正多面體的歷史及其現代教育價值

張曉雪 代 欽

(內蒙古師范大學數學科學學院 010022) (內蒙古師范大學科學技術史研究院 010022)

1 前言

古希臘賢哲們觀察和探索自然時發現了正多面體的存在并給出了正多面體只有五種的證明．柏拉圖等哲學家將正多面體作為描述自然本原存在的基本幾何形式．中世紀后，開普勒亦將正多面體和球體結合的幾何模型作為行星運動的宇宙模型．用正多面體刻畫自然和宇宙是否符合科學，我們在這里不作討論．重要的是，人們已普遍認可正多面體的存在是神圣的．對哲學家、數學家、天文學家、藝術家和科學家來講，它們的存在具有無限的魅力．我們在想象正多面體的時候，腦海里便浮現出畢達哥拉斯、柏拉圖、歐幾里得、笛卡兒、開普勒、伽羅瓦、埃舍爾、帕喬利、達芬奇、達利等一長串偉大人物的名字．

自古以來，正多面體在學校數學教育中亦具有不可低估的價值．正多面體作為特殊的多面體是幾何學從二維空間過渡到三維空間的重要內容，對于剛剛接觸空間幾何體的學生來講，自然是一個適宜的橋梁．它們不僅幫助學生更容易地從平面過渡到三維空間，還能夠激發學生學習數學的興趣和探索數學奧秘的熱情．這些都可以從它們的歷史發展脈絡以及各國教科書中的呈現得以表征．

2 正多面體歷史概述

人類最初通過礦物結晶的形狀了解到了正四面體、正六面體、正八面體和近似的正十二面體，而人工制作的正十二面體，是在二千幾百年前埃特利亞(意大利中部的古國)遺物中以青銅器的形狀出現．近幾十年人們發現很多散射蟲的結構呈現出正多面體的形狀．而且有一種病毒的結構呈現出了正二十面體的形狀，晶體硼(B12)的結構單元也正是正二十面體，如圖1．

圖1

對于三維空間內只有五種正多面體的歷史可以追溯到古希臘時期．據說此時埃及人已經知道了正四面體、正六面體和正八面體．畢達哥拉斯定理、無理數的發現者、萬物皆數思想的倡導者古希臘哲學家、數學家、天文學家畢達哥拉斯(Pythagoras,BC580-500)及其學派已研究得出正多面體只有五種的結論，如圖2，即由全等的正三角形生成的正四面體、正八面體和正二十面體以及由全等的正方形生成的正六面體、由全等的正五邊形生成的正十二面體．而由其它全等的正多邊形是不能生成正多面體的．并且他們認為五種正多面體除正十二面體以外的四種分別構成宇宙的四要素，即火、土、氣和水．而正十二面體可以認為是牽強的與宇宙相關聯在一起．

圖2

進一步發展這種正多面體宇宙觀的是古希臘哲學家和教育家柏拉圖(Plato，公元前427-347)．柏拉圖在其《蒂邁歐篇》中詳細討論了在理智的宇宙結構中正多面體扮演的角色[注]柏拉圖.柏拉圖全集第三卷[M].王曉朝，譯.北京:人民出版社，2003：265.．他設想宇宙起始只有兩種三角形，一種是底角為45°角的等腰直角三角形，一種是底角分別為30°和60°角的直角三角形，由這兩種三角形就可構成四種正多面體，它們分別對應構成宇宙五種微粒中的四種．火微粒是正四面體，氣微粒是正八面體，水微粒是正二十面體，土微粒是正六面體，而正十二面體則構成第五種元素，柏拉圖稱其為精英[注][英]斯蒂芬·F·梅森.自然科學史[M].上海：上海譯文出版社，1980:27.．正多面體也因此被稱為柏拉圖多面體或柏拉圖立體．

而與柏拉圖同時期的古希臘數學家泰阿泰德(Theatetus，具體生卒年不詳)被一般認為是第一個證明了只存在五種正多面體的人．其證明的依據是構成一個立體角的所有角之和要小于360°．

