由一道幾何題感受一題多解的魅力

李光德 楊莉

【摘 要】本文通過一道幾何題的多種解法，體會一題多解在解決數(shù)學(xué)問題中的作用，此方式既能鞏固學(xué)生的數(shù)學(xué)知識，有能鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

【關(guān)鍵詞】一題多解；幾何；張角公式

數(shù)學(xué)問題，由于其內(nèi)在的規(guī)律性及看問題的角度不同，還有學(xué)生的知識儲備量，可能會有許多不同的解決方法，在平時的學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)自覺探求多種解題方法，這樣可以使學(xué)生的基礎(chǔ)知識、基本技能得到訓(xùn)練，能力得到增強，思路得到開闊，智力得到開發(fā)。在尋求不同解法時，要注意分析，使問題的解決更有條理，這就是一題多解。一題多解指經(jīng)過多樣化的分析、思考，發(fā)現(xiàn)盡可能多的解題策略或?qū)ふ页龆喾N答案的思維方式，是師生在數(shù)學(xué)課堂教與學(xué)的思維訓(xùn)練中的寶貴經(jīng)驗，是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的有效途徑和重要方式。下面以一道競賽題為例，體會一題多解的魅力。

如圖所示，ΔABC，AB=6，AC=3，∠BAC=120°，∠BAC的平分線交BC于點D，求AD的長。

法一：對稱性

取AB中點E，連接CE，交AD于點O，已知ΔAOC和ΔAOE關(guān)于AD對稱，AO⊥CE，∵∠ACO=30°，AC=3， ∴AO=3/2。延長AC至F，使得AF=6，連結(jié)BF交AD的延長線于H，顯然，ΔABH和ΔAFH關(guān)于AH對稱，且AH⊥BF，

∵EC是ΔABF的中位線，∴AO=OH=3/2，OC= BH= HF，

∵ΔDOC∽ΔDHB，∴OC：BH=OD：DH，∴OD：DH=1：2，

∴3OD=3/2∴OD=1/2

∴AD=AO+OD=3/2+1/2=2

法二：截取法

在線段AB上截取AE，使得AE=AD，連結(jié)ED，則∠ADE=60°，則AC//ED，

則ΔBED∽ΔBAC，故DE：CA=BE：BA，設(shè)DE=x，則x：3=（6-x）：6

則DE=2，即AD=2

法三：輔助線

過點B做AC的平行線交AD的延長線于K，∵BK//AC，∴∠BKA=60°，

且∠BAK=60°，∴ΔABK是等邊三角形，BK=AK=6，又∵AC=3，且

ΔACD∽ΔKBD，相似比為1：2，∴AD：DK=1：2，∴AD=2

法四：張角公式

定理：三角形中一角被一直線內(nèi)分，則有兩小角正弦各與不相鄰邊的比之和等于大角正弦與分角線之比，即：sin∠BAD：AC+sin∠CAD：AB=sin∠BAC：AD；

逆定理：如果sin∠BAD：AC+sin∠CAD：AB=sin∠BAC：AD，則B、D、C三點共線。

推論1：在定理的條件下，且∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC，則B、D、C三點共線<=>2cos∠BAD：AD=1：AB+1：AC（sin∠BAC=2sin∠BADcos∠BAD）

證明：∵AD是∠BAC的角平分線，且B、D、C三點共線，

∴2cos∠BAD：AD=1：AB+1：AC，又∵∠BAC=120°，∴∠BAD=60°，又知AB=6，AC=3

∴2cos60°：AD=1：6+1：3，∴AD=2，即AD的長為2

法五：余弦定理

設(shè)AB=c，AC=b，BC=a，

由余弦定理，

∵a2=b2+c2-2bccos∠BAC=9+36-2×3×6cos120°

∴a=3 ，又∵AD為∠BAC的角平分線，∴BD：AB=DC：AC

設(shè)DC=x，∴（3 -x）：6=x：3

∴DC= ，在ΔACD中，由余弦定理，DC2=AD2+

AC2-2AD×AC×cos∠DAC

∴7=AD2+9-2AD×3× ，∴AD2-3AD+2=0

∴AD=2或1（由三角形面積相等得出AD>1，故AD=1舍去），∴AD=2

學(xué)生通過數(shù)學(xué)結(jié)識了數(shù)學(xué)的各種思想方法，通過在解數(shù)學(xué)問題過程中體會一題多解的魅力，不僅能夠豐富數(shù)學(xué)知識，更能夠豐富數(shù)學(xué)思想，既能鍛煉創(chuàng)造性思維和多變思維，更能激發(fā)對數(shù)學(xué)的興趣。