潛心重構教材擺脫建構窘境的實踐與思考

呂學柱

(江蘇省灌南高級中學 222500)

在使用高中數學教材進行知識建構的教學和教研中，時常會接觸到“建構思路不自然”、“思維展開不流暢”、“求知欲望不強烈”、“似懂非懂”以及“學完尚存困惑”等教學現象.這些現象極易讓教學陷入窘境.其成因主要來自知識本身難度的影響，學生認知水平的不足，教材與教學的脫節，教師研究不深、重視不夠、方法不當等等.而諸多因素中教師是解決問題的關鍵因素.筆者經過深入的學習、研究、實踐與思考，認為可采取適當的教學策略重構教材，擺脫知識建構窘境.現將心得呈現，作為引玉之磚.

1 鋪路搭橋 打通聯系 讓知識自然生長

奧蘇貝爾認為“影響學習最主要的因素是學生已知的內容，弄清了這一點之后，再進行相應的教學.”只有當學生學習的新知識與其原有的認知相聯系，才能產生有意義的學習，進而形成新的認知結構.這種聯系越暢通，形成新的認知結構越自然、越穩固.有些新知識與相關舊知識之間跨度較大，如果教師一味地“教教材”，不重視知識形成過程的教學，只能把新知識強行灌輸給學生，學生當然會感覺生硬、難以接受.教師只有注重知識形成過程的教學，在深入研究教材和學情的基礎上，創造性地重構教材，通過鋪路搭橋、適當鋪墊，打通已有認知與新的認知之間的聯系，才能讓新的認知成為在原有認知基礎上的自然生長.

如“任意角的三角函數”一節，學生已有認知是初中學過的銳角三角函數，新概念形成是本節的難點，這一難點的形成因素較多，抓住關鍵因素才能高效地消除疑難，并從根本上擺脫教學窘境.有的教師認為“坐標系引進”是關鍵因素，其教學設計則在坐標系引進的自然性上下功夫.有的教師認為“函數觀點認識新概念”是關鍵因素， 其教學設計則在“三角函數是角為自變量的函數”上做文章，著力于“比值與終邊上點的位置無關”.筆者經過學情調查及分析研究后認為，“坐標系引進”并非關鍵因素，在“任意角”的學習中已經將坐標系引進.對于普通的學生來說不構成障礙，教師無需在此發力.至于“函數觀點認識新概念”，教材內容已經足以解決，教師無需在此費力.真正的關鍵是如何打通從“銳角三角函數”到“任意角的三角函數”的聯系.使學生跨越從“邊長比”到“坐標比”之間的這道坎.筆者以蘇教版教材為基礎[1]，汲取人教A版教材的養分[2]，對教材進行重構，將任意角的三角函數定義及三角函數線進行整體設計形成如下教學片斷.

案例1“任意角的三角函數”教學片斷

師：在平面直角坐標系中，P(x,y)為任意角α終邊上的一點，|OP|=r>0.(即原點O為圓心r為半徑的圓與終邊交于P).則(r,α)和(x,y)均可確定點P的位置，怎樣用數學模型刻畫二者之間的關系？在什么情況下二者關系我們容易研究？

師：從“邊長的比”到“坐標的比”對于α為銳角是沒有問題的，α超出了銳角的范圍，坐標未必是正數，邊長之比就沒有普適性了.比如α為鈍角，已學的銳角三角函數定義不再適用.看來需要對“銳角三角函數定義”重新認識.對銳角而言，沿著終邊從O到P行程r，鄰邊OM和對邊MP分別為行走產生的水平位移(x軸方向上)和豎直位移(y軸方向上)，銳角三角函數定義中的鄰邊和對邊分別是水平位移和豎直位移(此處位移為正，與邊長一致).下面我們看看鈍角三角函數，情況如何？

師：按照“位移”的想法，對于第一象限、第二象限的角銳角三角函數定義可以推廣嗎？第三象限角、第四象限角以及坐標軸上的角，情況又如何？

生：(略加思考后)依然可以，銳角三角函數定義可以推廣到任意角的情形.

師：這樣任意角的三角函數定義就形成了(師生共同給出定義).如果不用兩個量的比，而只有一個量你能表示三角函數嗎？如何表示？

生：這個容易，分母為1就可以了，r=1，正弦、余弦分別是y和x，也就是位移MP和OM，正切是y(x=1時).