繼泰阿泰德之后的集古希臘古典數學之大成者——歐幾里得(Euclid,公元前330-260)，他著成了世界數學史上第一個數學公理體系著作《幾何原本》，其第13卷18個命題以嚴謹的演繹推理，詳細論述了正多面體相關問題．

圖3

16世紀被譽為“天空立法者”的約翰·開普勒(Johann Kepler，1571-1630)將正多面體的研究從古希臘時期帶入了近代．開普勒從歐幾里得《幾何原本》中了解到，每一個正多面體都可以完美地內接在一個球體中．于是在他《宇宙的奧秘》一書中記載著他對柏拉圖多面體與六大行星運行軌道間和諧關系的驚喜發現．如圖3，即若土星運行軌道在正六面體的外接球上，那么木星的運行軌道就在正六面體的內切球上．然后在正六面體內切球內，內接一個正四面體，那么正四面體的內切球就是火星的運行軌道．依此方法就得到從外到內的這樣一個順序：土星→正六面體→木星→正四面體→火星→正十二面體→地球→正二十面體→金星→正八面體→水星，最中心是太陽．

而此時法國哲學家、數學家勒內·笛卡兒(René Descartes，1596-1650)正在探尋能將正多面體統一描述的永恒真理．他通過研究五種正多面體頂點的數量、面的數量和邊的數量間的關系，最終得出了v-e+f=2，其中v為頂點數，e為邊數，f為面數，笛卡兒終于解開了它們的神秘面紗，而且這個公式可以適用于所有多面體．遺憾的是，最后出于對宗教的忌憚，笛卡兒并沒有將這個重要發現公諸于世[注]AMIR D.ACZEL.DESCARTES’ SECRET NOTEBOOK[M].NEW YORK:Broadway Books,2005:227.．我們今天知道這個公式被稱為歐拉公式．在笛卡兒之后，德國數學家、物理學家歐拉(Euler,1707-1783)也獨自發現了一般多面體意義下的這個公式，流傳至今．

19世紀后半期開始了在四維以上空間內研究正多面體，在期刊“American Journal of Mathematics”創刊號(1879年)上刊登著一篇重要文章，它介紹了四維空間中正多面體有六種，星形正多面體有十種等重要發現．

正多面體不僅在幾何學中有重要地位，在代數學中也扮演著重要角色．如代數中的重要內容——群，其中五次對稱群分解的一個特殊群Ⅰ與正二十面體有著相對應的旋轉對稱性，而這個特殊群“Ⅰ”正是取自正二十面體英文單詞“icosahedron”的首字母．[注][日]大栗博司.用數學的語言看世界[M].尤斌斌，譯.北京：人民郵電出版社，2017：227.

3 數學教科書中的正多面體

正多面體歷史悠久，這也使它承載著豐富的教育內容，蘊含著深刻的教育價值．而教科書是直接反映正多面體重要教育價值的載體．教科書是人類一代一代傳承知識與智慧的基本工具．在歷史上的幾何學教科書中正多面體也占據著一席之地．

3.1 歷史上數學教科書中正多面體簡述

歐幾里得《幾何原本》這部偉大著作也是毫無變動地被使用了兩千多年的教科書．正如前文所言，其第13卷中的18個命題全部圍繞正多面體相關問題敘述．其中命題13-17分別論述了五種正多面體的作圖問題，主要通過在球內建立正多面體，而該卷最后一個命題也是整部《幾何原本》465個命題中的最后一個命題，命題18證明了只存在五種正多面體．顯然這是一個完美的收尾．

在18、19世紀西方教育改革中大大簡化了《幾何原本》內容，之后如雨后春筍般地出現了新的幾何學教科書．即使是在新幾何教科書中，正多面體亦有不同程度的體現．

1888年美國GEORGE WENTWORTH和DAVID EUGENE SMITH所著的教科書《PLANE AND SOLID GEOMETRY》在先介紹了多面體概念后給出正多面體定義，即一個多面體的面是連續的正多邊形，且它的多面角相等，這樣的多面體叫做正多面體．接著進一步介紹只有五種正多面體的證明，并探究如何用平面圖形(展開圖)制作正多面體．

