基于數學問題的課堂教學

黎棟材 聞 巖

(1.北京師范大學附屬實驗中學 100032；2.北京市西城區教育研修學院 100035)

高中數學課程標準指出，要培養學生學會分析問題和創造性地解決問題，使數學教學成為再創造、再發現的教學. 我國在數學問題教學方面號稱“解題王國”，但受到應試教育、具體教學操作約束、傳統觀念等影響，使一些亟待研究的話題還沒有引起人們足夠重視[1]. 要實現課程標準提出的對學生的培養目標，教師和學生需要共同努力.

本文將從數學教學的核心入手，分析問題意識與數學素養之間的關系，結合筆者在教學中的幾個案例，來說明如何在課堂教學中發展學生的問題意識，提升學生的數學素養.

1 數學教學的核心

中學數學課堂，是培養學生數學思維、提高數學能力，也是提升學生數學素養的主陣地. 作為長期在一線任教的數學教師，我們認為，為了能在課堂教學中將培養思維、提高能力、提升素養等落到實處，教師首先要理解數學課堂教學的核心是什么，只有這樣，才能在課堂教學中做到目標明確，有的放矢.

1.1 問題是數學的心臟

美國數學家哈爾莫斯說：問題是數學的心臟.1980年美國數學教師協會在《關于行動的議程》中也曾指出，必須把問題解決作為學校數學教育的核心. 我國最新修訂的課程標準中也明確指出，數學教學要把提高學生從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力(簡稱“四能”)作為教學目標. 足見“問題”的重要性.

縱觀國內外的基礎教育，各個國家、地區及國際組織都在努力把學生問題解決能力的培養作為基礎教育階段學生素質培養的重要內容和學生終身學習的必備技能.不論是教學目標，還是教學過程，也不論是教學方法，還是教學內容，數學問題都成為當前數學教育研究的重要課題，也成為了國際數學教育的核心和數學教育改革的一種新趨勢，而基于數學問題的教學模式也受到越來越廣泛的關注和重視.

1.2 數學教學是數學活動的教學

“數學教學是數學活動的教學”是前蘇聯數學教育家A·A 斯托利亞爾首先倡導的，他認為數學教學是以“數學活動”為主的思維活動的教學. 我國新的課程標準指出：應加強數學與學生的生活經驗的聯系，從學生熟知、感興趣的生活事例出發，以生活為依托，將生活經驗數學化，促進學生主動參與，使數學課堂煥發生命活力.

數學教學是數學活動的教學，學生在活動過程中理解概念、定理、公式的形成、發展的過程；學生在活動中體會、理解數學的應用價值及文化價值；學生在活動中逐步提高自身分析問題、解決問題以及邏輯推理等各個方面的能力. 從這個意義上不難看出，學生數學素養的提升離不開豐富多彩、能激發學生興趣的數學活動，形式多樣的數學活動是數學教學的必備條件.

2 對問題意識的認識

2.1 問題意識

姚本先教授認為，問題意識是思維的問題性心理品質，是指人們在認識活動中，經常意識到一些難以解決的、疑惑的實際問題或理論問題，并產生一種懷疑、困惑的心理狀態，這種心理又驅使個體積極思維，不斷提出問題和解決問題[2].

從中我們不難看出，問題意識特別強調認識主體在認識活動過程中所起的作用.一方面，認識主體要有強烈的問題意識，主動地參與到認識活動中，只有這樣才能在已有的認知基礎上產生困惑、懷疑等心理狀態，從而感知到新的問題，重新構建認知體系；另一方面，當認識主體具有較強的問題意識之后，便會不由自主地、主動地對認識活動的過程進行總結、反思，在無形中感知認知沖突、探索相關的未知問題，最終優化認識活動的效果.

在中學課堂，學生是認知主體，在教學過程中，如何培養學生的問題意識，如何在問題意識的驅使下讓學生主動并積極參與到認識活動中，如何培養學生在認識活動中自覺反思，逐步提升數學素養，這些是我們必須思考的問題.

2.2 當前學生缺乏問題意識的原因

造成學生缺乏問題意識的原因既有來自教師的，也有來自學生自身的.來自中國青少年研究中心、北京師范大學教育系、北京出版社等機構的專家組成的“我國中小學生學習與發展”課題組對10個省市10—18歲中小學生的課堂上主動提問情況進行了大規模問卷調查，其中“課堂上經常向老師提問”這一問題，小學生占比13.8%，初中生占比5.7%，高中生占比2.9%.不難發現，從小學到高中,學生在課堂上主動回答問題的積極性越來越低.

