點幾何的教育價值

張景中 彭翕成

(1.華中師范大學(xué)國家數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)研究中心 430079； 2.廣州大學(xué)計算科技研究院 510006)

1 爭論從來都不斷

初等幾何在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有著比較重要的地位.但如何處理這一內(nèi)容，則存在不同看法.這些觀點對于我們進一步認(rèn)識初等幾何，有一定的啟發(fā)意義.

吳文俊先生認(rèn)為[1]，“中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)代化是指機械化，而歐幾里得體系排除了數(shù)量關(guān)系，純粹在形式間經(jīng)過公理、定理來進行邏輯推理，或者把數(shù)量關(guān)系歸之于空間形式，這是非機械化的.中學(xué)應(yīng)該趕快離開歐幾里得，歐氏幾何讓位于解析幾何.”吳先生的這一觀點獲得不少支持.因為歐氏幾何的主要工具是全等、相似三角形，構(gòu)造全等、相似三角形則常常需要費盡心思構(gòu)造千變?nèi)f化的輔助線，而花大力氣掌握各種輔助線的技巧，對將來進一步的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)好像并沒有太大的幫助.解析幾何則使得數(shù)形結(jié)合更加緊密,用代數(shù)方法處理幾何問題,思路清晰,有章可循,可操作性強.

王申懷先生則認(rèn)為[2]，平面幾何與解析幾何的最大區(qū)別在于對幾何圖形研究所采取的方法不同，這兩種方法可以互相補充，互相協(xié)調(diào)，它們對學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練作用并非完全相同.因此歐氏幾何讓位于解析幾何的行動要慎重考慮.

當(dāng)然還有其他的一些處理方式.譬如我們曾提出面積法體系[3]，這一體系被評論[4]為“有助于解決幾何中一題一證的難點，但由于該體系的基礎(chǔ)和表述方式與現(xiàn)有教材存在差異，影響了普及.目前更多的是為初等數(shù)學(xué)研究者，特別是數(shù)學(xué)競賽研究者所掌握”.還有觀點認(rèn)為幾何主要研究不變量，應(yīng)以變換思想來處理，但也有人表示質(zhì)疑[5]，認(rèn)為在中學(xué)不宜過多強調(diào)幾何變換.

如果我們把目光放得更遠(yuǎn)一點，就會發(fā)現(xiàn)類似的爭論早已有之.解析幾何創(chuàng)立之后，支持者眾，但也有不同看法，認(rèn)為解析幾何雖在某些方面勝于歐氏幾何，但有時計算繁瑣,顯得笨拙，且大量的計算都沒有明顯的幾何意義，希望尋求能夠更直接處理幾何問題的代數(shù)方法.

萊布尼茨曾提出一個問題[6]：能否直接對幾何對象作計算？他希望通過固定的法則去建立一個方便計算或操作的符號體系,并由此演繹出用符號表達(dá)的事物的正確命題.他認(rèn)為理想中的幾何應(yīng)該同時具有分析和綜合的特點,而不像歐幾里得幾何與笛卡爾幾何那樣分別只具有綜合的與分析的特點.他希望有一種幾何計算方法可以直接處理幾何對象(點、線、面等),而不是笛卡爾引入的一串?dāng)?shù)字.他設(shè)想能有一種代數(shù),它是如此接近于幾何本身,以至于其中的每個表達(dá)式都有明確的幾何解釋：或者表示幾何對象,或者表示它們之間的幾何關(guān)系；這些表達(dá)式之間的代數(shù)運算,例如加、減、乘、除等,都能對應(yīng)于幾何變換.如果存在這樣一種代數(shù),它可以被恰當(dāng)?shù)胤Q為“幾何代數(shù)”,它的元素即被稱為“幾何數(shù)”.

沿著這一方向,數(shù)學(xué)家們開辟了“幾何代數(shù)”的領(lǐng)域,孜孜不倦地尋求可能的合理的幾何代數(shù)結(jié)構(gòu),試圖實現(xiàn)萊布尼茨之夢.向量幾何可看作是對萊布尼茨問題的初步回答.向量之間能進行加減運算,還可以進行內(nèi)外積,且運算式都有明顯的幾何意義,有時利用向量處理幾何問題也很方便[7].在向量幾何之后，數(shù)學(xué)家們建立了更復(fù)雜的幾何代數(shù)結(jié)構(gòu)，此處略[6].

項武義先生認(rèn)為[8]，自古到今,幾何學(xué)的研究在方法論上大體可以劃分成下述四個階段：(1)實驗幾何:用歸納實驗去發(fā)現(xiàn)空間之本質(zhì)；(2)推理幾何:以實驗幾何之所得為基礎(chǔ),改用演繹法以邏輯推理去探索新知,并對于已知的各種各樣空間本質(zhì),精益求精地作系統(tǒng)化和深刻的分析；(3)坐標(biāo)解析幾何:通過坐標(biāo)系的建立,把幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)簡明有力地結(jié)合起來,開創(chuàng)了近代數(shù)學(xué)的先河；(4)向量幾何:向量幾何是不依賴于坐標(biāo)系的解析幾何，本質(zhì)上是解析幾何的返璞歸真.

