《周髀算經》“周公商高問答”相關問題的研究

俞求是

(教育部人民教育出版社中學數學室 100081)

《周髀算經》是我國最早的數學典籍，是研究中國數學史的重要文獻，其中第一篇“周公商高問答”對于研究勾股定理具有重要價值，引起了研究者的重視.由于教材工作的原因，我近期研讀了《周髀算經》及部分研究文獻，感到準確估計和確定中國數學史中勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明的時間等問題很重要，很值得研究，這些問題的研究對于相關內容的教學也有一定的參考價值.

1 “周公商高問答”原文

要論述有關問題，先陳述“周公商高問答”原文如下(原文是繁體字，現(xiàn)改用相應簡體字敘述)：

昔者周公問于商高曰：“竊聞乎大夫善數也，請問古者包犧立周天歷度，夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，請問數安從出？”商高曰：“數之法，出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一.故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五.既方之外，半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五，兩矩共長二十有五，是謂積矩.故禹之所以治天下者，此數之所生也.”周公曰：“大哉言數.請問用矩之道？”商高曰：“平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠，環(huán)矩以為圓，合矩以為方.方屬地，圓屬天，天圓地方.方數為典，以方出圓.笠以寫天，天青黑，地黃赤.天數之為笠也，青黑為表，丹黃為里，以象天地之位.是故，知地者智，知天者圣.智出于勾，勾出于矩.夫矩之于數，其裁制萬物，惟所為耳”.周公曰：“善哉！”

2 “周公商高問答”的解讀

為了理解以上對話，先對其中的一些人物和詞句作注解和分析如下.

周公，姓姬名旦，為周武王之弟，周成王之叔.周武王死后，周成王年幼，周公攝政，多有建樹.周公對于中國周代及后續(xù)時期的文化傳統(tǒng)產生重要影響.

文中“昔者”一詞說明，《周髀算經》寫作年代晚于周公、商高的時代.“商高與周公對話的時間已無可稽考，但周公去世之年已確知為公元前1105年[1].《周髀算經》原稱《周髀》，是一部以“蓋天說”宇宙模型為中心的天文學著作，其中用到了許多數學知識，所以也是一本數學著作.此書作者不詳，成書年代據考為西漢(前206—公元25)初[2].從數學上看，《周髀算經》)主要的成就是分數運算、勾股定理及其在天文測量中的應用.所謂蓋天說，是中國古代一種宇宙模型，認為“天象蓋笠，地似覆槃”[3].

商高，其生平未詳，趙爽注：“商高，周時賢大夫，善算者也.”西北大學李繼閔教授在“‘商高定理’辯證”一文中對于商高的生平作了詳盡的考證[4].

包犧，傳說中遠古的三皇之一，也寫作伏羲、庖犧、包犧.《易·系辭下》：“古者包犧氏之王天下，仰則觀象于天，俯則觀法于地.”相傳八卦由他所創(chuàng)，近年國內的一些考古研究支持以上觀點.立周天歷度，建立周天測量度數，建立古代歷法.這里的周天，估計用于時間或空間測量.

矩，又稱曲尺，L型的木匠工具.古代“矩”指L型曲尺，由長短兩根木條組成的直角(在兩條邊上也可按用途取相等之值)，短邊稱為勾，長邊稱為股.“矩形”是“矩”衍生的長方形.“矩”在商高時代有多種含義，除了曲尺、直角之外，矩有時也指正方形和長方形的面積.

圓出于方，求圓的方法可由方的數理特性推導.趙爽注：“方，周匝也.”引申為多邊形的周長.商高時代中國古代數學已創(chuàng)建出一個推算圓面積的方法，其步驟是“毀方而為圓，破圓而為方.”[3]

方出于矩，方的運算方法可由矩的直角特性推導.古文“方”指正方、長方且有直角的含義[3],如“合矩以為方”，意思是指把兩個矩尺以適當的方式合擺成正方形或長方形.

