……4的意思為28÷12=[24□]。因此，當“2……4”即“[24□]”單獨出現時，由于分數部分的分母不確定，所以它不能表示確定的數。同樣道理，在280÷120=2……40中，“2……40”所表示的[240□]如果單獨出現，由于分數部分的分母不確定，也不能表示確定的數。那么，單獨比較“2……4”與“2……40”的大小當然就毫無意義。由此，我們可以知道，前面有人提到的“商相等，比較余數大小”在數學上行不通，是一種錯誤的方法。

不妨來看另一個例子，25÷6=4……1與21÷5=4……1。因為這里的“4……1”不代表任何確定的數，我們同樣不能因為計算的結果都用“4……1”來表示，從而判定25÷6與21÷5相等。更進一步地講，雖然都是“4……1”，但兩個式子中余下來的“1”的意義是不一樣的，前式的除數是6，因此“1”是“6”當中的“1”，而后式的除數是5，因此“1”是“5”當中的“1”。也許有人會說，如果把25÷6看成a，把21÷5看成b，把4……1看成c。就有a=c，b=c，根據等式的傳遞性，應該有a=b。為什么在這里，等式的傳遞性不成立？需要再次強調，在這里“4……1”并不是兩數相除的商，不是一個確定的數，自然不能看成是“c”，那么，就不能為a與b的相等起到傳遞作用。所以，并非是等式的傳遞性不成立。

有余數除法的結果用“商……余數”表示，的確容易引起一些混亂。有學者甚至指出，“應當把25÷6=4……1這種記法清除出所有的教科書，因為它（在數學上）沒有任何意義。……正確的表示有余數除法的方式是‘25=（4×6）+1”。[6]在小學階段，恐怕無法完全避免“4……1”這樣的表示形式，但需要明確這種形式并不能作為兩數相除的結果。而在有余數除法中，無視除數直接采用“商相等比余數”的方法更是完全錯誤的。同時，也的確需要更加注重 “被除數=商×除數+余數”這樣的表達方式。

二、商的變化規律

既然在比較28÷12和280÷120的大小關系的時候，不能用“商相等比較余數”的方法去比較得到280÷120>28÷12，那么，該如何比較28÷12與280÷120的大小呢？

第一種方法當然是真正算出這兩個除法算式的商，所謂真正算出，是指找到一個確定的數來對應28÷12和280÷120的運算結果。很顯然，在自然數范圍內找不到這個數，那么需要擴充到有理數范圍，即用分數或小數來表示商，[28÷12=2412]，[280÷120=240120]。這兩個商都是帶分數，整數部分都是2，根據分數的基本性質，分數部分[412=40120]。因此，它們的商相等，根據等式的傳遞性，有28÷12=280÷120。也可以用小數來表示商，[28÷12=2.3·]，[280÷120=2.3·]。同樣可以利用等式的傳遞性，得到28÷12=280÷120。

但是，這道題是四年級上冊的期末考試題，商是小數或分數的除法還沒有學過。那么，學生是否還有其他方法解決這道題目呢？

在四年級上冊，學生已經學習了商的變化規律（人教版）。教材中明確指出：“被除數和除數都乘一個相同的數，商不變。”“被除數和除數都除以一個相同的數，商不變。”而在后面又特別強調了“應用商的變化規律不僅可以使口算簡便，還可以使筆算簡便”。[7]如果運用商的變化規律，將28÷12中的被除數和除數同時擴大10倍，變成280÷120，商不變，因此，28÷12與280÷120相等。

不需要算出結果，直接運用商的變化規律來判斷，這應當也是出題者的初衷。這樣來看，這道題判斷起來似乎并不困難，更不應該出現這么大的爭議。究其原因，大概是因為四年級上冊在學習商的變化規律時，所有的算式都是可以整除的，并沒有出現有余數的情況。而在教學商的變化規律的時候，通常會讓學生將商計算出來再進行判斷。而在本題中，計算結果的時候出現了余數，“結果”并不完全一致，所以造成了困惑。但如果明確一個事情，商的變化規律不僅適用于能整除的除法算式，還適用于不能整除的算式，這個問題就迎刃而解了。