(教師引導對正切的情形進行修正，可準確自然地建構三角函數線的知識，限于篇幅不再展開)

注將“邊長”改造成“位移”，架起了“銳角三角函數”與“任意角三角函數”之間的橋梁，再將“位移”輕松改造成 “有向線段的數量”，“三角函數線”也就水到渠成了.這樣一來，任意角三角函數和三角函數線都成了在銳角三角函數基礎上的自然生長.

2 因勢利導 整合方法 讓思維流暢展開

發現法作為一種嚴格意義的教學法是由布魯納(美國心理學家)在《教育過程》一書中提出的.這種方法要求學生在教師的引導下能象科學家發現真理那樣，通過獨立思考去探索新知識，從而發現新知識的奧秘.而高中數學新知識的絕大部分是可以讓學生在適當條件下“發現”的，這就決定了發現法在高中數學知識建構中所處的突出地位.

在教學中如果教師一味“認準”發現法甚至其中的具體方式，不加整合，不善變通，則會造成學生思維受阻、課堂效益低下的尷尬局面.因此，在運用發現法進行教學時教師必須因勢利導，從直覺感知、歸納猜想、類比遷移、邏輯推演等“發現”方式中適當選擇，與其它教學方法有機整合，并結合學情重構教材，才能讓學生的思維流暢地展開，獲得滿意的教學效益.

案例2“二項式定理”教學片斷

師：我們已經知道：(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,試計算 (a+b)4和(a+b)5，你能發現什么規律嗎？

生：容易發現展開式的項數比指數多1，各項次數與指數相同，按a降冪排列，系數對稱，兩端系數為1等等.

(師生互動，系數列出后形成三角形即“楊輝三角”，系數規律尚不透徹.)

師：既然歸納法不能完成一般規律的發現，我們不妨換換方法.(稍頃)我們來演繹一下怎么樣？ (a+b)n是(a+b)自乘n次，看系數是怎么產生的，還是沒轍.不妨再“退”到簡單的情況.

師：很好！(a+b)n展開式中an-rbr系數是什么？為什么？

師：非常好！現在我們就完成了一般規律(二項式定理)的發現，并且也獲得了推導.這個規律是偉大的數學家(物理學家)牛頓在1664年發現的，而楊輝三角首見于南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算術》一書，在歐洲稱為帕斯卡三角(1654年發現)，牛頓的發現距帕斯卡三角10年，距楊輝三角400多年.難怪我們的探究道路曲折.

注二項式定理的建構如果一味采用歸納法，將楊輝三角中的數據改為相應的組合數呈現給學生，表面上看教學程序流暢了，但這個發現明顯是老師灌輸的，是“偽發現”.如果一味地采用演繹法，學生會感覺不自然，很生硬，探究熱情不高，課堂效益低下.要讓學生的思維流暢地展開，必須進行教材教法的整合.

3 循循善誘 植入文化 讓素養悄然提升

課程標準指出：數學是人類文化的重要組成部分.數學課程應當適當反映數學的歷史、應用和發展趨勢，數學對推動社會發展的作用，數學的社會需求，社會發展對數學發展的推動作用，數學科學的思想體系，數學的美學價值，數學家的創新精神[3].“體現數學的文化價值”不僅符合新課程的基本理念，在知識建構中有時可以發揮無可替代的作用.

比如“數系的擴充”一節，教材(蘇教版選修2-2)介紹了社會需要及數學內部矛盾兩個方面在數系擴充過程中的作用，做到了科學性與量力性的有機統一，較好地體現了數學的文化價值.盡管如此，如果照本宣科“教教材”，學生對“虛數”還是存在排斥、疑惑等負面情緒，而且缺乏學習激情.有的教師認為數學史上數學家是在解三次方程中“發現”虛數的，教學中沿著歷史上數學家的足跡“急速行走”，學習激情上升了，但排斥、疑惑等負面情緒猶在，而且由于學生對當初數學家所用的三次方程解法一無所知，教學中反而平添了一個疑點.只有按照“學情”對教材和數學史進行整合重構，才能借助數學文化的力量，促進新知識的建構,促進數學素養的提升.

案例3“數系的擴充”教學片斷

教師：甲的做法中假如x存在，其結果應該是對的，x一定是超出實數范圍的一種“新數”，這種“新數”會是什么樣子呢？

教師：大家閱讀教材，并對數的概念的發展和數系的擴充過程進行回顧和歸納.

