“雞兔同籠”

宋春麗

雞兔同籠，是中國古代著名典型趣題之一，記載于《孫子算經》之中。從中國的雞兔同籠中日本演化出龜鶴算。許多實際問題都可以轉化成這類問題，例如大小船、投籃問題、答題問題等。但是，萬變不離其宗，解題思路和方法相同或相似。對于四年級學生來說，雞兔同籠問題是一個教學難點，因為要經過假設—推理—計算—解答—驗證這樣的過程。前人已經總結出來很多解決“雞兔同籠”的方法，假設法、列表法、抬腳法、方程法、公式法等。在我的教學中，我既想滲透數學思想，讓學生體會數學的樂趣，又想化繁為簡，以小見大。我在備課時，就將所有的解題思路和方法進行了嘗試和研究，并從這四個步驟展開了我的教學。

一、《雞兔同籠》教法“一步走”——列表法

運用列出表格分析思考、尋找思路、求解問題的方法叫做列表法。在小學數學中，學生解決實際問題時，時常運用列表法，對于一些計算比較簡單，而且多次重復計算的問題，使用列表法，表達簡潔，不易出錯，還有些問題，無法列式計算，只能采用列表推演。列表法的局限就在于適用于較小數量求解，并且大多跟尋找規律或顯示規律有關。但是，列表法是小學階段解決問題的重要方法，學生經歷從“雜亂列舉—有序列舉—列表呈現”的過程，在頭腦中形成強烈對比，充分感受列表法有序、清晰、簡潔的特點，經歷解決問題的過程，體會滲透在列表法中的統計思想。

例：雞兔同籠，上有8頭，下有22只腳，問雞、兔各幾只？

【列表法】

雞 0 1 2 3 4

兔 8 7 6 5

腳 16 18 20 22

二、《雞兔同籠》教法“二步走”——畫圖法

《數學課程標準》中明確提出：“讓學生通過學習獲得適應未來社會生活、進一步發展所必需的重要數學知識以及基本的數學思想方法。”數與形是數學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，數形結合就是數與形的一一對應，它作為一種重要的思想方法，將抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系相結合，最終以直觀、形象、簡便的方式展現在學生面前。在解決雞兔同籠問題時，我將數形結合方式簡化，將復雜的解題過程簡化，用幽默的語言激發學生的興趣，學生在畫圖中就解決了實際問題。

例：雞兔同籠，上有8頭，下有22只腳，問雞、兔各幾只？

【畫圖法】

1.先畫8頭。

2.每頭2只腳。

3.每頭再添2只腳，達到22只腳。

三、《雞兔同籠》教法“三步走”——假設法

畫圖法與列表法雖然能解決雞兔同籠問題，并能在教學中滲透數學思想，但是，當遇到較大數量時，這兩種方法并非最優方法。所以我在教學第三步就從畫圖法中歸結出假設法，這也是解決雞兔同籠的基本方法。假設法適用于大部分雞兔同籠問題。假設法可以假設全都是雞或者全都是兔，但是，由于兔子腳數比雞多，所以建議同學們假設數量少的，計算方便。

例：雞兔同籠，上有10頭，下有28只腳，問雞、兔各幾只？

【假設法】

1.假設都是雞，有多少只腳：10×2=20（只）

2.還差多少只：28—20=8（只）

3.剩下的腳再添加，每只動物加幾只腳：4—2=2（只）

4.能加幾只就是幾只兔子：8÷2=4（只）

5.剩下的就是雞：10—4=6（只）

6.驗證：6×2+4×4=28（只）

列表、畫圖和假設都可以解決問題，如果數量較小時，這三種方法都可以，但是，在遇到數量較大時，逐一列表和畫圖就顯得繁瑣，所以，假設法更適合于解決多種題型。

四、“雞兔同籠”教法“四步走”——“搶答題”

例：答對一題加10分，答錯一題扣6分。1號選手共搶答8題，最后得64分。她答對幾道，答錯幾道？

這是為了鞏固假設法而設計的變式性題目，訓練學生綜合分析信息的能力，也就是要正確分析和理解“答對一題加10分，答錯一題扣6分”這一條件。答對與答錯之間的差反而是這兩個分數的和。這是雞兔同籠問題中的教學難點，可以通過抽象推理、舉例子、數形結合等方式讓學生理解差距為什么是兩數之和。解題方法如下：

1.假設全都答對得分為：10×8=80（分）

2.與實際分數差距為：80—64=16（分）

3.錯一道題與對一道題的差距為：10+6=16（分）

4.16分是錯了幾道題：16÷16=1（道）

5.剩下的就是正確的題目：8—1=7（道）

6.驗證：7×10—6×1=64（分）

數學是一門科學，是哲學、游戲、工具、是人腦活動……貌似復雜的數學學習過程都被大量計算、解決問題所充斥。我認為，一節數學課不僅要讓學生懂得一個知識點，還要獲得一種思想，積累學習經驗。在我們的數學課上，應將數學知識點與數學思想相結合，做到神形兼備。通過列表、畫圖、假設這種由淺入深的教學方法，讓學生在輕松、愉快地解決了雞兔同籠的問題，并獲得數形結合、一一對應、假設、列表等數學思想方法。當然，應鼓勵學生探索更多的解決方法，讓學生在數學中體驗快樂與成功。