熱環境中非保守簡支-固支FGM梁的非線性力學行為

李清祿,楊凡轉,張靖華

（蘭州理工大學 理學院，蘭州 730050）

為了適應航空航天應用的超高溫材料，20世紀80年代中期，日本科學家引入了功能梯度材料（functionally graded material，FGM）[1]。FGM 是一類具有材料屬性空間連續變化的新型復合材料，它能夠承受高溫梯度環境，而不會引起任何層間的分離。功能梯度材料通常由陶瓷和金屬復合而成，其力學性能從一側到另外一側平滑和連續地變化，導致材料性質與等效物性參數也是梯度平緩變化，這使得FGM在航空航天結構以及聚變反應堆等領域得到了廣泛的應用[2-3]。李斌太等[4]詳細闡述了復合材料在航空領域的研究進展，指出建立復合材料國防科技實驗室在航空裝備領域的重要性。梁結構作為工程中常見的結構，因此有必要對FGM的各種力學性能進行研究，從而為結構設計及應用提供必要的理論依據。

Rahimi等[5]用Adomian分解法分析了具有一定傾斜角度的FGM懸臂梁在端部力作用下的大變形力學行為。Li等[6]研究了功能梯度Timoshenko梁和均勻Euler梁的屈曲載荷之間的關系。張大光[7]引入物理中面的概念，研究了雙參數彈性地基上FGM梁的非線性彎曲問題。上述文獻中的載荷都是橫向保守載荷。崔宇等[8]通過研究指出，極端熱環境對合金復合材料的微觀組織和力學性能均有顯著影響。李世榮等[9]考慮軸線伸長對梁變形的影響，研究了Timoshenko FGM梁在橫向非均勻升溫下的熱過屈曲，討論了非均勻升溫對梁過屈曲行為的影響。Esfahani等[10]考慮了材料物性參數的溫度相關性，研究了彈性地基上FGM梁的屈曲問題。李清祿等[11]研究了變厚度FGM圓板的熱后屈曲問題，分析了材料梯度指數和厚度變化系數對圓板熱后屈曲行為的影響。

在具體工程應用中，置于熱環境中的FGM梁同時會受到機械荷載。工程中存在一種受結構的變形而方向發生變化的隨從力，這種力顯然是非保守力。例如，應用于航空航天的火箭和噴氣式飛機均引起非保守力，這種非保守力將引起機翼的顫振。李清祿等[12]建立了Timoshenko梁在非保守載荷作用下的過屈曲控制微分方程，利用打靶法詳細討論了梯度指數，長細比等對梁過屈曲行為的影響。熱載荷作用下FGM梁的力學行為也是研究的熱點。趙鳳群等[13]之后又研究了非保守力和機械-載荷下FGM梁的振動特性，利用小波微分求積法求解了數值解，討論了梯度指數、溫度等對一個簡支梁的振動特性和穩定性的影響，但沒有對溫度環境下另外受到非保守載荷的FGM梁的屈曲或彎曲行為給出定性討論。

相比之下，處于均勻和非均勻升溫下，FGM梁受到非保守載荷非線性力學行為方面研究的成果極為少見。本工作基于軸線可伸長梁的大變形理論，通過一維熱傳導理論建立均勻和非均勻升溫下FGM梁在隨動載荷作用下的非線性力學控制方程；假設材料性質只沿梁厚度變化，建立溫度場中FGM梁受到切線隨動非保守載荷的大變形數學模型，采用打靶法將高階偏微分方程化為兩點邊值問題的常微分方程實現數值求解；分析功能梯度材料梯度指數對不同溫度環境下梁的非線性行為的影響。

1 FGM 材料的物性參數及其溫度場

1.1 FGM 材料物性參數

考慮功能梯度材料梁為陶瓷和金屬混合而成，梁的上表面為純陶瓷，陶瓷材料的體積分數沿厚度方向為冪函數形式：

采用Voigt等應變的線性混合率模型，FGM材料的等效物性參數描述為：

1.2 溫度場

FGM材料通常服役于熱環境中，記陶瓷一側和金屬一側的溫度分別為和，兩側溫度都均勻分布，梁內溫度沿厚度變化，取基礎溫度為。其中升溫滿足一維熱傳導方程及邊界條件：

方程（3）在邊界條件（4）下的冪級數形式的解為：

2 控制微分方程

考慮處于升溫場中的FGM材料梁，其一端可移簡支，一端固定。其中長為l ，矩形截面寬為，高為，假設梁上施加沿軸線均勻分布切向載荷作用（見圖1）。梁在變形過程中，分布載荷的方向始終與軸線相切，即為隨動載荷。

