單元整體設計完善學習序列

陳芳 邵漢民

【摘 要】單元整體設計是提高課堂教學效率的重要方法。以“三位數乘兩位數”的單元整體設計為例，總結單元整體設計的一般方法，即通過“分析”，發現原單元結構中存在的問題；經歷“重構”，意在構建更加合理的教學序列；適度“添加”，使每一課時的教學目標更加豐盈。

【關鍵詞】整體設計；學習序列；三位數乘兩位數

小學數學教材由一個個相對獨立的單元構成，同一單元中的新知又是按照一定的邏輯順序編寫，從而可以在單元學習的過程中讓學生形成良好的認知結構。同時，在教學中，我們也發現，有一些單元的教學順序如果能夠做適度調整，就可以讓各個課時之間的邏輯關系更加符合新知學習的認知規律。因此，我們可以從單元整體設計的視角審視單元內的課時教學內容，從分析原有的單元學習序列入手，發現可以改進之處；重構新單元學習序列，實現“部分之和大于整體”的目的；最后從課時設計出發，適當添加新的課時教學內容，讓每一個課時的教學目標更加完善。下面以人教版“三位數乘兩位數”的單元整體設計為例，談談具體的做法。

一、分析原有的單元學習序列

分析單元學習序列，可以從單元結構分析入手。首先，厘清單元有哪幾個學習板塊，這些學習板塊間又是怎樣的關系；其次，進一步分析各個板塊需要怎樣的學習基礎；最后，從完善各個板塊間的邏輯關系入手進行辨析，為重構單元學習序列做準備。

（一）單元結構分析

邏輯性是數學重要的特征。體現在單元中，是指一個單元中的數學知識的學習序列呈遞進關系。如三年級上冊“倍的認識”這一個單元，學習序列是“倍的認識→倍的應用問題”，在建立倍的概念的基礎上，然后在具體情境的應用中，總結“求一個數是另一個數幾倍”和“求一個數的幾倍是多少”兩類應用問題的數量關系。前者是后者學習的基礎，兩個板塊不可以交換。

而2011年版的人教版“三位數乘兩位數”這一個單元比較特殊，它的三個板塊雖然都是關于乘法的內容，但又是相互獨立的，呈并列關系，如圖1。

第一個板塊是例1、例2，即“三位數乘兩位數”筆算乘法。兩個例題是按一般到特殊的形式編排，即例2一般是在例1“三位數乘兩位數筆算”的基礎上，學習因數末尾有0或第一個因數中間有0的兩種特殊的乘法筆算；第二個板塊是例3，即積的變化規律，通過計算有聯系的乘法題組，觀察、分析、概括出規律；第三個板塊是例4、例5，即乘法中兩個常見的數量關系，通過舉例，概括得出更為一般的數量關系。

這樣的單元結構也不是特例，如四年級上冊的“除數是兩位數的除法”中的三個板塊，其中“口算除法”板塊與“筆算除法”板塊是遞進的，而第三個板塊“商的變化規律”又是獨立的。

那么，這樣的單元，是否可以通過單元內部結構的重組，增強板塊間的內在聯系，體現單元的結構性與邏輯性呢？

（二）學習基礎分析

學習基礎包括兩個方面，一是已經學習的數學知識，二是已經有的生活經驗。呈遞進關系的數學新知，前者的學習往往就是后者的學習基礎，或者是主要的學習基礎。但是，并列關系的單元，各個板塊的學習基礎往往是獨立的。

如“三位數乘兩位數”的三個板塊的學習基礎就是相互獨立的。從圖1可以清晰地發現，第一個板塊的學習基礎是“多位數乘一位數”“兩位數乘兩位數”，前者提供的是分步積的計算方法，后者提供的是算理與法則。因此，可以用類比遷移的思想方法讓學生自主探究；第二個板塊的學習基礎是對有聯系的乘法計算題組的觀察、發現與歸納；第三個板塊則是對原有的用乘法解決問題時的數量關系進行分類與概括。

所以，這三個板塊的學習，都可以提供相應的學習材料，讓學生進行自主嘗試、自主探究，并通過交流反饋的形式總結法則、探究規律。

（三）邏輯關系辨析

邏輯關系辨析就是指在分析單元結構與學習基礎后，探究原來教材單元學習序列中的不合理之處，為重構新的單元學習序列尋找實踐的依據。

經探究可以發現，第一個板塊中的例2因數末尾有零的乘法，雖然可以由“多位數乘一位數”的同類筆算乘法進行遷移，但是在之前學習時也只是法則上的規定，并沒有算理上的解釋。而第二個板塊“積的變化規律”恰恰可以作為其算理上的解釋，因此如果能夠調整這兩個板塊的順序，更有利于“例2”算理的總結與理解，如圖2。

同時還可以發現，第三個板塊如果能夠前置到第一個板塊前，即成為新的第二個板塊，則如例1的數量關系，可以用“（火車的）速度×時間=（到北京的）路程”來概括。同時，“積的變化規律”包含了正反比例函數的模型（如圖3），在學習了這一個“模型”后，再來分析乘法的數量關系，也可以從“函數”的視角設計問題，如知道“單價”后，結合具體例子，分析當“單價”不變時，總價如果增加、數量會怎樣變化。

因此，通過單元板塊間邏輯關系的辨析，可以使各個板塊之間的邏輯關系更加密切，讓原來相互獨立的板塊，通過合理調整，成為有邏輯關系的單元學習序列。

二、重構新的單元學習序列

對原單元進行分析與辨析，既可以梳理出學習序列，更可以揭示重構新的單元學習序列的必要性與可行性。重構新的單元學習序列，可以以調整單元學習序列為基礎，整合單元學習內容，并選擇合適的切入點進行基于單元的課程拓展。