三、兩點教學建議

第一，在學生初次接觸余數時，注意強調余數與除數的相互關系。之所以出現文章開頭的這個問題，其根本在于沒有很好地理解余數的意義。有研究者就曾指出“學生對余數的掌握只停留在技能的操作層面上，并沒有更深層次地把握余數的意義。導致產生這一問題的重要原因是，教師在課堂教學中過分注重基礎知識和基本技能的培養。這樣，盡管學生掌握了不少有關余數的知識，但教學中的‘強化訓練忽略了對余數實質的理解，學生體會不到涉及其本質的關鍵性問題”。[8]

學生在二年級下冊開始學習除法以及有余數的除法（人教版），在有余數的除法的教學中，主要有以下三個方面的內容：一是用生活情境引出余數；二是余數要比除數小；三是有余數除法的豎式計算。雖然教學中有強調余數比除數小這樣的關系，但對于余數與除數之間這種千絲萬縷的關系，如“余數是相對于除數而言的”“不能脫離除數談余數”等的關注不夠。因此，在學生初次接觸余數時，可以設置巧妙的教學活動，除了使學生認識到“余數比除數小”以外，還可以使他們認識到這樣一個問題：余數并不是單獨存在的，余數與相應的除數有關，余數隨著除數的變化而變化。[9]這對于學生后續相關內容的學習是有幫助的。

第二，在運算教學中，重視對等式性質與運算法則的理解。如在學習商的變化規律時，應該淡化通過計算出商來判斷除法算式的相等關系。商的變化規律的得出需要借助觀察商的大小，但是在理解變化規律之后進行運用的時候，可以不再把商算出來。因此，一方面，在判斷像28÷12和280÷120這樣的式子的大小關系的時候，應該注意直接運用商的變化規律來進行判斷，而不應該過分強調要分別計算出結果來進行判斷；另一方面，在教學商的變化規律時，除了整除的式子以外，可以有意識地增加一些不能整除的式子，在一定程度上引起學生的認知沖突，從而幫助他們更好地理解規律，而不是一味地先計算出商再來對結果進行比較。

更進一步地進行分析，如圖1中的第一道題，387÷25○799÷82，根據學生的答題記錄，我們可以看出，學生先判斷左邊式子的商是兩位數，右邊式子的商是一位數，因此左邊大于右邊。這當然是很好的方法，但還是先算出商再進行比較，只是這里用的是估算。其實還能引導學生運用另外一種思路進行判斷，如果比較左右兩個式子，被除數799小于387的3倍，而除數82大于25的3倍。根據商的變化規律，被除數擴大的倍數小于除數擴大的倍數，商會變小，因此，387÷25>799÷82。這樣的思考方式，更多關注式子的變化和關系，學生對于等式以及運算性質的理解更加深刻，對于今后的代數思維的發展有更大的幫助。

運算能力是義務教育數學課程標準中明確提出的十大核心概念之一，“運算能力是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力”。[10] “正確地進行運算的能力”顯然不是僅指快速準確地得到計算結果，運算能力的內涵也要豐富得多，比如有研究者就指出運算能力應包含四個方面的內容，分別是基本口算、理解算理、掌握算法以及運算策略。[11]而“根據法則”中的法則即運算法則，包含了加減乘除等運算的各種性質。商的變化規律的理解與掌握是運算法則的一部分，對于學生運算能力的發展至關重要。

參考文獻：

[1] 吳正憲，劉勁苓，劉克臣. 小學數學教學基本概念解讀[M]. 北京： 教育科學出版社，2014： 195.

[2][4][6]伍鴻熙.數學家講解小學數學[M]. 趙潔，林開亮，譯.北京： 北京大學出版社，2016： 79，79， 88.

[3][5] 金成梁. 小學數學疑難問題研究[M]. 南京： 江蘇教育出版社，2010： 47，48.

[7] 人民教育出版社課程教材研究所小學數學課程教材研究中心.義務教育教科書：數學——四年級（上）[M]. 北京： 人民教育出版社，2012：89-90.

[8] [9] 徐文彬， 湯衛芳. “兩步連除計算”的微型調查[J]. 小學數學教育， 2016（5）：21-23.

[10]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012：6.

[11] 曹培英. 跨越斷層，走出誤區：“數學課程標準”核心詞的解讀與實踐研究 [M]. 上海： 上海教育出版社，2017： 103.

（浙江省溫州大學 325035）