由文獻[9]及[12]可給出無量綱形式的控制微分方程：

圖1 升溫場中受軸向隨動分布載荷作用的功能梯度簡支-固支梁 （a）功能梯度梁示意圖；（b）力學變形模型Fig.1 A hinged-fixed FGM beam subjected to uniformly distributed follower forces in thermal environment （ a） schematic sketch of a FGM beam；（b）mechanical model of the deformed beam

上述方程的無量綱量變換如下:

對圖1所示一端可移簡支、一端固定梁，相應的無量綱邊界條件為

3 數值模擬及討論

3.1 打靶法

由于式（7）～（10）是相互耦合的強非線性方程，很難獲得解析解。這里采用打靶法[14]求其數值解。為此，將式（7）～（10）以及邊界條件寫成下式：

其中

給定隨從載荷時λ = q，矩陣B0、B1，向量b0、b1以及函數?1、?2的具體表達如下：

下面考慮一個與邊值問題相對應的初值問題：

3.2 數值結果及討論

考慮由陶瓷二氧化鋯（ZrO2）和金屬鈦合金（Ti-6Al-4V）制成的FGM材料梁。兩種材料的物性參數見表1。

表1 陶瓷 ZrO2 和鈦合金 Ti-6Al-4V 的材料系數Table 1 Material parameters of ceramic ZrO2 and titanium alloy Ti-6Al-4V

首先，為了說明打靶法的精確性和計算結果正確性，將功能梯度材料退化為均勻材料的結果和已知文獻作了比較，其臨界載荷，和已知文獻[15]給出的結果完全吻合，說明了打靶法在本工作計算中的適用性。

圖2 左端轉角與載荷的關系Fig.2 Relationship between left rotation angle and load

圖3 左端位移 u(0)與載荷的關系Fig.3 Relationship between left displacement u(0) and load

圖4 右端彎矩 M(1)與載荷的關系Fig.4 Relationship between right end bending M(1) and load

圖5 ～6給出了熱軸力和熱彎矩隨材料梯度指數變化的曲線圖。可以看出，熱軸力隨梯度指數的增加而單調遞減，當之后，熱軸力的減小趨于緩慢。而時熱彎矩隨梯度指數增大而增大，當之后，熱彎矩又隨梯度指數增大而減小。在相同的梯度指數下，隨上下表面非均勻升溫的增加，熱軸力和熱彎矩都增加。

為了考察不同非均勻升溫下，載荷與各物理量之間的關系，圖7～9給出了材料梯度指數情況下，、以及的關系曲線。顯然，在均勻和非均勻溫度場中，、以及是載荷的非單調非單值函數，這和無溫度場作用下獲得的結論是不同的。另外，隨著上下表面溫差的增加，變形相同的、、下需要的載荷較小，而在給定載荷時，、、先增加后減小。

圖5 熱軸力 Nt與梯度指數的關系Fig.5 Relationship between thermal axial force Nt and gradient index

圖6 熱彎矩 Mt 與載荷的關系Fig.6 Relationship between thermal bending moment Mt and gradient index

圖7 非均勻升溫下-的關系Fig.7 Relationship between and under non-uniform heating

圖8 非均勻升溫下的關系Fig.8 Relationship between and under non-uniformheating

圖9 非均勻升溫下的關系Fig.9 Relationship between and under non-uniform heating

4 結論

（1）溫度環境下非保守簡支-固支陶瓷均勻材料梁發生典型的過屈曲行為，而相同條件下FGM梁發生非線性彎曲行為。

（4）在均勻和非均勻溫度場中，位移和梁端內力是載荷的非單調非單值函數，而在無溫度場作用下是單調單值函數。