在推理中積累思考的經驗
——以《運算律》單元教學為例

陳幼玲

（古田縣第二小學，福建 古田 352200）

培養學生的推理能力、幫助學生積累數學活動經驗是數學課程標準的要求。數學推理是“人們在數學觀念系統作用下，由若干數學條件，結合一定的數學知識、方法，對數學對象形成某種判斷的思維操作過程”。[1]小學階段的數學推理主要包括含有歸納、類比等以經驗和直覺為依據的合情推理，以及以確定發展為依據的演繹推理。[2]《義務教育數學課程標準（2011年版）》認為，合情推理就是“從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果”；演繹推理就是“從已有的事實和確定的規則出發，按照邏輯推理的法則證明和計算”。思考的經驗是學生“在思維操作中開展活動獲得的經驗，如歸納的經驗、類比的經驗、證明的經驗。”[3]如果教師在教學過程中引導學生充分經歷推理過程，就能有效培養他們的推理能力，幫助他們積累數學思考的經驗，教學就會一舉多得、事半功倍。現以北師版四年級上冊《運算律》單元的教學為例，談談如何引導學生在推理過程中積累數學思考的經驗。

一、推理中形成思考的經驗

數學思考是數學教學的核心。它是學生對數學對象理解和掌握的過程，是學生從數學角度理性思維發現數學現象、用數學知識和方法解決問題的過程。為了幫助學生形成數學思考的經驗，教師要引導學生獨立、自覺地深入數學學習過程，在具體的教學情境中經歷分析、對比、歸納、整理、判斷、推理等思維過程，幫助他們在揭示知識本質的過程中逐漸形成數學思考的獨特經驗。

教學加法交換律時，學生口算4+6和6+4并用4+6=6+4表示后，照樣子寫出算式2+3=3+2，62+53=53+62，234+567=567+234……學生經過仔細觀察，發現交換兩個加數的位置，和不變。用生活中的事例解釋發現時，有的畫圖（圖1）驗證，從電影院到學校的距離和從學校和到電影院的距離一樣；有的舉例驗證：四年級1班有27名男生和24名女生，用27+24或24+27計算，結果都表示全班人數……用a、b表示兩個加數時，他們很快用a+b=b+a表示加法交換律。最后，學生用規律解釋358+276豎式計算和276+358驗算的道理。

圖1

教學乘法交換律時，學生先由3×5=15和5×3=15引出3×5=5×3，接著舉出類似例子發現“兩個數相乘交換乘數的位置積不變”的規律，然后解釋發現，并用含有字母的式子表示規律——a×b=b×a，再用規律解釋5×107=535和驗算107×5的道理，最后比較兩個運算律的異同，理解并掌握規律的內涵。

學生模仿舉例中用了類比推理，初步感知交換律；學生發現交換律的過程用了歸納推理，體驗了規律抽象概括過程，初步形成歸納的經驗——個例猜想不能表示普遍規律，必須通過驗證；應用規律解釋算理是演繹推理（如大前提是a+b=b+a，小 前 提 是 358+276=634，結 論 是276+358=634）的過程，學生從中初步形成數學思考的經驗——簡單演繹推理有利于掌握知識本質。探究乘法交換律時，學生剛形成數學思考的經驗得到了豐富。

二、推理中豐富思考的經驗

數學思考經驗是學生直接或間接參與數學思維活動產生形成的。教師要充分引導學生經歷數學思考過程，關注學生思考什么，怎么思考，思考結果怎樣等。教師要引導學生充分經歷觀察、操作、實驗、猜想、驗證、歸納和類比等數學活動，成為他們形成數學思考經驗的開發者和促進者，幫助他們在推理過程中形成思考的經驗。