（一）調整單元學習序列

調整單元學習序列可以分為三類。一是重新構建板塊，即把單元中的新知重新組織，形成新的板塊。二是板塊內的調整，即把某板塊內的學習序列進行調整。三是對各板塊的學習順序進行整體調整。

“三位數乘兩位數”主要采用第三類方式進行調整，即調整后的第一個板塊為“積的變化規律”。第二個板塊是“常見的數量關系”，第三個板塊是“三位數乘兩位數”。并且努力實現前一板塊的學習內容在后一個板塊學習時進行合理的應用，如圖4。

調整單元學習序列，可以更好地構建起單元邏輯結構，讓前一節課學習的知識成為后一節課的學習基礎，前一節課獲得的學習經驗，在下一節課中得到應用。

（二）整合單元學習內容

在調整學習序列的基礎上，還要考慮如何進行單元學習內容的整合，注重前期滲透，提高課堂教學實效。

如在總結了“積的變化規律”后，教師可以讓學生回顧原來的“兩位數乘兩位數”中因數末尾有零的豎式計算，讓學生用新學習的知識進行解釋。或者可以直接出示例2中末尾有零的“三位數乘兩位數”的題目，讓學生想一想，可以怎樣擺豎式，如何計算？這樣，“三位數乘兩位數”例2中的兩個計算題就可以應用轉化思想與積的變化規律得到解決，如圖5。

整合單元學習內容，適當打破原有的編排結構，以符合學生的認知規律，讓每一個課時重點突出，相關內容聯系緊密。

（三）拓展單元學習內容

通過整合單元學習內容，有時候可以節省出課時，用節省的課時進行課程拓展，可以更好地鞏固新知，拓展思維。

如本單元通過整合，把例2作為“積的變化規律”的應用，節省一個課時。因此，我們把教材中練習八第12題（如圖6）作為數學課程拓展的素材，讓學生通過多種嘗試，逐步發現乘積最大的算式特點。

在人教版教材中，有不少帶“*”或“？”的思考題，這些題目如果在正常的課時教學中進行練習，學生解決問題的時間相對較少，不能很好地體現這些題目的教學價值。因此，教師可以采用“一題一課”的形式，讓它們成為拓展學生數學思維的好材料。

三、添加新的課時教學內容

基于單元的教學重構，也可以在此基礎上對某些課時的教學內容進行重新編排，調整或增加一些教學內容，以幫助學生更好地學習數學知識，發展數學思維。

（一）在“積的變化規律”中溝通新舊知識間的聯系

“積的變化規律”是乘法計算中自然存在的規律，即當一個因數不變，積與其中的一個因數存在著正比例關系。這一種關系在之前的乘法學習中多次出現。因此，在“積的變化規律”的教學中，除了前文指出可以整合例2的內容外，也可以對體現“積的變化規律”的舊知進行系統梳理，讓學生體會到數學學習是一個不斷積累經驗與抽象概括的過程。這樣的例子在數學新知學習中是很常見的，如“乘法分配律”“商的變化規律”等。

（二）在練習復習課中增加新的數量關系

在日常生活中，除了有關“單價”與“速度”的兩個數量關系，還有一個常見的關系式“工作效率×工作時間=工作總量”（以下簡稱“有關‘工作效率的關系式”）。它可以看成有關“速度”的數量關系的變式，在學生學習了有關“速度”的數量關系后，添加有關“工作效率”的關系式來解決問題，讓學生在比較中總結出有關“工作效率”的數量關系。

（三）在“三位數乘兩位數”教學時感受整數筆算乘法的一般化

“三位數乘兩位數”的算理與算法遷移于“兩位數乘兩位數”，在此基礎上，可以進一步追問假如是“四位數乘兩位數”“三位數乘三位數”又應該怎樣計算？整數乘法都是怎樣筆算的？在解決以上問題時實現筆算乘法的一般化。同時，介紹“你知道嗎？”中的“格子乘法”，進一步體會筆算乘法的算理是因數的分解相乘后再相加，并經歷了由繁到簡的過程。

（四）在“常見的數量關系”教學時滲透函數思想

“數量關系”反映的是有關聯的量之間的運算關系。進一步理解，如果把“三個量”稱為“三種量”，就可以從“常量思維”轉變到“變量思維”，“函數思想”的滲透就可實現了。在教學“單價、數量與總價”“速度、時間與路程”這幾個數的關系時，可以突出對“單價”“速度”（包括“工作效率”）的理解。“單價”體現的是商品的價格高低，同一種商品，當“單價”一定時，數量增加，總價也增加；當“總價”一定時，數量如果需要增加，那么“單價”就要下降；在“速度、時間與路程”（包括“工作效率、工作時間與工作總量”）中也可以發現同樣的變化規律。

總之，我們的單元整體設計經歷了“分析”“重構”與“添加”這三個步驟。通過分析，指出原單元結構中存在的問題；通過重構，意在構建更加合理的教學序列；通過添加，可以使每一課時的教學目標更加豐盈。在此基礎上，結合具體的單元，在實踐研究時做出調整，以更好地構建起基于學生認知規律與數學學科邏輯的單元教學體系。

（浙江省湘湖師范附屬小學 311200

浙江省杭州市蕭山區所前鎮第二小學 311200）