數（shù）源于數（shǔ），意義始于表征

張偉明

【摘 要】小數承接整數聯系分數，是數概念擴展的一個重要內容，其意義教學是一大難點。基于前測定位可以形成小數意義教學的幾條策略，即在教學中以“整體”為入口，表征小數；以“數數”為突破，展現過程；以“分割”為深化，促進內化；以“文化”厚實，培育素養。讓數數與表征自然求聯，聚焦小數的意義的真正發生。

【關鍵詞】小數；前測；表征；數數；分割

一、緣起

“小數的意義”這一課內容被編排在人教版教材四年級下冊，是小數意義的再認識，教材在學生認識小數現實模型的基礎上，借助長度單位及其現實意義，與十進分數之間建立聯系。筆者試著請教了相關年級的教師，無一不感慨，“這節課太難上了”。深思其原因，整數的位值概念和分數的意義制約著學生對小數意義的深度理解。從本質上來說，除了無限不循環小數外，其余的小數都是一種特殊的分數，分數的意義可以從分割與合成的角度來解釋。但就數的表示形式來看，小數與整數有著更為緊密的聯系，這主要是因為小數和整數都遵循十進制計數法的位值原則。

學生對小數的理解究竟有多深？小數與整數的表征如何來建立？小數與分數的聯系如何可以更緊密？教師應該怎樣引導學生認識小數的本質？帶著這些問題，筆者精心設計了問卷，對學校四年級共160名學生展開了學情調查，并在此基礎上形成對“小數的意義”一課的教學思考。

二、部分測評題及測評結果分析

（一）小數的認讀起點及分析

測評題1及結果分析：

生活中你見過小數嗎？請你寫出一個帶單位的小數，并解釋這個小數所表示的意思。

從結果上看，學生在生活情境下對于小數的含義的理解是到位的，對于純小數且一位小數最熟悉，教師可以把課堂的重心放在兩位小數的構建及多位小數的推理上，適當增加部分帶小數的相關內容。學生對于小數的生活經驗大多來源于標價，如人民幣單位，可以適當增加其他單位如“米”等的理解，促進學生對于小數意義的完整建構。

（二）小數與整數、分數的聯系分析

測評題2、部分學生答卷及結果分析：

你能用自己喜歡的方式表示出0.1和0.01嗎？

看似豐富的表征背后不難讀出學生對于這兩個代表小數計數單位的數存在認識上的一種缺失。從上圖我們讀出學生對于小數都有了一定的了解，所以他們對于0.1和0.01都能用自己的方式（文字、數字、圖形等）進行表征，圖1是一種簡化版的圖，學生說，0.1是1占了10個1中的1份，0.01是1占了10個10 中的1份，與分數進行了一定的建構。圖2學生借用的是計數器模型，在計數器上設了十分位、百分位，就能輕松表示小數，這樣的學生對于小數與整數的聯系非常清晰。圖3則借助了圖進行表征，學生知道要把整體分成10份，但對于平均分并沒有概念。整體上看，學生對于分物的整體認識不充分，對于均分概念比較模糊，大部分學生對小數的理解仍停留在小數形式表面，對于小數本質意義的理解還需多種形式輔助。

（三）小數與整數、分數的聯系分析

測評題3、部分學生答卷及結果分析：

用合適的數填一填。

比0.1大，比0.3小的數有（ ）

0.5+0.08=（ ） 你的解釋

學生對于小數的意義的理解還存在一個理想與現實的差距，近80%的學生認為比0.1大比0.3小的數只有一個0.2，即對小數的本質屬性——小數的稠密性缺乏完整的體驗，對于小數的產生及其必要性缺少概念，整數知識對小數意義的學習有著很大的幫助，學生能通過以往整數學習經驗同小數進行類比，結果顯示有57.5%的學生能通過整數知識的類比找到正確的結果，但只有13.8%的學生能以計數單位的視角進行正確的解釋，而在不能正確計算的42.5%的學生中，有80.4%的學生把5和8相加，反映了學生對于計數單位的理解還不到位。

三、策略思考

基于前測對于教學的定位，筆者形成了對“小數的意義”一課的思考。

（一）以“整體”為入口，表征小數

張奠宙教授認為：“引進小數是為了表示小于‘單位1的量，除0之外，自然數中最小的是1，所以自然數不能表示小于1的量。小數是分母為10，100，1000……的一類特殊分數。小數十進制位值原則記數法，滿十進一，但分數不是。”因此作為均分標準的“1”對于認識小數及其意義有著至關重要的作用。而對于這個“1”的理解，以及對“1”充分理解后的表征則是走向小數意義理解的第一步。

