2018年北京高考數學理科壓軸題剖析

汪燕銘 盧發接

(北京師范大學第二附屬中學 100088)

2018年北京高考數學卷的試題繼承了“大氣、平和，貫通融合”的特點，在試題的呈現方式，題材的選取，能力立意和數學核心素養的考查等方面都進行了很好的探索[1]．試卷結構穩定，難易程度適當，注重數學素養和創新能力的考查，試題內容立足主干知識，密切聯系學生的學習和生活實際，充分體現數學在應用、文化和教育方面的價值，達到了《2018年普通高等學校招生全國統一考試北京卷考試說明》[2]中要求突出數學試題的能力立意，強化對素質教育的正確導向的目的．

北京高考數學卷理科壓軸題特色鮮明，一直受到社會各界的廣泛關注．該題通常沒有固定的解題套路，在平時訓練中很少見到類似的題型，需要學生閱讀題目內容，理解題中定義的新概念或新運算的含義，探究它們的性質，并應用于解決問題．2018年北京高考數學理科壓軸題以集合為載體，定義了一種新運算，通過基本計算和求滿足給定條件的集合元素個數的最大值，重點考查學生的抽象概括能力和推理論證能力．

題目設n為正整數，集合A={α|α=(t1,t2,…,tn),tk∈{0,1},k=1,2,…,n}.對于集合A中的任意元素α=(x1,x2,…,xn)和β=(y1,y2,…,yn)，記

(Ⅰ) 當n=3時，若α=(1,1,0)，β=(0,1,1)，求M(α,α)和M(α,β)的值；

(Ⅱ) 當n=4時，設B是A的子集，且滿足：對于B中的任意元素α,β，當α,β相同時，M(α,β)是奇數；當α,β不同時，M(α,β)是偶數. 求集合B中元素個數的最大值；

(Ⅲ) 給定不小于2的n，設B是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同的元素α,β，M(α,β)=0.寫出一個集合B，使其元素個數最多，并說明理由.

在本文，我們首先給出新運算M(α,β)的一個等價定義，然后基于此定義給出上述壓軸題的另一種解法．最后，我們分析該問題的高等數學背景，進一步認清運算M(α,β)的本質，同時給出第3問的更簡潔的解法．

1 壓軸題中M(α,β)的等價定義與壓軸題的另解

注意到，對任意x,y∈R，

我們發現，當x,y=0或1時，總有min{x,y}=xy．

于是，對任意α=(x1,x2,…,xn)，β=(y1,y2,…,yn)∈A，

M(α,β)=x1y1+x2y2+…+xnyn．

(1)

這樣一來，經過推理論證和抽象概括，我們得到了M(α,β)的一個等價定義，其表達式更加簡潔優美和熟悉．基于此定義，我們可以給出該壓軸題的另一種解法．

解(Ⅰ) 由(1)式直接計算得：M(α,α)=2，M(α,β)=1．

α1=(1,0,0,0)，α2=(0,1,0,0)，α3=(0,0,1,0)，α4=(0,0,0,1)，

β1=(1,0,1,1)，β2=(1,1,0,1)，β3=(1,1,1,0)，β4=(0,1,1,1)．

而M(αi,βi)=1，故αi與βi不能同屬于B，i=1,2,3,4．由此推出，B中至多4個元素．而B={α1,α2,α3,α4}滿足條件，故B中元素個數的最大值為4．

(Ⅲ)先用數學歸納法證明：當n≥2時，|B|≤n+1．

當n=2時，A中有4個元素α1=(0,0),α2=(1,0),α3=(0,1),α4=(1,1)．由于M(α2,α4)=1，M(α3,α4)=1，故當α4∈B時，α2,α3?B，此時|B|≤2；當α4?B時，|B|≤3．結論成立．

假設n=k時結論成立．那么，當n=k+1時，對任意α=(x1,x2,…,xk+1)∈A，記

α′=(x1,x2,…,xk)．

如果B中每個元素的第k+1個分量為0，令B′={α′|α∈B}，則|B|=|B′|，且對任意α′,β′∈B′，M(α′,β′)=M(α,β)=0．由歸納假設知，|B′|≤k+1，從而|B|≤k+1．如果B中存在一個元素α=(x1,…,xk,1)，則對任意β=(y1,y2,…,yk+1)∈B，β≠α，由于M(α,β)=0，故0=x1y1+…+xkyk+yk+1≥yk+1≥0，從而yk+1=0．令B′={β′|β∈B,β≠α}，則|B|=|B′|+1．由歸納假設知，|B|≤(k+1)+1=k+2．結論仍然成立．

因此，當n≥2時，|B|≤n+1．

再選取B={α1,α2,…,αn,αn+1}，其中

(2)

