試論“解三角形”中的平面四邊形問(wèn)題

王釗麒

摘 要：解三角形作為高中數(shù)學(xué)的核心組成部分，在高考中占用十分重要的地位。其內(nèi)容主要是綜合應(yīng)用三角函數(shù)及三角恒等變換的相關(guān)公式、正弦定理、余弦定理、面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，還與基本不等式等知識(shí)結(jié)合考察。具有綜合性強(qiáng)、題型靈活多變的特征。本文主要通過(guò)研究平面四邊形內(nèi)部的三角形的各種類型，給出適當(dāng)?shù)慕馊切蔚姆椒ǎ云趲椭瑢W(xué)們提高解決這一類問(wèn)題的能力和效率。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 解三角形 平面四邊形

引言

解三角形是歷年來(lái)高考的熱點(diǎn)之一，是每年高考都重點(diǎn)考點(diǎn)，知識(shí)點(diǎn)覆蓋面廣，屬于送分但又不易得滿分的題型。在解三角形的實(shí)際應(yīng)用中同學(xué)們比較困惑 ，特別是面對(duì)有關(guān)四邊形問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用時(shí)，感到陌生并有畏懼心理。但實(shí)際上，平面四邊形在本質(zhì)上也有跡可循，可以分解成多個(gè)具有某些邊相等的三角形來(lái)解決，本文通過(guò)實(shí)例，嘗試探究這一類問(wèn)題的解決辦法。[1]

一、平面四邊形只給出一條對(duì)角線

[例1]（2015貴陽(yáng)監(jiān)測(cè)考試）如圖所示，在四邊形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=

（1）求△ACD的面積

（2）若BC=2 ，求AB的長(zhǎng)

（1）解：∵∠D=2∠B，cosB=

∴cosD=cos2B=2cos2B-1=-

∵D∈（0，π） ∴sinD= =

∵AD=1，CD=3

∴△ACD的面積S= AD·CD·sinD= ×1×3× =

（2）在△ACD中，AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cosD=12

∴AC=2

∵BC=2 ∴AC=BC可得∠B=∠BAC故∠ACB=π-2B

∵ =

∴ = = = =

∴AB=4

點(diǎn)評(píng)：一個(gè)四邊形分割成2個(gè)三角形后，這2個(gè)三角形一定會(huì)產(chǎn)生一條公共邊。在一個(gè)三角形中，根據(jù)已經(jīng)條件，選擇余弦定理或正弦定理求出公共邊后，該邊即可作為另一個(gè)三角形的已知條件使用，進(jìn)而得出需求的量。所以我們?cè)凇鰽CD中通過(guò)余弦定理求出公共邊AC，這樣在△ABC中就可以通過(guò)正弦定理求出AB。[2]

[例2]（2014河北邯鄲檢測(cè)）如圖，在凸四邊形ABCD中，C，D為定點(diǎn)，CD= ，A，B為動(dòng)點(diǎn)，滿足AB=BC=DA=1

（1）寫出cosC與cosA的關(guān)系式

（2）設(shè)△BCD與△ABD的面積分別為S和T，求S2+T2的最大值

解：（1）由余弦定理可知，在△BCD中，

BD2=BC2+CD2-2·BC·CD·cosC=4-2 cosC

在△ABD中，BD2=2-2cosA

所以4-2 cosC=2-2cosA即cosA= cosC-1

（2）依題意知，S= BC·CD·sinC=

T= AB·AD·sinA= sinA

所以

S2+T2= sin2C+ sin2A= （1-cos2C）+ （1-cos2A）

=- cos2C+ cosC+

=- （cosC- ）2+

由題意易知，C∈（ ， ），故cosC∈（0， ）

所以當(dāng)cosC= 時(shí)，S2+T2有最大值

點(diǎn)評(píng)：題目中給出的已經(jīng)條件是邊長(zhǎng)，求解的是兩個(gè)角的余弦之間的關(guān)系，所以我們?cè)谌我馊切沃凶匀欢坏乜紤]到余弦定理，根據(jù)余弦定理對(duì)應(yīng)兩個(gè)三角形列出兩條式子，根據(jù)兩個(gè)三角形的公共邊可消去一個(gè)未知量，得出需要的關(guān)系式。此題中，未知邊BD是這兩個(gè)三角形公共邊，由2個(gè)三角形列出余弦定理，兩式聯(lián)立消去公共邊BD就能得出cosA與cosC的關(guān)系式；第2小題根據(jù)第一小題的關(guān)系式得出一條函數(shù)式即可求得最值。[3]

