以“畫三角形”實驗課為例的“講中學”的探究①

戴 健

(江蘇省蘇州市振華中學校 215006)

所謂“講中學”就是讓學生通過“講概念、述想法”，來提高數學素養，培養智慧．“講中學”是本文作者在長期的初中數學教學實踐中所形成的教學風格，與呂傳漢先生的“三教”(教思考、教體驗、教表達)的教育思想相契合[1]．本文旨在探討形成“講中學”的教學前提，教學環境的創造，以及“講中學”的教學設計和評價.

1 “講中學”的教學前提

鮑建生指出，學生高層次思維的表現形式有：(1)對提出的問題，通過自己的獨立思考有所見解；(2)解答問題時，能用多種方式表達自己的見解；(3)在討論時，能向同伴提出有建設性的意見[2]．筆者所追求的正是：通過“講”的自信來培養對數學的興趣，形成對數學概念和思想方法的體驗，提高綜合能力．不難看出，“講”的過程是“數學化”、“再創造”，講的機理是“提高元認知水平”，講的標準是“嚴謹性”．但是，好的教育目標和教學行為未必具有普遍的適用性．“講中學”能夠落實到位，需要教師、學生和師生關系三個方面的條件．作為教師，筆者的緘默型教學知識主要來源于一直堅持的兩件事：備應答，比教材.

備應答是指在寫教學設計時不但要備提問、設計問題串，更要想好學生應答的多種可能，對學生的反饋及時糾錯、答疑或肯定，引導學生持續有效的交流．比教材是指把同一數學內容相關的幾套數學教材的處理方法相比較，挖掘各自特色，為實現最佳教學設計尋找智慧.

本次“畫三角形”就是通過蘇科版和滬教版的教材比較找到靈感的．滬教版教材[3]在七(下)直接講三角形的邊、角關系和全等三角形，它在研究三角形時單獨安排《畫三角形》的一節課．這種單獨安排引起筆者的強烈興趣：以前也總會教學生畫三角形，關注的是三角形的形狀大小的確定性(蘇科版)，而滬教版是探究“以下三個元素能否確定三角形？”盡管探究的內容并不完整，但筆者敏感到了這是所見到的“全等三角形判定”定理導出的最佳途徑．筆者于是打破常規，設計出一堂數學實驗課，探究“確定一個三角形需要哪些元素？”把單純的用尺規作圖畫三角形的教學與確定三角形的條件的深度思考進行整合，讓學生感受已知一個元素、二個元素畫三角形的不確定性，如何追加元素等等．通過畫三角形的實驗，真正感受到要確定三角形必須具備哪些元素．通過元素確定的實驗，再進行三角形全等的判定定理的教學只需簡單回顧實驗課結論，就沒有任何障礙.

筆者對不同時代的學生的心智進行了比較，以前強調學生接受數學概念需要設置科學的階梯，不能按數學結構的邏輯順序編寫教材，但事實是，近十年來，隨著現代媒體的強勢浸入，學生的幾何直觀能力都有更好的基礎，比如對圖形形狀大小的信息可以回答得十分準確．相反地，如果教材中把幾何公理變成“量一量、畫一畫、你能發現什么？”這樣的填空題，就會帶來一個問題：如果老師比較有經驗，很嚴謹，就能夠給學生一個好的答案，如果老師不很嚴謹，口語化地幫學生回答，就會造成學生在解題中敘述不嚴謹的弊病，他們也就會對“講”產生恐懼．因此，實施“講中學”首先需要營造良好的交流氛圍，樹立學生強烈的交流意識，再讓優秀的語言表達能力和扎實的數學知識形成良性循環.

2 營造“講中學”的教學環境

筆者對“講中學”的環境的營造問題進行了持續十多年的探討，形成了一套系統的方法.

