中學數學新授課系統設計的實踐與解析
——以初中“冪的乘法運算”第一課時為例

伍春蘭

(北京教育學院數學系 100120)

①2016年—2018年北京教育學院“協同創新學校計劃”“基于學生數學思維能力培養的教學改進”的項目研究成果.

1 問題提出

考慮到學生的年齡特點，以及學習的方便，數學教材會依據課程標準將邏輯嚴密的知識拆解到不同年級，按章、節編排. 但是在新授課上，據筆者多年的課堂觀察發現：學生往往缺少將章與節、節與節相關數學內容系統思考的機會，即教師常常忽視了將相關數學內容的來龍去脈及關系結構轉換為教學資源，因此造成學生學了很多零散的、不知“安放”到哪兒、也不知如何“觸發”的知識；一旦需要學生自由提取時，卡殼現象也就在所難免. 這也是學生上課一聽就懂，書本一看就會，作業或考試一做就錯的原因之一. 當然，可以通過習題課、復習課及強化練習實現亡羊補牢的效果，達成學生認知結構的完善. 但是學生內在學習動機(因探究學習內容激發的)的喪失，思維發展機會的丟失，以及單調重復引發的學生倦怠，各種階段考試失利帶來的對自信的打擊，卻是很難補救的.

布魯納指出以學科的基本結構為核心的學習有三大好處[1]：激發智慧興趣；易于記憶、理解；有助遷移運用. 不少教育心理的研究也表明，基于知識結構的研究性學習，有助于塑造學生良好的認知結構，有助于提升學生遷移應用能力和探究學習能力[2]. 上述觀點易得到教師的認同，但很難自動地對其教學活動產生影響. 因為“所倡導的理論”與“所采用的理論”是兩個概念[3]. 欲使“所倡導的理論”成為教師的自覺選擇，喚醒其改變的意識是關鍵，這正是筆者以“冪的乘法運算”新授課為題材借班上課的初衷.

2 教師調研

初中冪的運算的學習，北京版教材安排在7年級下冊“第六章整式的運算”中[4]，整章的結構見表1.

表1 第六章整式的運算(北京版)的結構

關于“二、整式的乘法”課時安排，筆者調研了使用北京版教材的93位初中數學教師(來自北京市6個區縣). 統計結果表明，總課時最少安排5節(6%教師)，最多安排11節(1%教師). 總課時安排8節的教師比例(40%)最高，其次是安排7節的教師，占37%. 其中安排7節或8節的具體情況，見表2.

表2 整式的乘法的總課時數7節或8節的具體安排

調查顯示，整式乘法的3個冪的運算法則，98%教師按教材順序各安排1課時. 這樣設計的好處是教學內容單純，教學順暢，學生認知負荷較低. 但圍繞單一法則展開的教學，學生無需整體思考，思維的參與有限. 當3個法則學完，再進行整式乘法的綜合應用，此時選擇成為必需，3個法則易混用的問題就集中爆發. 這可能是整式乘法的3個冪的運算法則學完后，多數教師還要安排4或5節課，進行整式乘法的相關練習的原因. 調查結果與筆者多年在教師培訓中的課堂觀察相吻合，即新授課教師更傾向于按教材的順序分割課時，而漠視章節內容橫向與縱向關聯資源的開發與利用.

筆者曾在北京市某城區初中校，觀察過一節“同底數冪的乘法”的研究課，發現該班學生明顯地吃不飽. 課下與上課教師溝通，建議通過調研學生，整合3個冪的運算法則，另擇一班再上. 因為將3個冪的運算法則同時推進，不僅讓學生因內容的挑戰性增強了學習的樂趣，也從第一課時起為學生贏得了更多地觀察、比較、判斷、選擇等思維參與的時機，更有利于對3個法則的內在聯系和差異的理解，而且本單元所用的課時也可相對縮減. 上課教師認同筆者的觀點，也積極地表示試一試，但沒有了下文. 這位老師授課的學生要比筆者借班的學生總體水平要高，這樣整合的構想借班的學生可否接受？是否超過了借班的學生的最近發展區？于是筆者利用項目培訓與學員同課異構的機會，將整式乘法的3個冪的運算法則系統設計并實踐.

