例說導(dǎo)數(shù)幾何意義在解題中的應(yīng)用

邱廷月

【摘要】 導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，也是新課標(biāo)的考查內(nèi)容.在《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》的學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)碰到關(guān)于導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用的題型，筆者嘗試以小專題的形式加以總結(jié)，旨在從紛繁的題目中提煉出一些模型，幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.

【關(guān)鍵詞】 導(dǎo)數(shù)幾何意義;數(shù)形結(jié)合;應(yīng)用

一、求曲線的切線方程

例1?? （1）求曲線C：f（x）=x3-2x在點(diǎn)P（1，-1）處的切線方程;

（2）求曲線C：f（x）=x3-2x過點(diǎn)P（1，-1）的切線方程.

解析? （1）因?yàn)閒′（x）=3x2-2，所以f′（1）=3-2=1，

于是曲線C在點(diǎn)P處的切線方程為y-（-1）=x-1，

即x-y-2=0.

（2）設(shè)切點(diǎn)為A（x0，x30-2x0），則f′（x0）=3x20-2，

所以曲線C在點(diǎn)A處的切線方程為：y-（x30-2x0）=（3x20-2）（x-x0）.

又因?yàn)辄c(diǎn)P（1，-1）在切線上，

所以-1-（x30-2x0）=（3x20-2）（1-x0），

解得x0=1，或x0=- 1 2 ，

所以切線方程為x-y-2=0或5x+4y-1=0.

點(diǎn)評(píng)? 本題是利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線斜率，從而確定切線方程，這是常規(guī)思路.在審題時(shí)要注意：“求在點(diǎn)處的切線方程”，還是“求過點(diǎn)處的切線方程”.若是“求在點(diǎn)處的切線方程”，則給定的點(diǎn)為切點(diǎn)，求出切線斜率，寫出直線的點(diǎn)斜式方程.若是“求過點(diǎn)處的切線方程”，則給定的點(diǎn)不一定為切點(diǎn).求切線的基本方法：① 設(shè)切點(diǎn);② 求出切線方程;③ 代點(diǎn)（已知點(diǎn)）;④ 解方程.

二、距離最值問題

例2?? 已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x，P，Q分別為f（x），g（x）圖像上任一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為 .

解析? 問題可轉(zhuǎn)化為求f（x）圖像上的點(diǎn)到直線y=x的最小距離，即曲線f（x）上斜率為1的切線的切點(diǎn).

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，lnx0）.

由y=lnx得y′= 1 x .令 1 x0 =1，解得x0=1.

故曲線f（x）=lnx上的點(diǎn)M（1，0）到直線y=x的距離最小，且最小距離為d= 1? 2? =? 2? 2 .

點(diǎn)評(píng)? 將曲線上的動(dòng)點(diǎn)到定直線的最小距離問題轉(zhuǎn)化為求曲線上斜率已知的切線的切點(diǎn)問題，解題的工具即導(dǎo)數(shù)的幾何意義，這是導(dǎo)數(shù)幾何意義的重要應(yīng)用.

變式? 設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）2+（lnx-a）2，其中x>0，a∈ R ，存在x0使得f（x0）≤ 1 2 成立，則實(shí)數(shù)a的值是 .

解析? 由題意得，函數(shù)f（x）表示動(dòng)點(diǎn)M（x，lnx）和動(dòng)點(diǎn)N（a，a）間的距離的平方.其中動(dòng)點(diǎn)M（x，lnx）在函數(shù)y=lnx的圖像上，動(dòng)點(diǎn)N（a，a）在直線y=x上.問題可轉(zhuǎn)化為求曲線y=lnx上的動(dòng)點(diǎn)到y(tǒng)=x的最小距離.

由y=lnx得y′= 1 x .令 1 x =1，解得x=1.

故曲線y=lnx上的點(diǎn)M（1，0）到直線y=x的距離最小，且最小距離為d= 1? 2? =? 2? 2 .

由題意可得f（x）≥ 1 2 .根據(jù)題意存在x0使得f（x0）≤ 1 2 成立，則f（x0）= 1 2 ，此時(shí)點(diǎn)N（a，a）恰好為垂足，

由kMN= a-0 a-1 =-1，解得a= 1 2 .

點(diǎn)評(píng)? 本題從所給函數(shù)的幾何意義出發(fā)，將問題轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)到直線的最小距離來處理，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得最小距離后，又將條件中給出的能成立的問題轉(zhuǎn)化為恒成立的問題，從而根據(jù)兩點(diǎn)間連線的斜率求得參數(shù)值.解題中要根據(jù)題目中給出的條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，以使問題得到解決.