造成學生缺乏問題意識的主要原因是小學高年級以及中學階段的教育以傳統的知識型教學為主，傳統的知識型教學以傳授知識為教育目的，過分注重傳授知識的結果而非過程與方法，這種教學模式下的師生關系多表現為教師權威、學生服從.另外，通過與一些教師(特別是青年教師)的交流知道，他們的課堂還是以講為主，不愿或者不敢讓學生提問.究其原因，一是怕影響教學進度，完不成教學任務；二是怕提出的問題出乎意料、難以回答，有損尊嚴和形象. 事實上，教學不是知識的單向傳遞，而是師生互動、生生互動，共同發展的過程. 所以，教師需要放下自己的身段，擺正自己在課堂教學中的位置，將促進學生的發展放在首位，同時發展自身的專業能力.

2.3 培養學生問題意識，促進數學素養的提升

培養學生的問題意識，教師首先要改變教學觀念，讓自己具有強烈的問題意識.課程改革，同時也是教師教學觀念的改革.教師在備課、課堂教學及教學反思等方面都要有質疑精神，敢于突破傳統的教育模式，提出自己獨到的見解及教學思路，探索新的教學方式及方法.只有轉變了教師的舊觀念，教師自己具有了強烈的問題意識，才能培養學生具有問題意識，從而提升學生的數學素養.

教師在教學中，要從學生的生活經驗及已有的知識背景出發，創設有趣、有意義的活動，為學生提供充分的從事數學活動及交流的機會.通過形式多樣的問題情景，制造學生的認知沖突、激發學生探究新知的欲望、誘發學生的問題意識，引導學生逐步用數學的眼光觀察周圍的世界，使學生感到有問題要問，有問題值得問，有問題值得繼續研究，這樣逐步提升學生的數學素養.

有研究者認為，根據教材設置一些難度適中，具有可研究的開放題是實施教學內容開放的有效手段[3].開放題，可以是條件開放，也可以是結論開放，甚至還可以是條件和結論都開放.在解決開放題的過程中，學生不必拘泥于某種固化的、規范化的思維模式，從而利于培養學生的發散性思維，提升學生的數學素養.

愛因斯坦認為：提出一個問題往往比解決一個問題更加重要.從數學的角度，解決一個問題可以借助感覺、經驗及一些技巧，而提出一個新穎的、有創造性、具有研究價值的問題，提問者必須站在系統的高度，從整體出發，這對提問者的各個方面的能力、素養都提出了更高的要求.目前，在中學數學教學中存在的主要弊端還是表現在重知識、輕能力，重分數、輕素養上. 因此“強化問題意識、培養數學素養”的教學是克服以上弊端的好方法之一[4].

3 基于數學問題教學的兩點建議

3.1 在教學過程中有目的、有意識、有計劃地培養學生的“問題意識”

讓學生具有問題意識，不是一朝一夕就可以做到的，這是一個循序漸進的過程. 教師在進行教學設計的時候就應該統籌考慮，有目的、有意識、有計劃、有針對性地培養學生問題意識.開始階段，可以是教師提問題，學生解答；慢慢地，在教師的引導下，讓學生自己提問題自己解答；最后做到學生自己發現問題，自己提出問題，自己解決.

案例1在高一上學期學完基本初等函數1之后，給學生留了思考題：

學生借助函數y=f(x)的圖象(如圖1)，得到方程f2(x)+bf(x)+c=0有七個不同的實數根的充要條件是b<0,c=0. 如果就此打住，定會失去培養學生問題意識的良機.我們順勢提出下面的三個問題：

圖1

問題1：討論方程f2(x)+bf(x)+c=0根的情況，并指出其成立的充要條件.

問題2：若方程f2(x)+bf(x)+c=0有八個不同的實數根，則它們的和是多少？

問題3：若y=f(x)是一個二次函數，請提出一個以“方程f2(x)+bf(x)+c=0根”為背景的問題.

數學教育就應該把培養學生的數學思維能力放在首位，不但要使學生掌握適量的數學知識，而且還要讓學生在經歷問題解決的過程中提高學會提出問題與解決復雜問題的能力，為繼續學習并成為終身學習者打下良好的基礎. 案例1中提出的三個問題，不但可以讓學生深刻認識此題，抓住其核心，找到解決問題的突破口，還能一題多用. 問題1深入討論了該方程根的情況，學生不但要關注二次方程t2+bt+c=0根的情況，還要關注f(x)=t的根與t的正負之間的關系；問題2需要學生具有敏銳的觀察力，發現函數y=f(x)的圖象具有對稱性；問題3更具有開放性，更具有挑戰性.這些問題的提出，不但有利于培養學生自身的問題意識，還可以提高學生解決問題的能力，在解決問題的過程中發展數學素養.