教學加法結合律時，教師先引導學生觀察（4+8）+ 6 = 4 +（8 + 6）和（19 + 62）+ 38 =19+（62+38）兩組等式，再模仿舉例。學生經過仔細觀察提出猜想——三個數相加，先算前兩個數或先算后兩個數相加和不變。解釋發現時，有的用桃30個梨40個和蘋果50個為例說明求總數，可以用（30+40）+50或30+（40+50）表示；有的用一只足球20元、一只游泳圈23元和一只籃球6元為例說明（20+23）+6=20+（23+6）都表示三種體育用品的單價之和……最后，學生用字母a、b、c表示規律——(a+b)+c= a+(b+c)，并用所學知識計算57+288+43，發現應用加法交換律和結合律能使計算簡便。

教學乘法結合律時，學生由（2×4）×3=24和2×（4×3）24想到（2×4）×3= 2×（4×3），照樣子寫出一些例子后發現規律——三個數相乘，先把前2個數相乘或先把后兩個數相乘積不變，然后用生活中的事例解釋發現：有的用方塊拼圖解釋，有的用買飲料的例子解釋……再嘗試用含有字母的式子表示規律——（a×b）×c=a×（b×c），最后思考如何計算125×9×8。他們在觀察算式中的運算符號和數的特點中加深理解和掌握乘法結合律。

學生探究結合律所經歷的歸納推理和演繹推理的過程與交換律的過程相似。他們在類比推理中寫出相似算式，在歸納推理中經歷規律的抽象概括過程，在應用規律中借助演繹推理掌握運算律。他們從中再次形成數學思考的經驗：多寫一些類似的例子有助于猜想，但猜想只有經過驗證才能成為規律；簡單的演繹推理有助于理解并掌握結合律的知識本質。這些經驗和前面所形成的經驗相似，學生在再次推理中“重復”了數學思考的經驗，從而豐富了數學思考的經驗。

三、推理中深化思考的經驗

思考是學生理解和掌握數學知識本質的關鍵。學生積累數學思考的經驗離不開他們已有經驗的遷移，也需要他們在經歷一些本質相同、形式不一的數學活動中進行改造和提升，才能使思考經驗由低層次不斷向高層次發展和提升。教師要充分應用各種教學資源，使學生在豐富多彩的學習素材中實現經驗的聯結，幫助他們在推理過程中不斷形成、發展和提升數學思考經驗，從而實現經驗的積累。

教學乘法分配律時，學生計算貼瓷磚的塊數并說說如何計算：根據瓷磚顏色，有的用3×10+5×10計算，有的則用（3+5）×10計算；根據貼瓷磚位置，則用4×8+6×8計算，有的則用（4+6）×8計算，結果都是80塊。觀察兩組算式時，他們根據瓷磚顏色和位置分別寫出算式3×10+5×10=（ 3+5）×10和 4×8+6×8=（4+6）×8，并類比寫出更多相似例子，嘗試描述乘法分配律：一個數乘兩個數的和等于這個數分別乘這兩個數所得積的和，并用a、b、c表示規律（a+b）×c=a×c+b×c。結合算式4×9+6×9說明乘法分配律時，有的學生畫點子圖（圖2）說明，有的學生直接用4個9加上6個9，一共10個9，就是（4+6）×9進行說明。最后，學生分別觀察（80+4）×24和34×72+34×28的特點，在應用中理解并掌握乘法分配律。

圖2

用字母表示乘法分配律是由特例的共性特點歸納概括出一般性結論的過程，從抽象豎式回歸現實，借助圖形直觀解釋發現，進一步認識乘法分配律。在探索運算律的過程中，學生又經歷了一次推理過程，并形成新的思考經驗：類比和歸納在探究規律中必不可少；解釋說明規律可以畫圖，也可以直接表達；應用規律簡便計算需要會講道理。學生數學思考的經驗不是簡單重復，而是螺旋上升，不斷深化和提升。

總之，學生在究性學習，很好地經歷了推理過程。學生通過觀察、仿寫、解釋和表達活動，自主發現問題、提出問題、歸納和總結規律，不但提升了數學思維能力，而且感悟了推理思想，還積累了數學思考的經驗。當然，他們積累數學思考的經驗是一個循序漸進的過程。教師要引導學生一方面在推理中獲得經驗，另一方面要在推理中豐富和深化思考經驗，使學生在循序漸進中不斷提升活動經驗。