(1)提振自信

筆者接任每一個新班的第一個目標就是：所有的學生都不排斥上數學，而且要讓他們感到在上一個新的章節時能夠獲得新知，充滿戰斗的力量．學生排斥數學的原因主要是碎片化的教材形式造成的，拿三角形全等的判定來說，常規的教法是，今天教邊角邊，就演示——做題，明天教角邊角，再演示——做題，再研究兩邊一角、兩角一邊，看上去每節課的模式很正規，但學生的知識是很瑣碎的，只知道學到了一大堆判定定理、也不知道會不會有別的判定方法，就產生了畏懼感．所以，我們一方面要讓學生有一個總的概念鋪墊，使他們學得輕松、學得自信．另一方面要通過反復提問，把他們前幾年積累的“漏洞”自動補起來．

(2)培養習慣

形成習慣以前的學生在表述時最先都是指手畫腳、隨性而講的．比如講平行、講角平分線時大家都是講不清楚的，但只要方法適當，教學生“學會講話”并不難．講三角形全等的證明題時，筆者要求每個學生找一個(學生)“同伴老師”，這個老師聽懂了才允許把題目過程寫下來；又比如在講圓的切線概念時，足有一半學生講不清，筆者讓會的“同伴老師”指導不會的同學講，練兩天后大家就都能講得很好．幾何證明題的書寫是非常頭痛的，現在讓他們練“講”后，學生思維的嚴謹性、語言表達的流暢性一旦形成，書寫也就簡潔明快了.

(3)創造機會

因為應試，年輕的老師在課堂上往往會比較急躁，對(特別是新章節)概念引入會一帶而過或者情景輔助．比如說三角形的一章，“三角形”的概念似乎不需要多講，但作為“平面上的最簡單的直線型封閉圖形”的語言描述，應該花時間去講，老師講了還要讓學生都會講，這樣才會自然地想到將多邊形分割到三角形這種最簡化的圖形，而不是到臨近中考時遇到壓軸題才想到“化繁為簡”、“轉化”等思想，數學的素養、思想方法都是要靠平時滲透的．更重要的是，抓住這種容易著手的概念，給學生以嚴謹表達的機會，非常重要.

(4)安靜思考

全班會“講”以后，就要培養“安靜的思考”． 比如探究“確定三角形”的條件，很安靜地給他們足夠時間去畫、去想表達方式：對于給定三個元素的問題，預設在10到15分鐘之間讓大家獨立思考，如果畫不出來，可以和周圍的同學探討一下，他所畫出來得到的結果比教師在講臺上的演示效果好得多，因為這是自己探討出來的．“做”、“講”、“寫”是三大輸出性學習方式，具有實踐性、探索性和創造性．課堂上盡量創設情景讓學生動手做實驗，并讓學生通過“講”表達想法、升華思維、經受學習共同體的評判．

3 以“畫三角形”為例的實驗課設計和片斷回顧

《全等三角形判定》的傳統教法是，直接分類得出判定的幾個模式，然后每節課學習一種模式，通過題目的一定量的積累使學生找到判定的規律．筆者采取了相反的思路：通過學生的實驗，使學生親自產生更牢固的判定概念，“用有限的知識去解決無限的問題”；這種“確定性”的思維還可以為后續“平行四邊形”的學習打好基礎．

(1)教學目標

1)本節課先提出“完全確定一個三角形的形狀和大小需要給定這個三角形的幾個元素”的問題進行思考，再安排畫三角形的操作，為下一節課探究判定兩個三角形全等的條件儲備實驗感知.

2)通過創設良好的實驗環境和精確設問，讓學生體驗“操作實驗——歸納猜想——發現表達——說理證實”的數學研究過程．

(2)教學重點

整節課“畫三角形”的內容，是圍繞問題：“確定一個三角形的形狀和大小，需要給定這個三角形的幾個元素？”而展開．要使所畫的三角形完全確定，關鍵是三角形三個頂點的相對位置必需確定，這是通過畫圖來探究這個問題關鍵的思考線索．

1)讓學生不但知道一個、二個元素的不確定性，還要會描述反例；

2)對已知“三個元素”條件的確定性和不確定性自覺分類；

3)對已知“四個元素”條件的確定性進行邏輯論證.