3 學生調研

筆者借用上課的班是北京市某農村初級中學7年級的學生，共計29名. 其中8名是借讀生，21名京籍學生來自學校周邊的自然村，他們的父母基本上從事體力勞動. 課外參加數學補習的有6名，都是京籍學生，其中2名數學成績優良，4名數學成績中差. 接近五成(14名)的學生有預習或復習習慣.

問卷提供了3組填空題，要求學生先填空再結合題組提出猜想(見表3). 調查在上課的前三天進行的，調查時間是10分鐘.

表3 調查問卷

調查顯現，題組1和題組2學生的正確率為100%.題組3有2人沒填，1人錯答了其中1個小題：(a·b)3=a( 1 )·b( 3 )，其余26人全對.

題組1是同底數冪的乘法運算，猜想情況(見表4)表明：38%的學生能將底數和指數都用字母表示，猜想合理；21%的學生只將底數用字母表示，猜想合理；10%的學生歸納猜想失誤；31%的學生猜想不著邊際或沒有提出猜想.

題組2是冪的乘方運算，猜想情況(見表4)表明：35%的學生能將底數和指數都用字母表示，猜想合理；14%的學生只將底數用字母表示，猜想合理；10%的學生歸納猜想失誤；41%的學生猜想不著邊際或沒有提出猜想.

題組3是積的乘方運算，猜想情況(見表4)表明：42%的學生能將底數和指數都用字母表示，猜想合理；10%的學生只將底數用字母表示，猜想合理；3%的學生底數和指數用新的數提出猜想；14%的學生歸納猜想失誤；31%的學生猜想不著邊際或沒有提出猜想.

表4 猜想的統計

調查結果說明，學生基本掌握了an(n為正整數)的意義，他們能借助乘方的意義和乘法的結合律、交換律進行同底數冪的乘法、冪的乘方及積的乘方運算. 超過2/3的學生都能發現底數的相同或不同、運算前后指數的變化規律.

盡管總共只給了10分鐘時間，但他們的猜想是多方位的. 有學生想到了交換乘積次序也成立的猜想，甚至有學生將指數2、3的差異作為猜想指出，令筆者汗顏. 因為問卷設計僅注意到降低猜想難度設置指數為2、3，忽略了指數同一帶來的誤導.

當然學生猜想的水平也呈現差異. 超過1/3的學生能夠獨立地用符號語言提煉出法則，表現出一定的抽象水平，但對字母表示的指數是否有限制沒有學生指出，也反映出他們思維的嚴謹性不夠.

需要指出，能由特殊歸納出一般法則，并不代表學生真正地掌握了法則. 原因之一是由特殊到一般類似“照貓畫虎”，相對簡單. 而應用法則(一般)解決特殊情形問題，首先需要發現特殊情形滿足法則(一般)的條件，這需要一定質量的練習才能實現. 原因之二是冪的運算是學生從四則混合運算上升到指數運算的一次飛躍，運算慣性使然、新的法則的陌生都不可避免令學生出錯. 因此掌握冪的運算，不可能一蹴而就.

前測驗證了筆者的假設：整式乘法的3個冪的運算法則系統設計，學生可以接受. 這一結果，堅定了筆者整體設計與實踐的信心.

4 內容分析

整式的四則運算，上承數的運算，下啟分式、方程、不等式及函數的變換，而整數指數冪的運算法則又是整式乘除法的基石. 冪的運算法則包括同底數冪的乘法法則、冪的乘方法則、積的乘方法則以及同底數冪除法的法則. 前三個法則，指數范圍在初中限定在正整數. 通過同底數冪除法，指數范圍拓展到負整數和零. 到了高中冪的運算的指數由整數推廣到實數，這樣開方運算也是冪的運算的一部分了. 在指數式ab=N的基礎上，高中還要學習相應的對數式logaN=b. 因此初中學習的整數指數冪的運算法則，也是高中學習實數指數冪和對數的基礎.