1920年美國HERBERT E.HAWKES、WILLIAM A.LUBY和FRANK C.TOUTON所著的教科書《PLANE AND SOLID GEOMETRY》中給出的正多面體定義是：“一個凸多面體，如果它的面都是全等正多邊形，且它的多面角都是全等的，那么它就是正多面體．”其后給出只有五種正多面體的解釋．

1903年英國H.S.HALL和F.H.STEVENS所著的教科書《A SCHOOL GEOMETRY》中并沒有明確給出正多面體的定義，而是在介紹歐拉公式之后，引出只有五種正多面體的證明，并結合展開圖進行介紹．

呂乃剛先生譯，張奠宙先生作序的1998年俄羅斯數學教科書《直觀幾何》有專門一節內容介紹正多面體．通過考察五種正多面體的形狀特征給出正多面體概念性的描述，即每一個正多面體的所有面都是相同的正多邊形，在每一個頂點集聚著同樣數量的棱，而相鄰的面在相等角下毗連．然后對五個正多面體的頂點、邊和面間的數量關系進行討論，探究出歐拉公式，而后探討其展開圖及制作過程．

2003年美國Michael Serra所著的教科書《Discovering Geometry》(《發現幾何》)第十章第三節棱錐體和圓錐體的“探索”欄目在簡單介紹正多面體歷史的基礎上提出如何制作五種正多面體的問題．

2009年中國香港TW Wong和WS Wong所著的數學教科書《New Century Mathematics》首先在初三之前立體圖形的學習中，將正多面體及其制作過程作為特殊情況予以介紹，最后在初三階段進行總結歸納，由五種正多面體探究出歐拉公式．并對正多面體的歷史，包括柏拉圖、歐拉公式等進行了簡要介紹．

1985年臺灣師范大學科學教育中心主編的教科書《高級中學基礎數學統合上冊》，在共四章中有一章專門討論多面體問題，而該章三節內容分別是多面體、歐拉公式和正多面體．不僅明確給出了多面體及其面、棱、頂點、多面角和正多面體的概念，對只存在五種正多面體進行了證明，還對我們可以不加證明即可使用的歐拉公式進行了詳細的證明．所以，無論是從正多面體所占教科書內容的比重來講，還是從教科書對正多面體內容的呈現方式來看，都體現著臺灣對正多面體內容的重視程度之大，也充分反映著正多面體所具有的教育價值．

不難想象，各國中小學數學教科書中與正多面體相關的內容不勝枚舉，這里不再一一列舉．

3.2 外國數學教科書中正多面體內容個案——日本教科書中的正多面體

由歷史上數學教科書中的正多面體內容可知，正多面體內容越來越受到人們的重視，尤其是美國、日本等發達國家的中小學數學教科書中正多面體內容更加豐富．這里作為個案，重點介紹日本現行數學教科書中正多面體內容設置情況．

日本中小學數學教育十分重視正多面體相關內容的學習，大多以作圖、剪紙和拼圖、制作模型等實踐活動來實現學習任務．日本現行啟林館數學教科書對正多面體內容在中小學都有呈現，知識講解較為系統，涉及內容較為全面．

日本小學數學教科書并沒有直接給出正多面體的概念，多數是基礎的立體幾何內容，如感知并認識正方體、長方體和球等立體圖形，通過探究正方體、其他柱體和椎體展開圖，以及探究“平行四邊形可以做什么”等活動初步了解多面體圖形，這里并沒有上升到談及多面體或正多面體的概念．事實上，正方體就是正六面體，因此小學正方體的學習也為以后正多面體的學習埋下伏筆．