二、平面四邊形給出二條對(duì)角線

[例1]如圖，在凸多邊形ABCD中，AB=1，BC= ，AC⊥CD，AC=CD，當(dāng)∠ABC變化時(shí)，對(duì)角線BD的最大值為________

解：設(shè)AC=CD=x，在△ABC中，

由余弦定理知，AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC

即x2=12+（ ）2-2·1· cos∠ABC，

由正弦定理得

= 即sin∠ACB= =

在△BCD中，由余弦定理知BD2=（ ）2+x2-2·x· cos（ +∠ACB）=3+x2+2 xsin∠ACB

代入x2=4-2 cos∠ABC，sin∠ACB= 得

BD2=3+（4-2 cos∠ABC）+2 x·

=7-2 cos∠ABC+2 sin∠ABC

=7+2 sin（∠ABC- ）

∵∠ABC∈（0，π） ∴sin（∠ABC- ）可以取到最大值1

∴（BD2）max=7+2 即BDmax= = +1

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)最終要求的邊所在的三角形，根據(jù)圖中三角形互相之間的邊角關(guān)系，將該三角形中的邊或角通過(guò)正弦定理或余弦定理，計(jì)算出題目已知量所在的三角形中的未知量，最終得到一條包含一個(gè)三角函數(shù)的函數(shù)式。

此題中，要表示出BD，根據(jù)BD所在的三角形△BCD，題目中的已知量主要集中在△ABC中，所以應(yīng)盡可能地將△BCD的相關(guān)量向△ABC轉(zhuǎn)化，即題目中的AC=CD，∠BCD= +∠ACB，然后可設(shè)AC=CD=x進(jìn)行推導(dǎo)

三、平面四邊形沒(méi)有給出對(duì)角線

此題中有A+C=180°，所以在畫對(duì)角線作為輔助線時(shí)應(yīng)該保留∠A和∠C不被“分割”，故連接BD

[例1]（2015新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ）在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是________

如圖所示，延長(zhǎng)BA與CD相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AD交AB于點(diǎn)F則BF

在等腰三角形CFB中，∠FCB=30°，CF=BC=2

∴BF= = -

在等腰三角形ECB中，∠CEB=30°，∠ECB=75°

BE=CE，BC=2， = ，

∴BE= × = +

∴ -

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)已知條件是四邊形的四個(gè)角時(shí)，若作對(duì)角線會(huì)將已知的角拆分成兩個(gè)未知的角，所以可以嘗試將其中兩條邊延長(zhǎng)相交，構(gòu)成一個(gè)新的三角形，然后在新的三角形中通過(guò)正弦定理或余弦定理進(jìn)行求解

結(jié)語(yǔ)

解答平面四邊形，本質(zhì)上還是對(duì)正弦定理和余弦定理進(jìn)行考查，就近幾年的高考題及各地的模擬題的情況來(lái)看，平面四邊形的題目的解答是以對(duì)角線分割成多個(gè)三角形進(jìn)行分析，并且大部分情況下，題目的四邊形圖像本身就已經(jīng)給出了對(duì)角線，我們一般先就原圖進(jìn)行分析，只有題目給出的文字或圖像條件不包含對(duì)角線時(shí)，才需要根據(jù)情況手動(dòng)作輔助線進(jìn)行分析。

參考文獻(xiàn)

[1]孟敏.解三角形問(wèn)題內(nèi)容與方法淺析[J].教育教學(xué)論壇，2012，（10）

[2]郭金梅.高中數(shù)學(xué)中解三角形的幾種不常規(guī)思路[J].桂林師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2018，（01）.

[3]梁何生.活用“二換一”，巧解三角形[J].2018年4月教育導(dǎo)刊論文匯編，2018，（09）.