探索任意四邊形的余弦定理

田傳弟

(江蘇省徐州市銅山區三堡中學 221112)

三角形的三邊之間的關系可以用余弦定理表達出來，那么四邊形的4條邊和2條對角線之間是否存在類似的結論呢？

1 在一組對角互余的四邊形中探求結論

在一組對角互余的四邊形中有如下命題：

圖1

如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD為對角線，試證明

AC2·BD2=

AB2·CD2+AD2·BC2.

通過網絡搜索發現，已有人證明過該命題，作者在證明時構造了輔助圓，構圖復雜，證明過程也比較繁瑣[1].下面給出簡潔證明.

圖2

對角互余的的四邊形的4條邊和2條對角線之間的關系得以解決.

2 在一組對角之和為定值的四邊形中探求結論

筆者進一步思考：若四邊形的一組對角之和為定值，那么四邊形的4條邊和2條對角線之間的關系會有怎樣的關系？經歷一番探索之后，發現如下優美的結論：

如圖3，若在四邊形ABCD中，∠BAD+∠BCD=α，AC，BD為對角線，則

AC2·BD2=AB2·CD2+AD2·BC2-2AB·BC·CD·DAcosα.

圖3

圖4

DE2=CD2+CE2-2CD·CEcosα，

所以AC2·BD2=AB2·CD2+AD2·BC2-2AB·BC·CD·DAcosα.

看看特例：

當α=90°時，即是一組對角互余的特例，cos90°=0，因此結論是AC2·BD2=AB2·CD2+AD2·BC2；

當α=180°時，cos180°=-1，

所以AC2·BD2=AB2·CD2+AD2·BC2+2AB·BC·CD·DA，

所以(AC·BD)2=(AB·CD+AD·BC)2，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，這個特例便是赫赫有名的托勒密定理.

上述結論是在凸四邊形中研究和證明的，研究發現，它在凹四邊形情形仍然成立.

如圖5，在凹四邊形ABCD中，∠BAD+優角∠BCD=α，AC，BD為對角線.試證明AC2·BD2=AB2·CD2+AD2·BC2-2AB·BC·CD·DAcosα.

圖5

圖6

因為∠BAD+優角∠BCD=α，所以

∠DCE=360°-(優角∠BCD+∠BCE)

=360°-(優角∠BCD+∠BAD)

=360°-α，

在△DCE中，根據余弦定理，

DE2=CD2+CE2-2CD·CEcos∠DCE，

所以AC2·BD2=AB2·CD2+AD2·BC2-2AB·BC·CD·DAcosα.

綜上所述，得到結論：

在任意四邊形ABCD中，若一組對角之和為α，AC，BD為對角線，則

AC2·BD2=AB2·CD2+AD2·BC2-2AB·BC·CD·DAcosα.

一個如此優美的結論必須給它一個貼切的名字——四邊形的余弦定理.