向量幾何提出之后，也不斷有專家提出新的想法.譬如莫紹揆先生認(rèn)為，自線性代數(shù)興起以來，直接從向量本身的性質(zhì)(它可以說是幾何性質(zhì))來處理問題，可以利用代數(shù)方法的長處，而處處符合幾何直覺，有幾何直覺的幫助.因此現(xiàn)在使用線性代數(shù)來討論幾何問題是大勢所趨，無法阻擋.為克服向量幾何的某些缺點且保持其優(yōu)勢,莫先生提出了更具物理意義的質(zhì)點幾何的理論和方法[9].他指出,向量本質(zhì)上是幾何變換,不是最基本的幾何對象,因而希望建立以點為基礎(chǔ)的幾何代數(shù)體系.他借用力學(xué)的“質(zhì)點”概念,把幾何中的點看作是有位置無大小但有質(zhì)量的東西,根據(jù)力學(xué)定律來對質(zhì)點定義加法運算,然后以此為基礎(chǔ)來研究幾何.這種方法能對點直接進行運算,而且運算方便,運算表達(dá)式具有明顯幾何意義.

點常被認(rèn)為是幾何中最基本元素.點動成線，線動成面，面動成體，其他幾何元素都可以由點擴展生成.因此希望建立以點為基本研究對象的幾何體系也是很自然的想法.向量涉及兩點，且自由向量可以在空間任意平移.為了簡便以及排除不確定性，可在空間取定點O,稱為原點,然后規(guī)定所有向量的始點都是原點,這樣的向量稱為位置向量，兩個位置向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的終點重合，每個位置向量的終點與空間的點是一一對應(yīng)的.

我們在糅合向量幾何、重心坐標(biāo)、質(zhì)點幾何等體系的基礎(chǔ)上，初步建構(gòu)了點幾何綱要[10]，其中包括了點的加法、數(shù)乘、兩個點的內(nèi)積、外積、三個點的外積及復(fù)數(shù)乘點等點幾何中的基本概念，導(dǎo)出了近20條有關(guān)點運算的基本性質(zhì)或基本公式，旨在建立一種幾何代數(shù)系統(tǒng)，能夠兼有坐標(biāo)方法、向量方法和質(zhì)點幾何方法三者的長處而避免其缺點.本文將進一步闡述點幾何在幾何教學(xué)中的獨特魅力，并輔以案例證明.

2 知識表示大不同

數(shù)學(xué)知識，特別是作為數(shù)學(xué)教育內(nèi)容的基礎(chǔ)知識，是客觀世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的反映.同樣的空間形式，同樣的數(shù)量關(guān)系，可以用不同的數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)體系來反映，正如從不同的角度給一頭大象拍照一樣，會得到十分不一樣的照片，但它總是這一頭象.只是有的反映方式便于學(xué)習(xí)、掌握、理解、記憶，有的則不然.不同的反映方式，盡管都是客觀世界的正確反映，但教育的效果卻會大不相同.譬如羅馬數(shù)字的算術(shù)和阿拉伯?dāng)?shù)字的算術(shù)，盡管算題時得出同樣的結(jié)果，但在教育效果上的差別是顯而易見的.

因此，為了數(shù)學(xué)教育的目的，我們應(yīng)當(dāng)用“批判”的眼光審視已有的數(shù)學(xué)知識.這里的批判，當(dāng)然不是懷疑這些數(shù)學(xué)知識的正確性，而是檢查它在教育上的適用性.我們要用系統(tǒng)科學(xué)的現(xiàn)點，聯(lián)系著前后左右的教學(xué)，聯(lián)系著學(xué)生的心理特征與年齡特征，看一看，問一問，哪種反映方式較優(yōu)？能不能找到更優(yōu)或最優(yōu)的反映方式.

為了認(rèn)識空間圖形的性質(zhì)，我們可以學(xué)歐氏的《幾何原本》，可以學(xué)“解析幾何”或“三角學(xué)”，可以學(xué)“質(zhì)點幾何”，也可以學(xué)“向量幾何”，甚至還可以創(chuàng)造新的幾何體系.哪種方案能更快更好地完成這一階段數(shù)學(xué)教育的任務(wù)呢？這需要我們仔細(xì)考察.

以中點為例加以說明.怎么表示點C是線段AB的中點？方法很多.

文字描述：點C是線段AB的中點.

圖形描述(圖1)：

圖1

歐氏幾何描述：

AC

=

CB

.但不要漏掉：

A

、

B

、

C

共線，否則只能說明點

C

在線段

AB

的中垂線上.

圖2

兩次使用中位線定理，可推出重心定理：

上述表示方式敘述簡潔，推理清楚，且有明顯的幾何意義，適合在教學(xué)中使用.對比學(xué)術(shù)著作中的表述，兩者天淵之別.在人工智能的經(jīng)典著作《初等代數(shù)和幾何的判定法》(A.塔爾斯基，J.C.C.麥克鏗賽著)中有三角形重心定理的敘述，僅僅是敘述，還不包括證明.