“九九八十一”指乘法運算，古代常以特例作名.如“九九”是中國古代對于乘法口訣的稱謂.中國古代的乘法口訣是從“九九八十一”開始的，所以稱為“九九”，到宋、元時，九九乘法口訣的次序才顛倒過來從“一一得一”開始[3].

故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五.趙爽注：“故者，申事之辭也”.折矩，將矩形沿對角線一折為二，得兩個全等的直角三角形.勾廣三，趙爽注：“應圓之周，橫者謂之廣，勾亦廣.廣，短也.”股修四，趙爽注：“應方之匝，從者謂之修，股亦修.修，長也.”徑隅五，趙爽注：“徑，直；隅，角也.亦謂之弦.”這里的徑，指直角三角形的斜邊.整句意思是，如果勾為三，股為四，那么徑就是五.

由于斷句的不同,對于關鍵句子“既方之外，半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五，兩矩共長二十有五，是謂積矩”有不同的解讀.例如，李繼閔教授認為，此處原文是：“既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五，兩矩共長二十有五，是謂積矩.”并對原文圖示(商高勾股圖一，見圖1)如下[4]：

圖1

再如，美國科學院院士程貞一教授認為：原文開頭一句是：“既方之外，半其一矩”，“既方之外”是指在勾股形之外以徑(斜邊)為邊作正方形；“半其一矩”指取半個長方形.“環(huán)而共盤”指環(huán)繞正方形一周，共同組成一方盤(見圖2)，并稱所得的圖為“商高勾股圖二”.“如此所得之大方弦圖，正是趙爽弦圖的外弦圖(見圖3).”“得成三四五”：得以推出勾股定理[3].

圖2

圖3

對于“兩矩共長二十有五，是謂積矩.”趙爽注：“兩矩者，勾股各自乘之實，共長者，并實之數.”由此注理解：“兩矩共長二十有五”即勾方和股方兩個矩形面積之和二十有五，也就是徑方的面積.即：

勾方+股方=徑方.

這就是勾股定理.

無論對《周髀算經》此段原文如何理解，這段文字都是說勾股定理的推導[3].“積矩法”肯定是利用圖形面積之間的關系來推證“勾股定理”的.

“故禹之所以治天下者，此數之所生也”，這也是非常關鍵的一句話.大禹治水十三年，三過家門而不入，大禹治水是中華民族遠古時代的一件大事，治水成功的要旨是采用了疏導的方法，為此必須“望山川之形，定高下之勢”.根據《史記·夏本紀》，大禹在治水時“左準繩，右規(guī)矩”，說明在治水中必須經常與直角打交道，經常要用圓規(guī)，用矩尺，這就為發(fā)現(xiàn)勾股定理提供了機會，在測量的實踐中，大禹時代的人，也許大禹本人，已積累了不少數學知識，包括用矩的經驗，為發(fā)現(xiàn)勾股弦關系打下了基礎.據說大禹治水巡視到會稽(即現(xiàn)浙江紹興)時因病而死，會稽山下的禹穴就是他的墓地，后人為了紀念他就在那里建立了禹陵碑和禹廟，這些古跡至今都保存著.大禹治水是不必懷疑的歷史事件. 大禹治水的故事，以及相關的勾股定理知識是如何在古代流傳下來的當然是另外的問題，文化具有代代相傳的特點，沒有非常特殊的外力破壞，重要的、優(yōu)秀的文化積累一定會代代傳承.唐代著名詩人李白也有詩句：“黃河西來決昆侖，咆哮萬里觸龍門.波濤天，堯咨嗟.大禹理百川，子啼不窺家.”國家的治理，治水是一件大事，古今中外都是如此. 1998年，多位中央領導親臨全國各地抗洪現(xiàn)場領導抗擊特大洪水，抗洪救災的干部、群眾和人民解放軍、武警官兵，日夜奮戰(zhàn)終于保住長江大堤，否則將會造成極大的人員傷亡和財產損失，情況將不堪設想！我上中學時學校就多次組織學生參加水利基礎工程建設勞動.趙爽有注：“禹治洪水，決流江河，望山川之形，定高下之勢，除滔天之災，釋昏墊之厄，使東注于海而無浸逆.乃勾股之所由生也.”李繼閔教授認為：“中國古代以勾股定理為基礎的勾股術無疑產生于窺天測地.《史記·夏本紀》：‘(禹)陸行乘車，水行乘船，泥行乘橇，山行乘檋.左準繩，右規(guī)矩，載四時，以開九州，通九道.’足見大禹治水使用規(guī)矩進行測繪之說流傳久遠”，“此數指勾股之數‘三、四、五’，也泛指勾股定理所表的數量關系，依商高所說，大禹治水得力于勾股術的應用.”，可見，人們對于“故禹之所以治天下者，此數之所生也.”這句話的理解有兩種：第一種，勾股定理(或其特例)產生于大禹治水(公元前21世紀)的過程中，趙爽注似乎更接近這個觀點；第二種，大禹治水的許多辦法是根據勾股定理(或其特例)而得到的.兩者必居其一.如果按照第二種理解，勾股定理的發(fā)現(xiàn)可能比大禹治水的時間還要早.無論怎樣去理解，都可以推知，大禹治水時人們一定已經知道“勾三股四弦五”的特殊結論，還有可能知道勾股定理的一般結論.