同底數冪的乘法法則、冪的乘方法則及積的乘方法則，都是特殊的冪的乘法運算. 同底數冪的乘法，要求底數相同，指數沒有要求相同. 當底數相同指數相同，易與合并同類項混淆，其實合并同類項本質是同底數且同指數的冪做加減法. 冪的乘方是同底數且同指數的冪做乘法，因此可以轉化成同底數冪的乘法. 積的乘方之逆是不同底數、相同指數的冪的乘法. 3個法則用符號語言表示時，外形很像，所以易混易錯.

從形式上概括，3個法則都將冪的運算轉化為相應的降一級運算，即同底數冪的乘法運算轉化為同底的指數加法運算；冪的乘方運算轉化為同底的指數乘法運算；積的乘方運算轉化為乘方的乘法運算.

5 教學定位

整式乘法的3個冪的運算法則如果單獨設計，多數教師追捧的典型教學流程如下：

(1)以一個能列出相應冪的運算的實際背景引入；

(2)給出幾個類似的冪的運算(底數有正有負、有整數有分數；指數是正整數)讓學生計算；

(3)給出幾個類似的冪的運算(底數是字母、指數是正整數)讓學生類比數的運算合理猜想結果；

(4)給出幾個類似的冪的運算(底數是數、指數是表示正整數的字母)讓學生類比數的運算合理猜想結果；

(5)指導學生歸納出相應的法則，并用文字語言和符號語言表示；

(6)有層次的、多樣的相關鞏固練習；

(7)總結.

上述設計就學習內容而言，邏輯清楚，容易學會，但最大的問題是學生思維參與是被動的，思維水平和學習能力沒有得到相應的提升，而且缺少聯系的孤立學習使得學生不能相應地建立良好的認知結構.

因此3個冪的運算法則系統設計，不是簡單地將3個法則壓縮到一節課上，而是以系統的整體、聯系等基本觀點為指導，三位一體地設計. 本節課主要活動如下：

(1)法則的必要性和充分性的思考：為什么在整式乘法運算先要學習3個冪的運算法則？有3個冪的運算法則就可以計算整式乘法了嗎？

(2)3個冪的運算法則規定的合理性的探究；

(3)3個冪的運算法則的命名、內涵表述的文字語言及符號語言的斟酌；

(4)3個冪的運算法則的區別與聯系的推敲.

3個冪的運算法則的必要性、充分性和合理性的探究，重要意義在于不僅從系統的高度，了解其來龍去脈，明晰區別與聯系，而且讓學生經歷完整的數學思考，體驗數學思考的價值和魅力.

法則規定的合理性的探究有兩條途徑，一是由特殊到一般的歸納猜想，二是由法則(一般)出發，利用符號語言說明. 途徑二不僅要利用乘方的意義，而且還要借用單項式乘法的結合律和交換律. 7年級學生學習過有理數乘法的結合律、交換律，在沒有定義單項式的乘法時，直接用單項式乘法的結合律和交換律學生往往也不會起疑義，但是教師要清楚途徑二只是說明規定的合理性不是證明，否則邏輯上是有問題的. 因此筆者建議，當底數指數都是字母時，淡化從途徑二出發對法則規定的合理性的考察，這也符合七年級學生的實際認知水平.

6 教學片段

6.1 引領學生系統思考，明確研究問題

上課伊始，筆者先后拋出兩個話題(見表5)，讓學生提問題.

表5 上課伊始的兩個話題

通過對整式的乘法類型(單項式×單項式，單項式×多項式，多項式×單項式，多項式×多項式)的梳理，學生意識到最簡單的整式的乘法應該是單項式×單項式，其他類型都可轉化為單項式×單項式.

接下來讓學生思考單項式×單項式的關鍵是什么？指出將單項式的系數相乘，作為積的系數是合理的，而數與數的乘法是我們熟知的，所以單項式×單項式的關鍵就轉為含有相同字母的單項式的乘法，即冪的運算. 于是提出問題：需要對哪些冪的運算立規矩？

從問題出發的學習，特別是讓學生參與到問題的發現和提出過程，激發了學生積極參與的熱情. 同時系統地思考，也讓學生明白為什么在學習整式的乘法前，先學習冪的運算.