三、零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題

例3?? 已知函數(shù)f（x）=? 1 4 x+1，x≤1，lnx，x>1，? 若關(guān)于x的方程f（x）=ax恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .

解析? 因?yàn)榉匠蘤（x）=ax恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，所以函數(shù)y=f（x）與y=ax的圖像有2個(gè)交點(diǎn)，可求得直線l與曲線y=f（x）相切時(shí)的切點(diǎn)為（e，1），斜率為 1 e ，

又因?yàn)橹本€m與直線y= 1 4 x+1平行，所以直線m的斜率為 1 4 ，

如圖1所示，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是? 1 4 ， 1 e? .

點(diǎn)評(píng)? 通過方程f（x）=ax恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為y=f（x）與y=ax有2個(gè)交點(diǎn)，求出a的取值范圍，即求滿足條件的斜率的取值范圍.其中a的一個(gè)分界點(diǎn)為直線與曲線相切時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出此時(shí)的斜率.零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)問題，還可以轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，當(dāng)其中有一條曲線為直線時(shí)，求分界點(diǎn)時(shí)通常可以借助導(dǎo)數(shù)幾何意義求解.

例4?? 若函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .

解析? 函數(shù)f（x）=x（lnx-ax），

令f′（x）=lnx-2ax+1=0，得lnx=2ax-1，

所以函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)，

等價(jià)于f′（x）=lnx-2ax+1有兩個(gè)零點(diǎn)，

等價(jià)于函數(shù)y=lnx與y=2ax-1的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，

在同一坐標(biāo)系中作出它們的圖像（如圖2所示），

則當(dāng)a= 1 2 時(shí)，直線y=2ax-1與y=lnx的圖像相切，

由圖2可知，當(dāng)0

點(diǎn)評(píng)? 把極值點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx與y=2ax-1的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)的問題，利用數(shù)形結(jié)合和導(dǎo)數(shù)幾何意義求解.

四、不等式恒成立問題

例5?? （2016全國Ⅱ）已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-a（x-1），若x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）>0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析? 即當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，（x+1）lnx>a（x-1）.

令g（x）=（x+1）lnx，h（x）=a（x-1），

f′（x）=lnx+ x+1 x -a，

則原問題可轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，曲線g（x）始終在直線h（x）的上方，

g′（x）=lnx+（x+1）· 1 x =lnx+ 1 x +1，

g″（x）= 1 x - 1 x2 = x-1 x2 >0，

所以g′（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，g′（x）>g′（1）=2>0，

所以g（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，在同一坐標(biāo)系中作出它們的圖像（如圖3所示）.

當(dāng)a=2時(shí)，曲線g（x）與直線h（x）相切，于是a≤g′（1）=2，即a∈（-∞，2].

點(diǎn)評(píng)? 本題是不等式恒成立問題，不等式恒成立問題在某種意義上和曲線與切線、曲線與曲線的位置關(guān)系有關(guān).利用數(shù)形結(jié)合思想加以解題，避開了分類討論，更直觀.

例6?? 已知函數(shù)f（x）=e2x-ax2-ax+e2（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在（-∞，+∞）上不存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .

解析? 原問題可轉(zhuǎn)化為：f′（x）=2e2x-2ax-a≥0在（-∞，+∞）恒成立，即2e2x≥a（2x+1）在（-∞，+∞）恒成立，

令g（x）=2e2x，h（x）=2a x+ 1 2? ，

則原問題可轉(zhuǎn)化為：

曲線g（x）始終在直線h（x）的上方，

又因?yàn)閯?dòng)直線h（x）過定點(diǎn)A - 1 2 ，0 ，所以如圖4所示，

當(dāng)直線h（x）在x軸與曲線g（x）的切線l之間轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)滿足題意.

設(shè)g（x）與直線l相切于（x0，2e2x0），

由 4e2x0=2a，2a x0+ 1 2? =2e2x0，? 解得a=2，所以a∈[0，2].

點(diǎn)評(píng)? 本題把函數(shù)極值點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為曲線與直線的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合思想求出分界點(diǎn)，使得問題得以簡化，這是導(dǎo)數(shù)幾何意義的重要應(yīng)用之一.

以上從六個(gè)例題對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用做了四個(gè)方面的透視，這些試題均以導(dǎo)數(shù)幾何意義為工具，很好地呈現(xiàn)了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、圖像等問題，并與相關(guān)知識(shí)融會(huì)貫通，充分體現(xiàn)了函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、方程之間的聯(lián)系.不難看出，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義解決問題的主要思想方法是“數(shù)形結(jié)合思想”和“轉(zhuǎn)化思想”等等，這需要我們不斷積累經(jīng)驗(yàn)，在學(xué)中做，在做中思，在思中悟.