案例2在學習完“圓的方程”后，有三個學生一起找到老師，說要匯報一下他們的數學興趣小組近階段的研究成果.

他們從單位圓x2+y2=1入手，首先研究x4+y4=1的性質，進而研究曲線An：

x2n+y2n=1，(n∈N*,n≥2)

并得到更加一般的結論：

(1)曲線是封閉的，其面積大于π，且|x|≤1,|y|≤1；

(2)曲線具有對稱性.x軸、y軸、直線y=x、直線y=-x是其對稱軸，原點是其對稱中心；

(3)曲線An在直線x=±1,y=±1所圍成的正方形內；

學生從圓的方程的形式入手，自己提出問題自己解決. 學生認為這個研究還可以繼續深入下去，如研究曲線(x-a)2n+(y-b)2n=1(n∈N*,n≥2)、x2n+y2m=1(m,n∈N*,m≠n)等的性質.

在教學過程中，數學問題無處不在、無時不在，可以在知識的起始階段，也可以在知識獲取的過程中. 所以，數學問題的提出貫穿整個學習過程，其提出也并非由教師“包辦”，當學生的問題意識、研究意識達到一定的程度后，就可以自己提出，用數學問題驅動教學也是培養學生問題意識的一種很好方法.

3.2 以“問題鏈”的形式組織教學，培養學生的問題意識

采用問題鏈的教學方式是導學理念下的一種有效的教學方式，受到很多中學教師的重視. 問題鏈的有機串聯，有效地克服了課堂教學中某些問題的細碎、離散、隨意等不足，不僅能更簡潔有效的驅動教學，還能讓學生在解決系列問題的過程中學習和提煉知識并獲得解決問題的技巧策略[5].

案例3兩輪高三復習“自我同課異構”課

在上一輪高三教學圓錐曲線時，教師以一道高考試題(2013年廣東理科卷第20題)為依托，采用問題鏈的教學形式，逐步、有層次地探究出“拋物線的極點、極線及其它們的依存關系”[6].而這一屆高三復習時，問題鏈則由學生自己提出并串起來.

(Ⅰ)求拋物線C的方程；

(Ⅱ) 當點P(x0,y0)為直線l上的定點時,求直線AB的方程；

(Ⅲ) 當點P在直線l上移動時,求|AF|·|BF|的最小值.

以下是得到直線AB的方程為x0x-2y-2y0=0后的教學片段.

圖2

學生A：由于P(x0,y0)在直線x-y-2=0上，所以x0-y0-2=0，于是直線x0x-2y-2y0=0中的x0,y0消掉某一個后，可以發現直線過定點(2,2)(為方便敘述，將其記為Q)，如圖2.

在學生A講完之后，給了學生大約15分鐘自己思考的時間.隨后，一個接一個的問題被提了出來：

問題1：如果點P為直線l:x-y-2=0上的動點，直線AB是否仍然過(2,2)？

問題2：該結論的逆命題是否成立？為什么？

問題3：是否具有更加一般的結論？

問題4：直線l和定點Q之間究竟存在怎么樣的關系？

這些問題的提出，幾乎已經逼近了“拋物線的極點、極線及其它們的依存關系”.教師的作用就是引導學生將這些問題一一擊破！這堂課的設計雖然與三年前完全不同，教師的參與度也大大降低，但是從教學效果來看，卻優于上次.究其原因在于學生的問題意識增強了且具有了很強的解決問題能力，這些也正是提高學生課堂參與度的保證.

教學是一個循序漸進的過程，是使學生的知識不斷增加、深化的過程，也是使學生能力不斷提高的過程；結論、方法的獲得固然重要， 但過程更

重要. 引導學生在過程中不斷拓寬加深、完善提高，培養探索、創新能力，才是我們教學的真正目的[7]. 隨著筆者對教育本真的理解，在教學的過程中時常把最精彩、最出彩的部分留給學生，不但可以激發學生的學習興趣，還能培養學生的鉆研精神，在潛移默化中提升學生的數學素養.

我們認為，基于“數學問題”的課堂教學有三個層次，一是提高學生的解題能力，二是提高學生的思維能力，三是提升學生的數學素養. 基于“數學問題”的課堂教學以提高解題能力為基礎，以提高學生數學素養為最終目標，這同時也是實現教育目標的有效途徑. 以“問題”為中心的教學，可使學生在問題解決的學習過程中養成終生學習的習慣，提高獨立思考的能力，尤其有利于發展學生的創造性思維.而基于問題解決的數學課堂教學重視學生在數學問題解決過程中的體驗過程，關注他們在學習活動過程中所表現出來的情感態度價值觀，尊重學生的個性，這些教育理念也與新時代對人才的要求不謀而合.