在初中《數學1》“各種各樣的立體”設置了柱體、錐體等多面體圖形后引入多面體的概念，即用一些平面包圍的立體叫做多面體，且根據其平面的數量，分為四面體、五面體、六面體……．在下面的“數學展望臺”中介紹了正多面體，給出：“在多面體中，所有面都是正多邊形，聚集在一個頂點的面的數量也相等且沒有凹陷的叫做正多面體．”并指出早在2000年以前人們就已經知道了正多面體只有五種．

從這里也直接鏈接到“數學廣場：考察一下正多面體吧”，首先給出了五種正多面體及其透視圖與展開圖，接下來是五個問題：“①把267頁的展開圖組裝起來，制作正二十面體吧，如圖4；②正四面體一個頂點有幾個正三角形聚集在一起？正八面體、正二十面體呢？③在一個頂點周圍，有六個正三角形聚集在一起的正多面體嗎，為什么？④在求正十二面體邊的數量和頂點的數量時，下面的先生和女士給出如下做法，如圖5，請說明他們的想法．考察一下五種正多面體的面的形狀，頂點、邊和面的數量吧，完成如圖6的表格；⑤通過上述表格，求以下五種正多面體‘頂點數-邊數+面數’的值吧，你發現什么了？”對于⑤問旁邊有個提示，“對于⑤所考慮的值所蘊含的規律，瑞士數學家歐拉已經發現，認識一下歐拉吧．”這樣，便自然地與數學史知識相遇了.

高中在《數學A》“空間圖形”當中再次給出了多面體的定義，即由幾個多邊形圍成的空間圖形叫做多面體．并具體指出，構成多面體的多邊形叫做多面體的面，面的頂點、邊也叫做多面體的頂點、邊，不在同一面內的兩個頂點所連線段叫做多面體的對角線，以及多面體由它的面數決定它的名稱，如四面體、六面體等．下面首先給出了凸多面體的定義，即在多面體中，面上的兩個頂點所連線段在多面體內部的叫做凸多面體．在凸多面體定義的基礎上給出正多面體的定義，即在凸多面體中，各個面是完全相同的正多邊形，各頂點所聚集的面數、邊數都相等的叫做正多面體.

圖4

圖5

圖6

接下來給出了歐拉的多面體定理，即v-e+f=2,v為頂點數，e為邊數，f為面數．要求學生探究、感受并確定其定理的成立．在“Colum”欄目介紹了“正多面體的立體”．“Colum”欄目就是設置與本節內容相關聯的話題．具體介紹內容如下：如圖7，試著將正六面體通過各邊中點進行切割，考慮留下的立體圖形．它的頂點數為12，邊數為24，面數為14，于是可以使得歐拉多面體定理成立．這個圖形是由8個正三角形和6個正方形構成的，被稱為立方八面體.

圖7

在緊隨其后的“研究”欄目中對只有五種正多面體進行了如下解釋．

正多面體存在的兩個必要條件：

①聚集在一個頂點的面數為3個以上；

②頂點處多邊形的內角和要小于360°．

根據①、②具體到正多面體的面也就是正多邊形，它的內角要小于120°，而構成正多面體的正多邊形就只有正三角形、正四邊形和正五邊形三種．

(1)當正多面體的面為正三角形時,

正三角形的一個內角為60°，根據條件②一個頂點聚集的面數是3、4、5中的任意一個．1條邊是兩個面的交線．(其中v為頂點數，e為邊數，f為面數．)

A.當一個頂點聚集的面數是3時，如圖8，

圖8

因為v=3f÷3，e=3f÷2，

v-e+f=2

所以f=4.

即得正四面體.

B.當一個頂點聚集的面數是4時,如圖9，

圖9

因為v=3f÷4，e=3f÷2，

v-e+f=2

所以f=8.

即得正八面體.

C.當一個頂點聚集的面數是5時,如圖10，

圖10

因為v=3f÷5，e=3f÷2，

v-e+f=2

所以f=20.

即得正二十面體.

(2)當正多面體的面為正四邊形時,

正四邊形的一個內角為90°，根據條件②一個頂點聚集的面數只能是3．與(1)同理可得f=6，即得正六面體.

