單自由度復雜平面連桿機構的奇異性探究

王亞楠

摘 要：受結構模式與原動力輸入方式的影響，單自由度平面連桿機構存在顯著的運動奇異性問題。本文從闡釋單自由度復雜平面連桿機構的概念與類型入手，針對等效四連桿機構的死點位置進行了分析，圍繞包含2～3個移動關節的平面六連桿機構與單自由度雙蝶八連桿機構兩個實例針對其奇異性進行了探討，以供參考。

關鍵詞：平面連桿機構；單自由度；奇異性；等效四連桿機構

1引言

奇異性主要用來描述連桿機構的運動特性，當連桿機構在運動過程中到達了死點位置，受輸入極限值的影響，連桿機構即會發生瞬時失控或鎖死問題，嚴重妨礙到連桿機構的連續性運動。然而同樣也存在部分裝置需尋找到死點位置完成自鎖，因此針對單自由度復雜平面連桿機構的奇異性研究具有一定的實用價值。

2單自由度復雜平面連桿機構的概念與類型

2.1等效連桿機構的運動特性

從一階等效連桿機構的運動速率與運動特性角度入手，該機構主要由構件的運動瞬心承擔瞬時運動關節作用，以此保障其繼承原始連桿機構的瞬時運動特征。鑒于等效連桿機構的桿件數量少于原始復雜機構，因此在進行機構運動特性判斷時也需要應用全新的方法。通常在單自由度復雜平面連桿機構中，主要借助等效四連桿機構法用以展示其一階運動特性，等效四連桿機構內部包含4個速度瞬心，這些速度瞬心位于原始連桿相鄰部位，用以判斷連桿機構的速度分布狀態及運動傳遞特性，其中選取相應4個瞬心充當等效四連桿機構的運動關節，從而描述單自由度平面連桿機構的運動特征。

具體來說，等效四連桿機構的主要構件由原始連桿機構中的4個連桿與4個速度瞬心構成，其中選取1個瞬心充當其輸入關節，用以連接復雜連桿機構內部的輸入桿與機架桿，而另外2個連桿則自動成為連桿機構中的輸出桿和連架桿。將4個連桿以機架、輸入、連架、輸出的次序進行排列連接，相鄰兩桿件的速度瞬心即構成等效四連桿機構的瞬時關節，用以保障復雜平面連桿機構的瞬時運動特性。

2.2等效四連桿機構的主要類型

在單自由度復雜平面連桿機構中尋找等效四連桿機構時，首先要選取對應的機架桿與輸入桿，將二者相連即可定位輸入關節，隨即在機構內部任意選取2個桿件作為連架桿和輸出桿，進而依照上述次序將桿件有序連接，即可在任意兩桿件的連接處找到運動瞬心，確定其中的4個關節，而相鄰2個關節間的等效桿即成為機構中的4個桿件。

通常情況下，等效四連桿機構主要涵蓋以下兩種分類：類型A，機構中的桿件由原復雜連桿機構中的四桿環直接構成；類型B，機構中的桿件來源于原復雜連桿機構中的非四桿環，其桿件既有可能是桿環中的部分桿件，也有可能是其他環中的桿件。受其桿件來源差異性影響，等效四連桿機構的桿件組合方式也呈現出多種形態。以StephensonⅡ型六桿機構為例，[A0ECC0]結構中的連桿EC與[AA0C0F]結構中的三元桿BCD的運動狀態保持一致，當其中的桿1、桿2分別充當機架桿與輸入桿，運動瞬心[I12]充當輸入關節時，其中的桿[A0E]與桿[A0AB0]即可等效成為相同單元，而[A0ECC0]即為復雜連桿機構中的等效四連桿機構。在此需要注意的是，其中選取桿AD與桿[B0B]分別作延長線，其交點也可作為運動瞬心[I25]。由此該六桿機構中的等效四連桿機構主要由原始桿1、2、5、6與[I12]、[I25]、[I56]以及[I61]組成。此外，倘若在該六桿機構中選取桿1、2作為機架桿與輸入干，選取桿3、5作為連架桿與輸出桿，則四桿件與其對應瞬心[I12]、[I23]、[I35]以及[I51]也可構成一個等效四連桿機構[A0ADF]。

3關于等效四連桿機構的死點位置分析

等效四連桿機構的運動死點主要位于其連桿與輸入桿共線處或3個非輸入關節共線處，由于單自由度復雜平面連桿機構內部含有數量較多的桿件，其桿環與輸入方式也呈現出多樣性特征，針對死點位置與機構特征的分析存在一定的難度，而依托等效四連桿機構法進行死點位置研究可以為該問題的解決提供借鑒思路。

