挖掘數(shù)理“圓”形畢露

王新星

[摘? ?要]有些題目在題面中沒有直接給出圓方面的信息，要通過分析和轉化，自行挖掘圓（或圓的方程），最終利用圓的知識來求解，我們稱這類問題為“隱形圓”問題.研究“隱形圓”問題的解題策略，可以提高學生的能力.

[關鍵詞]隱形圓;挖掘;策略

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）05-0029-02

有些題目在題面中沒有直接給出圓方面的信息，要通過分析和轉化，自行挖掘圓（或圓的方程），最終利用圓的知識來求解，我們稱這類問題為“隱形圓”問題.該類問題的難點是如何快速破解題意，找到圓（或圓的方程），一旦難點突破，解題勢如破竹.筆者通過研究考題發(fā)現(xiàn)，找“隱形圓”可從“數(shù)”的角度（求出其方程）來發(fā)現(xiàn).下面筆者介紹幾種解決此類問題的策略.

策略一：直接由圓的方程確定隱形圓

[例1]已知實數(shù)a，b，c滿足[a2+b2=c2]，[c≠0]，則[ba-2c]的取值范圍為__________.

【解】方法一： 令[ac=x]，[bc=y]，則原題轉化為實數(shù)x、y滿足[x2+y2=1]，求[yx-2]的取值范圍，歸結為以原點為圓心的單位圓上的動點M[（x，y）]與定點[P（2，0）]（如圖1）的斜率的取值范圍.

方法二： 令[a=ccosθ]，[b=csinθ]，原題轉化為求[sinθcosθ-2]的取值范圍，而動點[（cosθ，sinθ）]在以原點為圓心的單位圓上，以下同方法一.

評析：本題的本質(zhì)是題設給出的勾股數(shù)的模型實際上是圓隱含其中.兩種方法各有優(yōu)缺，可以自行進行比較.

策略二：直接由圓的參數(shù)方程確定隱形圓

[例2]已知[θ，t∈R]，則[（cosθ-t-2）2+（sinθ-t+2）2]的取值范圍是__________.

【解】? 點[P（cosθ，sinθ）]在以原點為圓心的單位圓上，[Q（t+2，t-2）]在直線[x-y-4=0]上（如圖2），轉化為圓上的動點與直線上的動點的距離的平方的取值范圍，圓心到直線的距離為[22].因此，圓上的動點與直線上的動點的距離的最小值為[22-1]，其平方為[9-42].此類雙動點問題，實際上需要學生對兩點的軌跡都要能夠自行發(fā)現(xiàn)，具有一定的隱蔽性.

策略三：動點P對兩定點A、B張角是[90°]（[kPA?kPB=-1]或[PA?PB=]0）確定隱形圓

[例3]在平面直角坐標系xOy中，已知點[A（-4，0） ，B（0，4）]，從直線[AB]上一點向圓[x2+y2=4]引兩條切線[PC、PD]，切點分別為[C、D].設線段[CD]的中點為[M]，則線段[AM]長的最大值為? ? ? ? ? .

【解】方法一（利用策略三）：因為直線[AB]的方程為[y=x+4]，所以可設[P（a，a+4）]，則直線[CD]的方程為[ax+（a+4）y=4]，即[a（x+y）=4-4y]，所以直線[CD]過定點[N（-1，1）]，又因為[OM⊥CD]，所以點[M]在以[ON]為直徑的圓上（除去原點），又因為以[ON]為直徑的圓的方程[x+122+y-122=12 ]， 所以[AM]的最大值為[32].

方法二（利用消參思想）：因為直線[AB]的方程為[y=x+4]，所以可設[P（a，a+4）]，則直線[CD]的方程為[ax+（a+4）y=4]，即[a（x+y）=4-4y]，得[a=4-4yx+y].

又因為[O]、[P]、 [M]三點共線，所以[ay-（a+4）x=0]得[a=4xy-x].

因為[a=4-4yx+y=4xy-x]，所以[x+122+y-122=12]（除去原點），所以[AM]的最大值為[32].

策略四：由兩定點A、B，動點P滿足[PA?PB=λ]（[λ]是常數(shù)），求出動點P的軌跡方程確定隱形圓

[例4]如圖3，已知圓[C：（x-3）2+（y-4）2=1]和兩點[A（-m，0） ，B（m，0） ][（m>0）].若圓C上存在點P，使得[PA?PB=1]，則m的取值范圍是__________.

【解】設點[P（x，y）]，滿足[PA?PB=1]，得[x2+y2=1+m2]，這是一個圓的方程，從而轉化為兩圓有公共點，得[1+m2-1≤5≤1+m2+1]，解得m的取值范圍是[[15，35]].

評析：本題可以從[PA?PB=0]推廣到[PA?PB=λ]，發(fā)現(xiàn)此時的點P在以AB為直徑的圓上.假如學生大腦中沒有這一模型，用求軌跡的一般思路來處理，也同樣可以得解.

策略五：由兩定點A、B，動點P滿足[PA2+PB2]是定值確定隱形圓

[例5]在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：（x - a）2+（y-a+2）2=1，點A（0，2），若圓C上存在點M，滿足MA2+MO2 =10，則實數(shù)a的取值范圍是__________.

【解】如圖4，設M（x，y），由MA2 + MO2 =10，A（0，2），得x2+（y -1）2 = 4，而M 又在圓C：（x - a）2 + （y - a + 2）2 =1上，故它們有公共點，則1≤ a2+（a-3）2 ≤ 9，解得實數(shù)a的取值范圍是[0，3].

評析：該問題與題型一有形式上的相似之處，如果學生大腦中具備這一模型，問題就不難得到解決.

策略六：由兩定點A、B，動點P滿足[PAPB=λ（λ>0，λ≠1）]確定隱形圓（阿波羅尼斯圓）

[例6]已知圓[C：（x-1）2+y2=1]，點[D（3，0）]，過動點[P]作圓[C]的切線，切點為[Q]，若[PD=2PQ]，則[△PCD]面積的最大值為 .

【解】設[P（x，y）]，因為[PD=2PQ]，所以[PD2=][2PQ2]，又[PQ2=PC2-1]，所以[（x-3）2+y2=2（x-1）2+y2-1]，求得[P]的軌跡為[（x+1）2+y2=10]，故易得[△PCD]面積的最大值為[10].

評析：此類問題是典型的阿波羅尼斯圓問題，需要學生對題目順藤摸瓜，最終有效解決問題.

在教學中，如何教會學生轉化數(shù)學語言非常重要.代數(shù)語言就是抽象的符號語言和文字語言的結合，幾何語言是存在于人意識中的直觀圖形.掌握代數(shù)語言和幾何語言的對應轉化方法，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，可以優(yōu)化解題過程.本文通過“隱形圓”這一幾何圖形的挖掘，讓學生初步掌握代數(shù)模型轉化成幾何問題的一般思路.相信通過以上幾種策略的學習，學生會發(fā)現(xiàn)這類題目往往沒有直接給出有關圓方面的信息，但通過分析和轉化，最終都可以利用圓的知識求解.這類題構思巧妙，綜合性強，往往有“不識廬山真面目，只緣身在此山中”之感，但是當撥開題面后，又會有“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”之嘆！

（責任編輯 黃桂堅）