(3)當正多面體的面為正五邊形時,

正五邊形的一個內角為108°，根據條件②一個頂點聚集的面數只能是3．與(1)同理可得f=12，即得正十二面體.

在教科書末尾設置的“課題學習”中也安排了正八面體的動手制作課題六項：①將1邊長為5cm的正八面體展開圖組裝起來，然后尋找相互平行的面吧；②把課題1制作好的正八面體一面放置水平臺上，然后畫出它的透視圖；③若正八面體的邊長為1，則求出課題2所畫圖形的面積．接下來是考察正八面體與正四面體的關系：④將1邊長為5cm的正四面體展開圖組裝起來，嘗試能否把它裝進課題1制作的正八面體中，如圖11．另外，將正四面體像課題2中正八面體那樣放置，對它們的高度進行比較吧；⑤將1邊長為10cm的正四面體展開圖組裝起來，嘗試能否把課題1制作的正八面體裝進正四面體中．另外，試著考慮正四面體體積是正八面體體積的幾倍；⑥像課題1、課題4、課題5那樣，也可以做其它各種各樣的立體，調查它們的性質并進行比較．

圖11

在《數學活用》當中設置一節為“正多面體的作法”，清晰、詳細地呈現了通過折紙制作成的五種正多面體的作法，如圖12，展示的是正四面體的制作過程，其它具體內容這里不再贅述．

圖12

小學正多面體的學習主要是一種直觀的、簡單的對長方體、正方體的學習，目的是為培養學生空間感，從而建立空間想象，為以后正多面體的學習做好扎實的鋪墊．初中在認識了很多立體圖形的基礎上介紹多面體，其定義“用一些平面包圍的立體”直觀易懂但不甚嚴謹，同樣也給出了正多面體的定義，這些也是初中“立體幾何”作為一種實驗幾何的體現．并通過融入數學史料闡明正多面體只有五種，然后在“數學廣場”部分對五種正多面體及其透視圖與展開圖進行考察，通過五個問題培養學生動手操作能力、分析問題能力和邏輯推理能力，對于這些問題并沒有給出答案，而是再次通過數學史料給學生以尋找答案的線索．

高中對多面體及其面、頂點、邊和對角線都給出了明確定義，隨后在給出凸多面體定義的基礎上給出了正多面體的嚴格定義．接下來出現了歐拉的多面體定理，并在“Colum”欄目講述了立方八面體，從這里也說明了正多面體滿足歐拉多面體定理，但滿足歐拉多面體定理的多面體不一定是正多面體．此外，這里也滲透了另一個數學史知識，即阿基米德多面體[注]阿基米德多面體：相對于每種柏拉圖多面體的面都是同樣的，古代科學巨匠阿基米德(Archimedes,BC287-212)發現的13種多面體的面是兩類或多類不同的多邊形，其環繞著多面體每一個頂點按照一定次序出現．實際上也可以將阿基米德多面體理解為是把柏拉圖多面體的頂點截掉或對柏拉圖多面體進行擴展或推扭得到的，即從柏拉圖多面體演化而來．，立方八面體就是從柏拉圖多面體演化而來的阿基米德多面體的一種．在“研究”欄目也給出了正多面體存在的兩個必要條件及只有五種正多面體的證明，且從證明方法上來看，正是畢達哥拉斯思想和泰阿泰德證明方法有機結合的體現．高中正多面體的內容是對初中正多面體內容的深化和延伸，也可以看成是對初中“數學廣場”內容的回應．而教科書末尾設置的“課題學習”中也安排了動手制作課題六項，《數學活用》中通過折紙完成正多面體的制作，這些開放性欄目都是為學生動手操作能力和創造性思維的培養而設置的．