根據世界數學史的普遍規(guī)律，許多數學知識，尤其是幾何知識，往往產生于在洪水泛濫以后各地土地劃分整治的過程中.在中華大地上，許多數學知識，特別像勾股定理一般結論或者特殊結論的幾何知識也會產生于治理大自然的過程中的觀點還是比較可信的，比較符合數學發(fā)展的普遍規(guī)律.所以，不管“故禹之所以治天下者，此數之所生也.”這句話應該怎樣去理解，可以相信，在中國，勾股定理(或其特例)也是產生于像大禹治水這樣的生產活動過程中，或者就直接產生于大禹治水的過程中，也就是說，在大禹治水的過程中或者更早的類似活動中，人們就已經發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一般結論，或者，發(fā)現(xiàn)了“勾三股四弦五”的特殊結論，兩者必居其一.

至此，似乎可以斷定一些結論了.但是，從邏輯嚴密要求出發(fā)，數學史專家們認為仍有漏洞.“《周髀》所引商高和陳子的話及禹之治天下為數之所由生是真有其事，還有假托，無法確定.這就牽涉到像勾股定理這樣重要數學成果的獲得年代問題.這條定理肯定不會是在西漢時期突然出現(xiàn)的，必然有一個相當長的發(fā)展過程.”[5]以上論述中提出的疑問有所謂疑古主義的傾向，從邏輯上來說提出的疑問是無可厚非的，憑《周髀算經》一家之言，缺乏考古學、歷史學嚴密的論證，結論確實還不足以確立.不過，另一方面，《周髀算經》以后并沒有另外典籍去批駁此書的記載，所以，根據《周髀算經》的記述推斷出大禹治水時期就已經發(fā)現(xiàn)勾股定理的特例結論，或者已經發(fā)現(xiàn)勾股定理的一般結論，既還不能完全肯定，也還無法否定，基本上是可信的. 對照世界數學史的類似情況，我認為可以有很大把握作出一個判斷：在古代中國，至遲在大禹治水時期人們就已經知道勾股定理“勾三股四弦五”的特例結論，或者直接知道勾股定理一般結論；另外，由于《周髀算經》周公與商高的對話中已經記錄下定理證明方法，我國古代證明勾股定理的最晚時間肯定不會晚于《周髀算經》寫作的時間，后來趙爽在為此書作注時作“勾股圓方圖”對定理給出了圖解.

商高曰：“平矩以正繩，偃矩以望高，……”這一段話，前一部分回答周公用矩之道的問題，后一部分主要是所謂“蓋天說”的一段論述，與勾股定理聯(lián)系較弱.