(Ax)(Ay)(Az)(Ax′)(Ay′)(Az′){[～B(x,y,z)∧～B(y,z,x)∧～B(z,x,y)∧B(x,y′,z)∧B(y,z′,x)∧B(z,x′,y)∧D(x,z′;z′,y)∧D(y,x′;x′,z)∧D(z,y′;y′,x)]→(EG)[B(x,G,x′)∧B(y,G,y′)∧B(z,G,z′)]}

解釋：任意六點x,y,z,x′,y′,z′，滿足y不在x，z之間，z不在y，x之間，x不在z，y之間，(即x，y，z三點不共線)，且y′在x，z之間，z′在y，x之間，x′在z，y之間，且xz′=z′y，yx′=x′z，zy′=y′x，則存在點G，且G在x，x′之間，G在y，y′之間，G在z，z′之間.B(x,y,z)讀作y在x和z中間，D(x,y;x′,y′)讀作x到y(tǒng)的距離等于x′到y(tǒng)′的距離.

這種表達(dá)，像在初等代數(shù)的形式系統(tǒng)中一樣，從原子公式經(jīng)過使用否定詞、合取詞、析取詞和量詞構(gòu)造出公式.通過這樣形式化的表述，初等幾何的語句即表達(dá)關(guān)于點的某個事實以及點與點之間的某種關(guān)系.

3 更多案例分析

在具體的解題實踐中，我們發(fā)現(xiàn)，點幾何不僅符合數(shù)學(xué)直觀，能更方便地表達(dá)基本幾何事實，而且有助于幾何推理的簡捷化.

AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2，

即AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2

?A+C=B+D,

即(B-A)2+(C-B)2+(D-C)2+(A-D)2-(C-A)2-(D-B)2=(A-B+C-D)2=0.

看似是代數(shù)變形，卻對應(yīng)著幾何性質(zhì).這正是我們希望實現(xiàn)的將幾何對象點當(dāng)成數(shù)來計算.數(shù)與形進一步融合,正如希爾伯特所說：代數(shù)符號是書寫的圖形,幾何圖形是圖像化的公式.

例1內(nèi)心定理：△ABC中，AD、BE、CF是三角平分線，求證三線交于一點.

說明：此處用到角平分線比例定理.

例2垂心定理：△ABC中，若AH⊥BC，BH⊥CA，求證：CH⊥AB.

常規(guī)向量解答：

恒等式：(A-B)·(H-C)+(B-C)·(H-A)+(C-A)·(H-B)=0.

圖3

圖4

而這是顯然成立的.因此得到另一種的向量解法：

例3外心定理：△ABC中，若點O在AB、BC的中垂線上，則點O在CA的中垂線上.

恒等式：

例2、例3兩個恒等式中，其任意兩部分為0，則第三部分必為0.

例4外心定理和垂心定理的相互轉(zhuǎn)化.

如圖5，傳統(tǒng)證明中，要證△ABC的三高共點H，有時轉(zhuǎn)化為證△DEF的三中垂線共點， 其中

四邊形CABD、ABCE、BCAF是平行四邊形.基于點幾何的恒等式變形，是顯然的.

由D=B+C-A、E=A+C-B、F=A+B-C得

?2(B-A)·(H-C)+2(C-B)·(H-A)+

2(A-C)·(H-B)=0.

圖5

例5歐拉線定理：△ABC中，外心O、垂心H、重心G三點共線.

根據(jù)垂心、外心的性質(zhì)，

(A-B)·(H-C)=0，

(A-B)·(2O-(A+B))=0，

兩式相加得(A-B)·(H+2O-(A+B+C))=0，

同理(B-C)·(H+2O-(A+B+C))=0，

(C-A)·(H+2O-(A+B+C))=0，

由于H+2O-(A+B+C)不能同時與三邊垂直，

所以只能是H+2O-(A+B+C)=0，

若設(shè)A+B+C=3G，則H+2O=3G.

說明H、O、G三點共線，且HG=2GO.

4 結(jié)語

點幾何、質(zhì)點幾何、向量幾何都是幾何的數(shù)學(xué)表示,本質(zhì)上互通.作為3種幾何語言,可以互譯.如果規(guī)定從原點出發(fā)的向量叫點,向量幾何就可以轉(zhuǎn)化為點幾何.如果規(guī)定兩點差為向量,點幾何就可以轉(zhuǎn)化為向量幾何.點幾何最大的優(yōu)勢,在于用少量符號忠實地描繪幾何事實,從而減少人的思維勞動.與向量幾何、質(zhì)點幾何相比,點幾何更簡明,幾何意義更豐富,表達(dá)力更強，數(shù)形結(jié)合融為一體.在點幾何解題實踐中，我們還發(fā)現(xiàn)了一種恒等式方法，目前已編程實現(xiàn)，通過驗證600余道有難度的幾何題(其中相當(dāng)部分是競賽題)，該方法效率高，可讀性強，且能發(fā)現(xiàn)新的幾何命題.關(guān)于點幾何解題應(yīng)用，我們將另文介紹.