反思促進學生高效解決數學問題

羅文三

【摘要】 本文從反思答案是否準確無誤、方法能否一題多解、題目能否一題多變、規律能否進行建模四個方面引導學生進行解題后反思，“解題后反思”既能促進學生鞏固所學的數學知識和思想方法，又能提高學生的學習能力和培育學生的數學素養.

【關鍵詞】 反思;引導;解題

在開展課題研究過程中，筆者引導學生進行解題后的反思，深刻體會到：反思促進學生高效解決數學問題.

一、反思概念界定

本文所說的反思是指學生以自己的高中數學學習活動為思考對象，自覺主動地對自己的數學學習行為、方法以及由此產生的數學結果進行審視和調控的一種行為，是學生 順利進行數學學習活動以及提升數學素養的一條有效途徑.

二、反思理論基礎

20世紀70年代美國兒童心理學家弗萊維爾提出了元認知的概念，他認為元認知就是對認知的認知，即以認知作為研究對象的認知.這一概念包括三個方面的內容：元認知知識、元認知體驗和元認知監控[1].可見元認知理論的形成，深化并拓展了反思的觀念，不僅使反思的內涵與步驟更加清晰、更易理解和把握，而且使反思由昔日單純的心理現象變成一種實踐行為.

三、引導學生進行解題后反思

美籍匈牙利數學教育家喬治·波利亞曾說過：“數學問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧;如果沒有了反思，他們就錯過了解題的一次重要而有效益的方面.”因此，學生在解完數學問題以后，有必要回顧和檢查自己的解題過程，并進行深入的反思.筆者從以下四個方面引導學生進行解題后反思.

（一）反思答案是否準確無誤

每當學生解完題后，教師要引導學生反思答案是否有誤和疏漏的地方，并加以總結應該注意的方面：答案是否與題中隱含條件相抵觸，是否有其他可能情況，是否掉入了命題者所設置的陷阱等.

在學生學習選修2-1中橢圓概念時，筆者讓學生思考問題：已知點A（-1，0），B（1，0），如果點P滿足|PA|+|PB|=2，那么點P的軌跡是什么？學生會輕率地做出錯誤的判斷：橢圓.學生容易記住本質條件，但往往忽略了附加條件，從而造成運用時出現錯誤，因而，在學生解完題后，教師要引導學生反思錯誤原因.

（二）反思方法能否一題多解

不少數學問題具有靈活多樣的解法，因此，在學生解完題目以后，教師應及時引導學生對解題方法進行反思，鼓勵學生積極尋求解題的多種途徑，促進學生對問題有更深層次的理解.

人民教育出版社A版選修2-1的第73頁第6題：直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于點A，B，點O是原點，求證：OA⊥OB.

經過教師的引導，學生就可以想出以下三種解決方法.

方法一：引導學生觀察題設，直線和拋物線的方程是確定的，聯立方程組即可求出A，B兩點的坐標，要證明OA⊥OB，學生很容易想到kOA·kOB=-1（斜率顯然存在）.

方法二：引導學生思考第一種思路是否可以優化.不用考慮斜率是否存在，盡量減少計算量，不求出A，B點坐標，啟發學生聯想兩個向量垂直，運用向量坐標化，學生很快想到：OA ⊥OB x1x2+y1y2=0.

方法三：引導學生充分利用平面幾何性質，“OA⊥OB”等價于“以AB為直徑的圓過原點O”，可以運用有關圓的知識來解決.

通過一題多解，促進學生多角度地思考問題，提高了學生學習數學的興趣和積極性，培養了學生反思意識，發展了學生創新思維.

（三）反思題目能否一題多變

教師引導學生從適當改變原題的條件或結論，對原題進行改造，做出適當變形或變式，使一題變多題，把一道題 變成一類題，有利于學生拓寬思路，開闊視野，提高應變能力.筆者從以下四個角度引導學生對以上教材習題進行變 式.

1.引導學生進行等價化變式

教師引導學生觀察分析題目中的條件和結論，尋找它們的等價條件和等價結論，學生比較容易想到變式命題1：過點（2，0）且斜率為1的直線與拋物線y2=2x相交于點A，B，點O是原點，求證：以AB為直徑的圓過原點O.

2.引導學生進行一般化變式

教師引導學生思考能否將題中的特殊條件一般化，啟發學生利用數形結合變換直線位置，學生能很快想到利用對稱性找到符合條件的直線，教師進一步鼓勵學生大膽猜想：是否過定點（2，0）的任意直線l都符合？經過驗證，進而得到變式命題2：過點（2，0）的直線l與拋物線y2=2x相交于點A，B，點O是原點，求證：OA⊥OB.

3.引導學生進行互逆化變式

教師引導學生進行逆向思維，啟發學生分別將命題2的條件和結論相互交換，可得到變式命題3：直線l與拋物線y2=2x相交于點A，B，點O是原點，OA⊥OB，求證：直線l過定點（2，0）.

4.引導學生進行類比化變式

教師引導學生進行類比思考：能否將拋物線類比到橢圓或雙曲線也有這樣的結論？鼓勵學生大膽猜想，引導學生先從特殊的橢圓及其特殊點進行探索，結合圖形技術加以驗證，經過小組合作討論，再通過證明，得到變式命題4：直線l與橢圓 x2 4 +y2=1相交于點A，B，點P是橢圓的左頂點，PA⊥PB，求證：直線l過定點.

（四）反思規律能否進行建模

教師讓學生思考這個問題：不等式2x2+（4k+l）x+2k2-1>0對任意實數x恒成立，求實數k的取值范圍.然后引導學生反思它的等價問題，啟發學生對這類題型可以構建函數與方程模型，等價于關于x的二次方程根問題和二次函數圖像與x軸交點問題.

在學生解決數學問題后，教師不但要引導學生歸納知識要點，注重知識遷移，探索解題規律，優化解題方法，而且還要引導學生構建數學模型，拓展創新思維，力求能力發展.只有這樣，教師才能帶學生走出茫?！邦}?！?，讓學生收到事半功倍的效果，進而提高學習數學的效率.

總之，教師從以上四個方面引導學生進行解題后反思，既能促進學生鞏固所學的數學知識和思想方法，又能提高學生的學習能力和培育學生的數學素養.

【參考文獻】

[1]J.H.弗拉維爾.認知發展（第4版）[M].上海：華東師范大學出版社，2002.