對Willhite經驗公式的改進

鄧 森，李斌會，趙 宇

(1.大慶油田有限責任公司勘探開發研究院 黑龍江 大慶 163712;2.黑龍江省油層物理與滲流力學重點實驗室 黑龍江 大慶 163712)

油水相對滲透率曲線在油氣田開發過程中有著重要的應用，國內外學者對此展開的研究也很多[1-10]。1946—1987年，國外的Jones、Corey、Prison、Wyllite、Brooks-Corey、Chierici和Willhite先后對油水相對滲透率曲線經驗公式進行了研究，Jones把水相指數看作一個固定的常數3；Corey把水相指數看作一個不確定的常數m；Wyllite認為分選性好的非膠結砂巖的水相指數為3，分選性差的非膠結砂巖的水相指數為3.5，膠結砂巖、鮞狀灰巖或孔穴灰巖的水相指數為4；Willhite則把水相指數看作一個不確定的常數m，并對水相滲透率端點值進行了修正，Corey和Willhite給出的油相相對滲透的表達式相同。國內研究相對滲透率曲線經驗公式的有陳元千、李克文和張繼成等，陳元千把水相指數和油相指數看作一個固定的常數3，同時對水相相對滲透率端點進行了修正，但未對油相相對滲透率端點進行修正；李克文公式與Willhite公式有些相似，只是水相相對滲透率表達式多了一個含水飽和度的一次項，油相相對滲透率表達式多了一個含油飽和度的一次項，并且為了避免求導出現奇異點引入了常數；張繼成則得到了以10為底的指數經驗公式。

在眾多油水相對滲透率經驗公式中，應用最廣的為Willhite經驗公式，但Willhite經驗公式在應用中也會出現一定的局限性，有必要對其進行改進。

1 改進Willhite公式的必要性

Willhite經驗公式表達式為：

Kro=Kro(Swc)(1-Swd)n

(1)

Krw=Krw(Sor)Swdm

(2)

(3)

式中：Krw為水相相對滲透率，f；Kro為油相相對滲透率，f；Krw(Sor)為殘余油下水相相對滲透率，f；Kro(Swc)為束縛水下油相相對滲透率，f；Swd為歸一化含水飽和度，f；Sor為殘余油飽和度，f；Swc為束縛水飽和度，f；Sw為任意時刻含水飽和度，f；n為油相指數；m為水相指數。

王國先等根據相對滲透率曲線特征參數和形態將其分為5種類型[14]，其中水相上凹型、水相下凹型和水相直線型是最常見的三種形態。對大慶油田93條油水相對滲透率曲線形態進行分析，發現61.29%為水相上凹型，23.66%為水相下凹型，15.05%為水相直線型，采用Willhite經驗公式對相對滲透率曲線進行擬合，只有77.55%擬合較好。93條油水相對滲透率曲線的油相指數平均值為2.476，最大值和最小值分別為3.4和1.6；水相指數的平均值為2.739，最大值和最小值分別為4和1.4，平均水相指數比油相指數稍大。

Willhite經驗公式擬合不上主要有兩種：①油相相對滲透率在含水飽和度較低時快速遞減，此時含水率上升比較快，表現為油相相對滲透率曲線較為彎曲，此種情況往往在靠近束縛水端點部分擬合不上；②水相相對滲透率在含水飽和度較高時快速遞增，此時已經處于特高含水時期，含水率上升比較慢，表現為水相相對滲透率曲線較為彎曲(見圖1)。

圖1 Willhite經驗公式擬合曲線

進一步對擬合不好的原因進行分析，將式(1)和式(2)分別寫成

(4)

(5)

通過Willhite經驗公式回歸出的函數關系是通過原點的一條直線，實際上的實驗數據點回歸出來的直線并沒有通過原點，而且實際的數據點會偏離直線。油相相對滲透率數據點在含水飽和度比較低的時候數據點偏離直線稍微向上翹，水相相對滲透率數據點在含水飽和度比較高的時候數據點偏離直線稍微向上翹(見圖2)，因此有必要對油相指數和水相指數進行改進。

圖2 Willhite公式線性回歸圖

2 對Willhite公式的改進

經過對93條油水相對滲透率曲線的反復擬合，提出了擬合精度更高的Willhite改進公式：

Kro=Kro(Swc)(1-Swd)aSwd+bexp(-Swd)

(6)

Krw=Krw(Sor)SwdcSwd+dexp(-Swd)

(7)

式中a、b、c、d均為回歸系數，可用二元線性回歸法獲取，不考慮端點值，將式(6)和(7)寫成

(8)

(9)

則有

y1=ax1+bx2

(10)

y2=cx1+dx2

(11)

根據最小二乘法有

∑x1y1=a∑x12+b∑x1x2

(12)

∑x2y1=a∑x1x2+b∑x22

(13)

∑x1y2=c∑x12+d∑x1x2

(14)

∑x2y2=c∑x1x2+d∑x22

(15)

由此可得

(16)

(17)

(18)

(19)

用改進公式對圖1的油水相對滲透率曲線進行擬合，見圖3，a、b、c、d四個參數分別為0.334，3.777，4.190，1.291。油相相對滲透曲線和水相相對滲透率曲線擬合的相關系數分別為0.999 1和0.999 4，油相相對滲透率曲線越彎曲，a和b相差越大，b值往往比a值大；水相相對滲透率曲線越彎曲，c和d相差越大，c值往往比d值大。b值和d值主要影響相對滲透曲線靠近束縛水端點半部分的形態，a值和c值主要影響相對滲透曲線靠近殘余油飽和度端點部分的形態。擬合結果與實際值產生的誤差見圖4，表1是用改進公式和Willhite公式對相對滲透率曲線擬合的結果。

圖3 Willhite改進公式擬合曲線

圖4 擬合誤差曲線

表1 油水相對滲透率計算值與實際值對比

3 實例應用

大慶油田93條相對滲透率曲線之外的三條水驅相對滲透率曲線見表2，用改進經驗公式擬合見圖5。水相上凹型油水相對滲透率曲線回歸參數a、b、c、d的值分別為1.338，3.086，3.762，1.094；水相直線型油水相對滲透率曲線回歸參數a、b、c、d的值分別為1.3，2.8，1.5，0.86；水相下凹型油水相對滲透率曲線回歸參數a、b、c、d的值分別為1.142，4.543，0.026，0.754，擬合相關系數都在0.99以上。

表2 三種類型油水相對滲透率曲線

圖5 三種類型油水相對滲透率曲線擬合曲線

4 結論

(1)大慶油田油水相對滲透率曲線主要為水相上凹型，其次為水相直線型，最少的為水相下凹型。

(2)Willhite經驗公式適合大多數油水相對滲透率曲線的擬合，但油水相對滲透率突變較大時，Willhite經驗公式擬合的油水相對滲透率誤差較大，油相指數和水相指數為常數對于曲線的擬合存在一定的局限性。

(3)改進的Willhite經驗公式彌補了傳統Willhite經驗公式的不足，公式改進后擬合精度更高，對于油水相對滲透率突變較大的情況也能擬合。