通常等效四連桿機構的4個關節中僅包含1個輸入關節，等效四連桿機構的死點位置也可看做復雜平面連桿機構的死點位置，因此其判斷規則可總結為以下兩點：其一，當位于復雜平面連桿機構內部的等效四連桿機構的3個非輸入關節共線，則其判斷該復雜機構的死點位置；其二，倘若任意復雜平面機構中的等效四連桿機構位于死點位置，則該復雜機構也一定位于死點位置。在此需要注意的是，倘若類型A中的等效四連桿機構位于死點位置，則其原始復雜機構也必然處于死點位置，同時也可推斷出類型B中的等效四連桿機構處于死點位置；同理類型B中的等效四連桿機構處于死點位置也可決定其原始復雜機構處于死點位置，但卻并不能判斷類型A的等效四連桿機構處于死點位置，這是因為類型B中的等效四連桿機構的桿件來源于原復雜機構中的不同環。

具體來說，假設選取某桿件1、2分別作為等效四連桿機構中的機架桿與輸入桿，選取任意p、q桿作為連架桿與輸出桿，其4個桿件對應的運動瞬心分別為[I12]、[I2p]、[Ipq]以及[I1q]。其中桿件p、q、2的速度關系為：

[ωpω2=I12I2pI1pI2p]

[ωqω2=I12I2qI1qI2q]

當該復雜平面連桿機構位于死點位置時，上述公式即可得到無窮大值，[I1pI2p]的值為0，兩個瞬心重合，且瞬心[Ipq]在直線[I1pI1q]與直線[I2pI2q]上，該復雜平面機構中等效四連桿機構的非輸入關節[I2p]、[Ipq]以及[I1q]共線。倘若在該復雜平面結構中任意選取兩個桿件充當等效四連桿機構中的桿件p與q，當類型A中的等效四連桿機構位于死點位置，則可判斷類型B中的等效四連桿機構也必然也位于死點位置。由此可證明，該判斷規則為單自由度復雜平面連桿機構死點位置的充分必要條件，能夠有效判斷出連桿機構死點的幾何構型。

4基于實例的單自由度復雜平面連桿機構的奇異性探討

4.1包含2～3個移動關節的平面六連桿機構

以Stephenson六連桿機構作為研究對象，首先選取其中的2個旋轉關節替換為移動關節，借助等效四連桿機構判斷方法針對其死點位置進行判斷。將移動關節A設定為機構中的輸入關節，分別選取構件3、4作為機構中的2個桿件，依托等效四連桿機構法可判斷出該機構的死點位置位于類型A的等效四連桿機構[I12I24I34I13]中瞬心[I24]、瞬心[I34]與瞬心[I13]所處的同一條直線上，即為該機構的奇異位置。同時，由于四桿環ABCD構成了曲柄滑塊機構，依據死點位置判斷原則可判斷其位于死點位置，其中桿件BC與滑塊導路方向保持垂直關系。假設選取構件4、5作為等效四連桿機構中的連架桿與輸出桿，則依據三心定理可判斷出桿件2、5的運動瞬心[I25]與桿件1、5的運動瞬心[I15]所處的具體位置，進而在類型B的等效四連桿機構[I12I25I45I15]中瞬心[I25]、[I45]與[I15]位于同一條直線上，即為該復雜機構的奇異位置，此時桿件EF與滑塊導路方向呈垂直關系。

接下來同樣以Stephenson六連桿機構作為研究對象，選取其中的3個旋轉關節替換為移動關節，設關節A為輸入關節，桿1、2分別作為機架桿與輸入桿，桿3、4為連架桿與輸出桿，則可判斷處當該機構中的等效四連桿機構[I12I24I34I13]中瞬心[I24]、[I34]與[I13]處于同一條直線上時，即為該機構的奇異位置。當選擇桿4、5作為連架桿和輸出桿時，則在機構中的等效四連桿機構[I12I25I45I15]中的瞬心[I25]、[I45]、[I15]處于同一條直線上時，即可判斷為該機構的奇異位置。

4.2單自由度雙蝶八連桿機構

以PENNOCK所設計的單自由度雙蝶八連桿機構作為研究對象，利用等效四連桿機構法尋找其死點位置，便可以有效判斷出該復雜機構的奇異性。在該機構中任意選取桿1、2作為機架桿與輸入桿，選取桿3、7作為連架桿與輸出桿，將其依照指定次序進行組合，構成等效四連桿機構[I12I23I37I17]。當該等效四連桿機構中的三個非輸入關節[I23]、[I37]與[I17]共線時，即可判斷出該等效四連桿機構處于死點位置，進而推斷出該單自由度雙蝶八連桿機構同樣處于死點位置，由此便可以準確有效地判斷出單自由度復雜平面連桿機構的奇異性，為同類型連桿機構的研究提供重要借鑒價值。

5結論

通過研究等效四連桿機構的運動特性與基本類型，能夠為單自由度復雜平面連桿機構的奇異性判斷提供重要研究思路。當前已有多名國內外學者提出了諸如等效機械手工作空間法、虛桿等效法、判別式法、Clifford代數法等研究方法，未來還應進一步針對復雜平面連桿機構在死點位置的構型進行深入研究。

參考文獻

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