從整體上看，日本小學、初中再到高中的正多面體內容抓住了學生的階段性特點，合理安排知識的呈現方式，其實秉承的則是知識間有效銜接的理念．

4 正多面體的教育價值

事實上，上述日本教科書個案已經很好地展現了正多面體的教育價值．

正多面體的學習有助于學生對數學史的了解．在今天學習正多面體內容時仍然可以學習到很多歷史知識．例如歐拉公式，偉大數學家笛卡兒和歐拉獨立得出的永恒真理，讓我們在了解數學史的同時也體驗畢達哥拉斯、柏拉圖、歐幾里得、笛卡兒、歐拉等偉大數學家們孜孜不倦、追求探索的精神．柏拉圖和開普勒的數學化的宇宙觀也讓我們感受到數學的奧秘．

正多面體的學習有助于學生認識到數學與其他學科間的關聯性．數學作為自然科學的工具，描述自然科學的語言，定然不會獨立存在．從正多面體的歷史可以看到，它的發展伴隨著天文學的發展、哲學的追問以及人類思想的進步．除此之外，正多面體也應用在很多美術、建筑、工藝等藝術作品中，如我們常見的骰子、魔方、黃金比例結構等．

正多面體的學習有助于發展學生對數學學習的系統性和完整性．正多面體雖然是空間立體圖形，但它不一定就是要在高中才具體學習．日本中小學數學教科書中對正多面體知識的呈現就較好地體現了知識的螺旋上升和遞進發展．這種有效銜接使得學生對知識的掌握更加系統和完整．

正多面體的學習有助于培養學生的數學核心素養．正多面體本就是特殊的多面體，而由正多面體探索出的一般規律“歐拉公式”，又是從特殊到一般的推理，這對學生邏輯推理能力的培養大有裨益．而在推理中較多的運算過程對數學運算能力也是一種培養．正多面體的展開圖是三維到二維的轉化，正多面體的制作以及作圖又是二維到三維的發展，這些都有助于對學生直觀想象能力的培養．

圖13

正多面體的學習有助于對學生動手能力、開放性思維的培養．正多面體內容中有著豐富的動手實踐價值．《幾何原本》中全面嚴謹的正多面體作圖方法、美國、香港教科書中正多面體的動手制作以及日本教科書中正多面體嵌套的復雜制作等，都已表明人們自古以來便注意到正多面體作圖及制作對學生動手能力和開放性思維培養的重要性．而在制作正多面體時也涉及到重要的黃金分割比．如圖13，y∶x=1.618……的矩形,3張上述的矩形即構成正二十面體．(注：本文通訊作者代欽教授在日本學習和工作期間，東海大學平野葉一教授團隊開發中小學數學校本課程時，用黃金比例矩形制作正二十面體，并給代欽教授展示，提供了具體材料．)而且學生在動手的同時更能深刻感受到數學的對稱美、和諧美以及“數學神奇”、“數學好玩”．

正多面體的學習有助于對學生數學學習興趣的培養．無論是從數學史的角度還是動手操作“數學好玩”的角度，都能夠激發學生對數學學習的興趣，感受在本以為冷冰冰的公式背后有著太多有意思、有意義的故事．

5 結語

正多面體教育價值的重要性不言而喻，今天只是簡要的一瞥，正像日本著名數學家一松信所說：“僅僅詳細論述正多面體的歷史，就能寫成一本書”．[注][日]一松信.正多面體を解く[M].東京：東海大學出版會，1983：24.正多面體在以自然為源頭的時間長河中，流淌在古希臘哲學、天文學、數學、建筑、藝術等學科之中，它更多的價值亟待我們探索和重視．要知道這些并不是我們創造的，有時發現比創造更為重要．可以看到，美國、英國、日本、俄羅斯、中國香港等地的數學教科書中的正多面體，都是以知識為主，采用不同設計形式，為學生能很好地掌握正多面體的知識、發展學生動手操作能力、培養學生創造性思維而呈現．遺憾的是，目前尚未在中國大陸現行數學教科書中發現正多面體的內容．而在過去中學數學教科書中有不少正多面體的內容，如1961年人民教育出版社出版的《高級中學課本立體幾何》(暫用本)第二章第四節中有正多面體概念和對只存在五種正多面體的討論．這也是一個值得商榷的問題．由于正多面體的相關內容豐富，在以后的研究中繼續探討．