(在師生互動中引入虛數單位、虛數、復數的概念，實現數系的新的擴充)

教師；我們用分分鐘的時間，就發現了“虛數”，真是了不起.公元前500年古希臘數學家希伯斯發現了無理數之后，數學家對于數的研究大約2000年未能突破實數的范圍.1484年，法國數學家在解二次方程x2+4=3x時，結果用到負數的平方根，但仍聲明這是不可能的.到1545年，意大利數學家在解三次方程時得到類似的結果，引入負數的平方根，并稱它為“詭辯量”.后來，經過笛卡爾、歐拉等數學家的努力，到1837完成了從實數系向復數系的擴充.這項工作歷經近300年才得以大功告成.如果讓我們穿越“時空隧道”進入“16世紀歐洲”，我們都會是世界一流的數學家.我們用一節課解決那個時代世界頂級數學家百年的困惑，如果我們還有點困惑算得了什么？再用幾節課，我們在領略經過近300年形成的“復數”的風光中，將會不斷消除困惑，享受怡人美景.

注由簡單問題引發學生的認知沖突，認識數系擴充的必要性，提高數學探究的熱情.適當植入數學文化帶給學生探索精神和奮斗動力，幫助學生增強信心、消除疑慮、提升素養.

4 再造情境 激趣導入 讓建構暢快淋漓

教材對情境設置有生活的、歷史的以及學科知識的等多種背景.盡管如此，在教學中如果教師不能對它進行改造，常常與學生的生活、認知及情感脫節，不利于學習內驅力的激發和新知識的建構.教師只有根據“學情”和學習目標，再造情境，才能激發學生的學習興趣，讓知識建構暢快淋漓.

案例4“等比數列的前n項的和”教學片斷

教材(蘇教版必修5)中未設置情境，教師通過講述古印度國王西拉謨獎勵國際象棋發明者的經典故事，引發學生認知沖突，激發學生探求新知識的熱情.

教材中對公式的推導只提供了“錯位相減法”，缺乏研究的教師也只能“教教材”，這樣產生的結果是知識和方法基本學會了，而“思路不自然”、“ 生硬”成為好多學生的內心感受.究其原因是這種方法與學生原有的認知脫節.筆者作如下處理.

教師：Sn=a1+a2+a3+…+an，如何用基本量表達Sn？(稍頃)看來由于特點不同，等差數列的求和方法失效了.怎么辦？看特點！(適當啟發)

生甲：Sn=Sn-1+an，Sn=a1+qSn-1,解方程組可得.(師生互動，分類討論，逐步完善)

生乙：Sn=a1+qSn-an+1,解方程就可以了.(完善方式同上)

教師：抓住式子的特點，運用常用數學思想(方程思想)，用自己的智慧獲得了公式及推導，非常好！我們再看看教材是如何推導的.(閱讀、交流后，教師點評)其實同樣是抓住式子的特點，只是表達形式不同而已，教材方法非常經典，稱為“錯位相減法”，我們應當學會使用.(至此，新知識順暢建構，生硬感瞬間消失)

5 多元表征 變式深化 讓過程錦上添花

所謂知識的表征，是指人在自己的工作記憶和長時記憶中對信息的貯存、表示和再現方式.數學多元表征大致分為言語化表征和視覺化表征，前者如符號表征、文字表征等，后者如圖形表征、情境表征、操作表征等.多元表征指通過多種形式的表征及各表征之間的轉換，幫助學生對知識進行多角度、多層面認識，從而優化已有的認知圖式.變式教學作為我國數學教育的優良傳統在某種程度上與多元表征不謀而合[4].在概念學習中學生如果不能從多角度、多背景深入理解概念，那么一旦換一個側面去闡述同一個概念，他們就會不知所云.同樣，在命題學習中，如果學生沒有完善的命題域和命題系，那么在解決問題時他們就不能及時有效的調用適當的模式，從而使欲解決的問題難度加大，甚至無法解決[5].由此可見，在高中數學知識建構中多元表征和變式教學是不可或缺的.

案例5“基本不等式”教學設計要點

基本不等式有多種表征形式，主要有下面幾種.

(4)語言表征 兩個非負數的幾何平均數不大于它們的算術平均數.

(6)圖形表征 構造AB為直徑的半圓O，點C把AB分成兩段，AC,BC長度分別為a,b.CD⊥AB交半圓于D，試比較半弦CD與半徑OD的大小.

知識運用從某種意義上說也是知識表征不同形式、不同層次之間的轉換.這一點與變式教學如出一轍.可針對學生思維水平設計適當的“運用”題組，使知識在運用中深化，讓建構過程錦上添花.(篇幅所限，題組略去)

綜上可知，教師只有摒棄單純“教教材”的教學行為，加強學習、研究和反思，針對學生認知水平和相關的學習目標，潛心重構教材、整合教法，才能擺脫知識建構中的種種窘境，提高課堂教學效益，提升課堂教學品位.