參考程貞一教授《〈周髀算經〉譯注》一書，我嘗試用意譯方法作出對“周公商高問答”的今譯：

從前，周公問算數于商高說：“我早已聽說大夫您是位擅長于數學的人.請問古時伏羲建立周天測量度數，可是天沒有臺階可供攀登，地也不適合以尺去度量尺寸，請問這些數是從何處得來的？”商高說：“數學的方法出于圓和方的數理特性.圓可由方的數理特性推導，方可由矩的直角數理特性推導，矩的數理原理出于乘法法則.所以，將矩形沿對角線一折為二得兩個相等的直角三角形，那么，勾方加股方就等于徑方.例如，如果勾(即短邊)等于三，股(即長邊)等于四，那么所得直角三角形的徑(即弦，斜邊之長)就等于五(這三四五這三個數按九九表來計算有三三加四四等于五五的關系).為什么呢？您看，在直角三角形之外，以徑(斜邊)為邊作正方形，然后每次取半個矩形，四次就可以環(huán)繞正方形一周，這就形成一個大的方盤了.由此推導，就可以得出成立“三四五”的數理關系了.因為由構圖得，由兩個矩形分成的四個直角三角形圍成的徑方的面積等于大的方盤面積(七七四十九)減去兩個矩形的面積(三四一十二的兩倍二十四)，從而推導得徑方面積等于二十五，這恰好等于勾方的面積九加股方的面積十六，得到徑等于五，這就是所說的勾三股四徑五.這種推導法就是所謂的‘積矩’法.大禹之所以能夠(由治水而)治天下，就得力于以上的數量關系(這句，也許另一種理解：以上的數量關系來自于大禹(治水而)治天下的過程中，不過，這樣理解，之所以三字似乎講不通).”周公說：“照你這么說，研究數學其意義可是相當重要！那我再向你請教一下用矩的方法.”商高答道：“您看，利用矩的直角邊和重垂線，可確定水平面.把矩仰立放，可測高度.把矩倒置，可測深度.把矩臥放與地面平行，可測水平距離的長度.把矩環(huán)旋一周，可以得到圓形.將兩矩相合，可得方形.方的數理應用于觀測地，圓的數理應用于觀測天，人們常說天圓地方.以方的數理為基礎，以處理方的方法推導出圓之數理.笠可用來寫意天的功能與表現(xiàn)天的形態(tài).天色青黑，地色黃赤.以笠來寫意天的數理特質，天色青黑為其外表，地色黃赤為其里面,用來象征天地方位.所以說，通曉地上事物的是智者，理解天上事物的是圣人.智出自善于設勾測量的才華，把矩固定作表，可以測量出勾影.矩對于算數應用的重要性，在于測算制作萬物，用起來得心應手.”周公說：“好極了！”

3 相關問題的研究

從“商高曰：數之法，出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一.”可以看出，在商高看來，數學知識之間并非互相孤立、互不相干，而是存在密切關系，從一些基本事實、基本結論出發(fā)，可以推出復雜圖形的性質.在以上敘述看，最基本的根據是“九九八十一”，是算術基本知識.矩的有關計算就是用自然數的乘法法則.由此看來，在數學中應用邏輯推理是古代中國很早就有的事情了，這是很了不起的.另外，上面“圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一”中的圓、方、矩等顯然是極簡的表達，可以肯定，它們代表了相應圖形一系列幾何性質.由此可以推斷，在中國，早在商高時代甚至遠在商高時代之前，人們就已經專門研究了這些圖形的幾何性質.

程貞一教授有一個重要觀點：這里的“三四五”是指直角三角形勾、股和徑(即弦)的數理關系，即現(xiàn)稱的勾股定理，這是商高篇中以特例為名的又一實例[3].可以想象，古時表述數量關系缺乏一套簡便的符號、語言體系，所以用“勾、股、弦”表達直角三角形的三條邊，以3，4，5之間所具有的平方關系代表勾股弦的一般關系，這是極簡的敘述.勾、股、弦的關系當然并不限于整數，推導方法也可推廣，用“三四五”的名稱清楚說明了圖形性質.