筆者認為建構起以面積、線段、數軸等模型多元感知“1”，同時結合具體的情境激發學生對小數產生實際的共鳴。譬如在表征0.1時，可以先讓學生自主說一說0.1具體可以表示什么，學生可以把生活經驗中的0.1元、0.1千克、0.1米等抽取出來，并對0.1和1元、1千克、1米進行對比，從而形成對小數的初步認知。接著讓學生在面積、線段“1”中表征0.1，幫助學生建立對不同“1”形的認知，從而為感知小數的本質意義，建立小數與整數、分數的聯系，抽象出數學意義上的0.1奠定基礎。在這些模型的堆疊、運用、建構中，圖、數學結構、現實生活情境，通過生活語言、圖示語言和數學語言相互轉化，從而豐富教學的內涵。

（二）以“數數”為突破，展現過程

華羅庚曾說：“數（shù）源于數（shǔ）。”數（shù）的本質其實是數（shǔ），而數（shǔ）的本質在于計數單位，如整數，我們可以一個一個數，十個十個數，百個百個數，個、十、百就是計數單位。小數和分數亦是如此，通過數數，展開教學過程，在序列增加或減少中，凸顯計數單位，培養數感，豐富學生數概念。

因此，筆者建議在教學中應關注作為計數單位的0.1及0.01的認識，把小數的意義和對小數的建構建立在數計數單位上來。在表征出0.1后，可以借助于數數鞏固對0.1的認識，如在面積模型中從0.4開始數數到整數1，驗證10個0.1是1，建立“1”與0.1在形上的聯系。而在對本課的難點兩位小數的突破上，還是以數數為基礎，讓學生在實際情境（如身高）0.01中或0.01的增加中深刻認識兩位小數的計數單位是0.01，在數到相同的數如1.77時，感知一位小數與兩位小數的區別，在數到1.80時體會一位小數與兩位小數的聯系。為比較一位小數與兩位小數的本質，進而推理產生三位小數乃至多位小數，建構起小數體系，夯實了基礎。學生在數數中所經歷的十等分、百等分及計數單位累加的過程，深化了對小數意義的認知，形成了對計數單位、數位等抽象意義更深刻、個性化的認識和理解。

（三）以“分割”為深化，促進內化

維果茨基說：“了解概念形成的過程，即可把握住兒童認知與思維的過程。”對于數概念的理解也應遵循數概念的形成過程。即幫助學生在無限分割中逐步建立小數概念，體會小數因測量、分物、計算而產生需要，深度理解小數的稠密性，從而促進自身的認知，提升數學思維。

筆者認為小數的產生其實質是整數不夠表示。當整數不夠表示時，把整數平均分成10份，每1份是0.1，于是就產生了一位小數，當一位小數不夠表示時，就把0.1平均分成10份，每1份就是0.01，于是就產生了兩位小數。多位小數亦是如此。借助面積、立體、數軸模型十等分再十等分，學生不斷感受細分的過程，逐漸體會兩個小數之間還存在著無數個小數。以這樣的分割操作引入，學生在分一分、畫一畫、說一說、數一數等活動中發現小數產生的實際需要，體驗具體到抽象的理解過程，從而刻畫出小數的稠密性。在這樣的學習活動中，學生對于整數、分數自然進行了聯系，而數數又很好地彌補了學生意義概念上的缺失，指向于學生對于數的本質理解，打破了學生原有的數的體系，豐富了數系的內涵，而更為關鍵的是學生習得數產生的基本活動經驗，為后續新的數的學習埋下了種子。

（四）以“文化”厚實，培育素養

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“數學是人類文化的重要組成部分，數學素養是現代社會每一個公民應該具備的基本素養。”可見，數學、文化、素養本身就可以進行有機結合。在數學的課堂里，以文化人，用文化來培育人，讓素養得以真正發生，是“小數的意義”這一課所期望達成的另一高度。

筆者認為，可以讓數學在人文科學、自然科學領域找到原型，用學生所熟知的小數，如圓周率π、黃金分割率0.618等展開設計，開闊學生的視野，讓素養伴隨著文化自然發生。以0.618為例，給出一條0～1的數軸，讓學生來猜數。在學生的猜測中謎底逐步揭示，學生在數線的無限逼近中實現對小數意義的深度抽象認識，推理出數軸上的點是稠密的，并且是連續的，任意兩個無限接近的點之間的線段仍然可以不斷地細分，從而繼續產生無數個點的特性，與此對應的小數也是無窮無盡的，從而建構起對小數本質意義的理解。在數學素養諸如抽象、推理等概念的建立的同時，學生對0.618這個古老分割率的認識得到了提升。

參考文獻：

[1]楊慶余.小學數學課程與教學[M]. 北京：高等教育出版社，2004.

[2]劉勝俊.小學數學課堂教學藝術[J]. 課堂內外（教師版），2012（11）.

[3] 陳小霞.基于網絡的“小數的意義”學前調查與分析[J]. 教學月刊·小學版（數學），2017（3）.

（浙江省杭州市余杭區古墩路小學 311100）