則|B|=n+1，且對任意α,β∈B,β≠α，都有M(α,β)=0．

綜上所述，B中元素個數的最大值為n+1．

需要指出的是，(Ⅱ)和(Ⅲ)的證明過程都需要學生具有一定的推理論證的能力．例如，要證明集合B中元素個數的最大值為某個確定的數a，首先要證明對滿足條件的每個集合B，其元素個數不超過a，然后證明存在一個滿足條件的集合B，其元素個數恰好為a．另外，(Ⅲ)的證明過程還要求學生具有抽象概括的能力．例如，要得到集合B中元素個數不超過n+1，先要考察一些特殊情形，如n=2,3,4的情形，發現集合B中元素個數分別不超過3，4，5，由此抽象出一般規律，然后用數學歸納法嚴格證明．

2 壓軸題的高等數學背景

從(1)式可以看出，運算M(α,β)與歐氏空間Rn中的內積之間有密切的關系．首先，我們回顧歐氏空間的概念．

定義[3]設V是實數域R上一個向量空間．若對V中任意一對向量α,β，都有一個確定的記作(α,β)的實數與它們對應，并且滿足下列條件：

①(α,β)=(β,α)；

②(kα,β)=k(α,β)；

③(α+β,γ)=(α,γ)+(β,γ)；

④當α≠0時，(α,α)>0，

這里α,β,γ是V中的任意向量，k是任意實數，則稱(α,β)為α與β的內積，定義了內積的R上的向量空間V稱為歐氏空間．

在歐氏空間V中，如果向量α,β滿足(α,β)=0，則稱α與β正交．

命題[3]設V為歐氏空間，α1,α2,…,αm∈V為兩兩正交的非零向量，則α1,α2,…,αm線性無關．

我們知道，Rn是R上的n維向量空間．對任意ξ=(x1,x2,…,xn),η=(y1,y2,…,yn)∈Rn，規定：

(ξ,η)=x1y1+x2y2+…+xnyn．

容易驗證，(·,·)滿足條件①～④．因此，它是向量空間Rn的一個內積，從而Rn關于這個內積作成一個歐氏空間．

注意到，壓軸題中的集合A是Rn的非空子集．再由(1)式知，定義在A上的新運算M(α,β)本質上就是α與β的內積．利用歐氏空間的基本知識，我們很容易給出壓軸題第3問的一個簡潔證明．

(Ⅲ)的證明由命題知，Rn中彼此正交的非零向量一定是線性無關的，而集合B是由A中若干個彼此正交的向量構成的集合，故B中非零向量的個數不超過Rn的維數n．由于零向量與任何向量正交，故B中向量的個數不超過n+1．另一方面，A中存在n+1個彼此正交的向量，如(2)式中給出的α1,α2,…,αn+1.因此，B中元素個數的最大值為n+1．

我們發現，本文討論的題目與2010年北京高考數學理科壓軸題有相似的數學背景．后者敘述如下：

已知集合Sn={X|X=(x1,x2,…，xn),xi∈{0,1},i=1,2,…,n}(n≥2)對于A=(a1,a2,…,an)，B=(b1,b2,…,bn)∈Sn，定義A與B的差為：

A-B=(|a1-b1|,|a2-b2|,…,|an-bn|)；

A與B之間的距離為：

(3)

(Ⅰ) 證明：?A,B,C∈Sn，有A-B∈Sn且d(A-C,B-C)=d(A,B)；

(Ⅱ) 證明：?A,B,C∈Sn，d(A,B),d(A,C),d(B,C)三個數中至少有一個是偶數；

這兩題都是以共同的集合為載體，在集合上定義新運算，先讓學生探究新運算的一些基本性質，然后證明有關新運算的不等式．盡管本文討論的壓軸題第3問是求最大值，但本質上也是證明一個關于運算M(α,β)的不等式．另外，前者的高等數學背景是歐氏空間Rn(定義了內積的R上的向量空間)，運算M(α,β)為向量α與β的內積；后者的高等數學背景是賦范向量空間Rn(定義了范數的向量空間)[4]，其中范數為

||x||1=|x1|+|x2|+…+|xn|,

?x=(x1,x2,…,xn)∈Rn.

由(3)式知，運算d(A,B)實際上為范數||·||1導出的向量A與B之間的距離，即

d(A,B)=||A-B||1，

這里，A-B為向量空間Rn中向量A與B的差．作為中學數學教師，我們需要透過題目表面，挖掘其背后的數學本質．這樣做的目的，并不是要給學生講解這些題目背后的高等數學背景，而是讓自己的解題教學盡可能地做到有章可循．