另外，商高在將矩形沿對角線一折為二得兩個相等的直角三角形(折矩)之初，并不要求此矩形的短邊和長邊分別等于3和4，也許能說明，他對于矩形的選擇是隨意的.為了能夠更簡明地給周公說清道理，便先選擇了“三四五”特例，這是很高超的.商高既知道一般結論，又熟悉特殊結論.

歷史上，是先發(fā)現(xiàn)勾股定理“三四五”特例，還是先發(fā)現(xiàn)勾股定理一般結論，是一個值得研究思考的問題.這個時間順序依賴于發(fā)現(xiàn)勾股定理的具體情境和途徑.當然只有兩種可能，一是先現(xiàn)特例再發(fā)現(xiàn)一般結論，另一種是先發(fā)現(xiàn)一般結論，再發(fā)現(xiàn)特殊結論.可以設想古人研究過程中的可能情境.有一種情境可能是研究是否存在三條整數邊長的直角三角形，這是容易通過試驗得到一些猜想的命題，當排除一些容易排除的特殊情況以后，就得到一個了猜想：一個直角三角形兩直角邊的長分別為三和四，其斜邊長極可能就等于五.一個新問題就擺在面前了！這個問題只依靠簡單的長度或者角度的測量都是不能說明問題的.于是，人們可能想到了一個極妙的辦法，就是把問題轉化為等價的一個問題，把長度測量的困難問題轉化成面積關系的探究，這是極其重要而極巧妙的想法.要證明某邊長是5，只要證明某正方形的面積等于25！而這是可以借助圖形之間關系來加以說明的！(這里也許說明了人們?yōu)槭裁聪氲酵ǔＳ妹娣e去證明勾股定理，勾股定理可是關于邊長的結論啊！).也許人們曾經同時研究過兩個問題：三邊長分別為三、四、五的三角形是直角三角形嗎？如果一個直角三角形兩條直角邊的長分別為三和四，第三邊的長是五嗎？根據初等幾何理論可知，從邏輯關系去分析，這是兩個完全等價的命題.于是，問題可以歸結為研究：如果一個直角三角形兩直角邊的長分別為三和四，斜邊長是五嗎？又轉化等價命題為：如果一個直角三角形兩直角邊的長分別為三和四，以斜邊為邊的正方形的面積是二十五嗎？經過研究可以得到結論，存在三邊長分別為三四五的直角三角形.通常人們說“勾三股四弦五”，其實這究竟指什么具體的數學命題是有些含糊的，顯然有一種理解就是：存在三邊長分別為三四五(勾三股四弦五)的直角三角形.應該注意，這個結論還不是勾股定理的特殊情況，因為勾股定理指出的是邊長的平方關系.也許經過很長時期，人們又發(fā)現(xiàn)了3，4，5這三個數之間的平方關系，于是就得到了勾股定理的特例了.由于平方關系從幾何上看是面積關系，這種關系對一般直角三角形也可以同樣推證出來，于是就得到了一般形式的結論.如果歷史上是按照這樣的路徑和順序發(fā)現(xiàn)了特殊結論和一般結論，那么，這兩個結論的發(fā)現(xiàn)時間間隔應該不會很長，而且，特殊結論先于一般結論被發(fā)現(xiàn).在中學數學教學中，或者在數學史的研究中常常認為勾股定理特殊結論“勾三股四弦五”(此處指存在邊的平方關系)和一般定理這兩個結論是先后獨立發(fā)現(xiàn)的.究竟這兩個結論是獨立地有先后地出現(xiàn)在數學歷史中，還是基本同時被發(fā)現(xiàn)的呢？這當然是值得思考的一個問題.進一步的思考，應該可以得到判斷：“勾三股四弦五”的特殊結論應該不會與勾股定理一般結論相差很長時間得到.因為，“勾三股四弦五”特殊結論離開了一般結論基本上是不能立足的.沒有一般結論的觀念，大概也不會有特殊結論的觀念.如前所述，也許人們曾經研究過是否存在三邊都是整數邊長的直角三角形的問題，由于測量精度原因，不能從一個直角三角形有兩邊分別是三和四，通過測量確認另一條邊就是五，因為測量存在誤差問題.也許正是這個原因，并發(fā)現(xiàn)3，4，5三個數之間特殊的平方關系，人們猜想到一般結論.當然，從猜想到證明一般結論，應該需要一段時間.不過，如果想到了面積方法，大概證明就很快可以得到了，到現(xiàn)代，人們對于勾股定理，已經有幾百種證明方法了，在這些方法中發(fā)現(xiàn)幾種證明方法并非難事！所以，可以認為，從猜想有“勾三股四弦五”邊長平方關系結論，到得到勾股定理一般結論，時間不會太長；或者相反的方向，有了一般結論，另加一個邊長是整數的特殊要求，也就很快能夠得到特殊結論.從數學史幾千年這么大的時間跨度來看，可以認為，一般結論和特殊結論應該是幾乎同時得到的.這個基本而重要的幾何結論的發(fā)現(xiàn)確實是應該好好慶祝一下的，無論是在中國，還是在希臘，都可列入重大科學發(fā)現(xiàn)，這么基本，這么美妙！三四五，太美妙了！也許當時還沒有太好的命名方法去稱呼這個結論，那就把這個結論簡稱為“三四五”吧！這樣稱呼也挺好！