(3)過程設計

1)問題提出：一個三角形三邊三角六個元素，要完全確定一個三角形的形狀和大小，需要給定這個三角形的幾個元素？

2)數學實驗1：給定三角形的兩個元素，畫出的三角形的形狀和大小是否確定？

(a)已知三角形的兩條邊的長分別為3cm，4cm；

(b)已知三角形的兩個內角分別為45°，60°；

(c)已知三角形的一個內角為45°，一條邊長4cm.

3)數學實驗2：在下列條件下畫三角形，所畫的三角形的形狀和大小是否確定？

(a)畫△ABC，使AB=3cm，BC=4cm，AC=2cm；

(b)畫△ABC，使∠B=50°，∠C=70°，BC=4cm；

(c)畫△ABC，使∠B=50°，∠C=70°，AB=3cm；

(d)畫△ABC，使AB=3cm，AC=2cm，∠A=45°；

(e)畫△ABC，使AB=3cm，BC=2.5cm，∠A=45°.

4)實驗發現(討論)要使所畫的三角形完全確定，關鍵是什么？

5)既然三個元素未必可以確定一個三角形，那么四個元素能否完全確定呢(論證)？

(4)片斷回顧

片斷1(確定性條件的提出和分類)

首先回顧任何一個三角形有6個元素(3個角和3條邊).

師：給定一個角，能否確定一個三角形呢(生答：不能)？請舉反例.

生：比如說兩塊三角板，都有一個角是90°，但一塊板的另兩個角是45°、45°，而另一塊板的另兩個角是30°、60°，明顯不一樣.

師：那么如果給定三角形的三個元素，又會有幾種情況呢？

眾生：三邊、三角、二邊一角、二角一邊.

兩位學生上臺圖示后眾生細分出六種情況：三邊、三角、兩角及其夾邊、兩角及一角的對邊、兩邊及其夾角、兩邊及一邊的對角．筆者取出事先準備好的(a)-(e)五個實驗題，并要求邊畫邊思考“在這樣的條件下畫三角形，所畫的三角形的形狀和大小是否確定？”

十二分鐘后，全班六個小組都完成實驗．筆者要求同學講清為什么題(e)有兩種情況(如圖1).

圖1 已知元素“兩邊及其中一對角”的兩個圖

生：我先畫AB=3cm，再作∠A=45°，以B點為圓心，2.5cm為半徑畫圓弧，可以作出兩個交點，所以會有兩種三角形.

……

師：在你們畫圖的過程中，能確定三角形的形狀和大小的關鍵是什么？

生：關鍵是要確定三個頂點的位置.

生：在三個條件中，至少要有一個邊長的條件.

片斷2(對“已知四個元素”的討論)

師：我現在還有個問題，要畫出確定形狀和大小的三角形，還需要給出更多的元素嗎？……所以，如果任意給出四個元素，怎么樣(生眾：一定行！)……那么五個條件呢(生眾：一定行！).

用反例驗證和實驗中的不確定性，學會“思維嚴謹”；從先畫再講、手口相輔的經歷中體驗“自我評價”；在對分類討論的不斷問答中學會“急中生智”．在實驗活動過程中，學生人人參與、獨立思考、自主探究，數學分類、數學表達以及合作交流的能力都得到有效提升.

4 小結

“講中學”首先需要教師積累“充實后的教學知識”，將學科知識與學生、教學、課程有機結合．要營造教學互動的良性循環氛圍，讓所學的不再是單純的數學知識，而是清晰表達的綜合素養和數學交流中的智慧.

為了培養有素養、有智慧的學生，“講中學”的深入探討具有廣闊的前景．一方面，“講中學”成為具有元認知訓練意義的、既經濟又有效的教學行為，讓學生在自我認識、自覺反思、獲得信念和動力的同時，在溝通交流、數學化能力、推理論證、制定策略等素養上不斷飛躍．另一方面，“講中學”通過教師課前設計和現場調適，給學生以智慧的熏陶，有益于學生的終身發展．“講中學”既是提升素養的技術途徑，又是探究性教學的典型形式，為學生賦予廣闊的思維空間，點亮鮮活的思維火花[4]．