6.2 從特殊到一般，感受法則的合理性和完備性

將研究問題簡化為只考慮相同字母a，及不同字母a，b的乘法運算，設計了如下兩個活動，見表6. 學生通過列算式，對算式的歸類、命名，及歸納法則，學生體會到法則的合理性，以及初步感受到整式的乘法需要3個法則且3個法則就夠了.

表6 構造冪的乘法算式及歸納猜想

下列算式(a2b)2；(a5b)2；(ab2)2；(a2b2)2；(a5·b2)2；(ab5)2；(a2b5)2；(a5b5)2；(a2b)5；(a5b)5；(ab2)5；(a2b2)5；(a5b2)5；(ab5)5；(a2b5)5；(a5b5)5也應歸到組4中，考慮到學生的實際水平，為了規避難點，筆者有意忽略了. 事實上，由于時間緊，也沒有學生想到列這些算式. 這些算式可布置作業，亦可供下次課練習之用.

通過有序、系統地思考，學生體會到為什么只給這三類算式[冪的乘法(同底數)、冪的乘方、冪的乘法(同指數)或積的乘方]立規矩，怎樣規定是合理的.

7 設計建議

7.1 源于教材而高于教材的系統設計

用教材教而不是教教材已成為共識，但是，反觀實踐，許多一線教師對教材創造性地使用缺乏深度認識，特別是新授課對于教材重構的方式還較單一，比如基本保持教材的結構，只是在情境或例題和練習上做些調整. 用教材教的理想原則是源于教材而高于教材. 源于教材就是要讀懂教材，這是教學設計的基礎. 可以參看不同版本的教材，在對比中更準確把握編者的意圖. 高于教材就是對教材的創造性教法加工，這是教學設計的精髓所在.

3個冪的運算法則，教材都是線性展開的[5]- [7]，教學時可根據學生情況適度整合系統設計. 首先，整體——局部——整體的處理方式，符合學生的認知規律，有利于他們的整體掌握. 其次，將法則(一般)應用到特殊情形，需要兩個遞進的步驟：會選擇用哪個法則；會正確地使用法則. 如果特殊情形是實際問題，還需要先建立數學模型. 其中，會選擇用哪個法則是關鍵，也是能力的體現，而整合的系統設計讓學生從學習之初就開始選擇.

欣喜地看到，觀摩聽課的37位教師，贊同筆者三位一體的系統設計，由原來遵循教材順序的線性設計，轉變到如今系統的設計，特別是對3個法則進行了適度整合，而且其中29%教師總課時減少1課時；49%減少2課時；22%減少3課時.

7.2 學會學習和思考貫穿教學始終

由前面的調查分析可知，筆者借用上課的學生家庭環境普遍不好，學生的基本素質一般. 面對這樣的生源，包辦代替學生思考，只教知識方法，不教知識方法的本源是不可取的. 正確的策略是更要重視學生學習方法和思考方式的指導.

比如，3個法則從列算式探究，到給法則冠名，及文字語言和符號語言的整理過程，都是讓學生深刻理解法則，培養他們“既見樹木，又見森林”的優良學習和思考習慣. 又如，考慮到7年級學生抽象能力還欠佳，引導學生為每個法則自我選擇一個特例，幫助自己理解. 再如，將教材中3個法則的7個例題布置為作業，并要求學生先自己做題，再與教材核查，進而對錯解反思，找到規避的方法.

7.3 開發隱性的教學資源

3個法則，可以引出如下一些教學資源：

(1) 法則作為一種規定，規定的必要性和充分性的探究；

(2) 法則合理性的探究；

(3) 法則相關的歷史、文化的融入；

(4) 法則條件、結論的辨析；

(5) 冪的加減乘除運算的對比研究；

(6) 法則的應用；

(7) 法則思想方法的滲透.

對上述教學資源的不同選擇，反映出教師相異的教學目標. 如果長期關注點保持一致，那么這種選擇就是其教育觀的反映.