此外，程貞一教授認為：“商高積矩推導法的一個主要成就是把數學由經驗層次發(fā)展為推導證明的層次，從而奠定了中國理論數學的基石.”“商高所敘述的證明勾股定理的方法是世界數學史現(xiàn)存最早證明勾股定理的記載.”“這些成就奠定了《商高篇》在世界數學史應有的地位.”[3]他的觀點具有重要意義.

對于畢達哥位斯學派怎樣發(fā)現(xiàn)定理的，目前普遍認為是畢達哥位斯學派甚至也許是畢達哥拉斯本人在研究地磚圖案中的面積關系時，先發(fā)現(xiàn)了等腰直角三角形的特殊情形下的勾股定理結論，進而研究一般情形下的結論，導致定理的發(fā)現(xiàn).這是一個比較符合邏輯的過程.也是目前多數中學數學教科書中引入的情境.從教學的角度來說，確實是可以接受的一種設計.不過，數學史的考證研究是另外一會事.實際上，許多研究者認為，畢達哥拉斯學派是否真正發(fā)現(xiàn)并證明了勾股定理本身并沒有確鑿的證據.

4 主要結論

綜合本文以上分析，我們有很大的把握得出以下主要結論：

(1)在我國，早在大禹治水時期(公元前21世紀)或者更早，人們就已經發(fā)現(xiàn)了(此處發(fā)現(xiàn)指已經能夠推理論證)一般形式的勾股定理，同時也發(fā)現(xiàn)了(此處發(fā)現(xiàn)也指已經能夠推理論證)“勾三股四弦五”特例結論，并把結論用到生產實踐之中；在中國最早有文字記錄與勾股定理有關的歷史人物是大禹.時間遠早于畢達哥拉斯(約公元前6世紀)；

(2)到西周的周公時(約公元前1100年左右)，數學家商高不但能夠清晰地說明勾股定理，而且能極清晰地用“勾三股四弦五”的特例來講述一般數量關系，能夠用積矩法證明勾股定理的一般結論，這是中國有文字記載的最早的勾股定理證明方法.這一時間也遠早于畢達哥拉斯(約公元前6世紀),但商高不是最早得到勾股定理的中國人；

(3)在我國，最遲到《周髀算經》成書的時代，即不晚于西漢時期(從公元前206年到公元25年)，《周髀算經》記錄了推證勾股定理的思想方法；

(4)在我國，到三國時吳國人趙爽在約公元222年前后為《周髀算經》作注時，作“勾股圓方圖”，畫出了前人證明勾股定理的圖形，并給出了新的證法.趙爽的證法是極直觀而簡捷的.