高中數學中恒成立問題的探究

吳丹丹

高中數學中的恒成立問題，涉及諸多數學知識和思想方法，如與函數、方程、導數不等式等進行綜合，涉及換元、化歸、數形結合、函數與方程的思想方法，此類問題有利于提升學生的綜合解題能力，對培養學生思維的靈活性和深刻性有顯著作用.因此，歷年來是高考命題的熱點.如何更好地解決這類問題？以下歸納幾種常用方法.

一、數形結合法

把所求問題，進行合理變形后，在同一坐標系中畫出函數圖像，利用圖像的位置關系，直觀得出結論，這種“以形助數”的方法，有時很有效.

【典型例1】已知函數f（x）=x（lnx+32），g（x）=a3x3+x（a∈R），若g（x）≥f（x）恒成立，求a的取值范圍.

評點：在表達式較為復雜的情況下，可以考慮通過構造函數，然后根據這個函數在指定區間上的性質（單調性、極值、最值、區間端點值）得到關于參數的一個不等式或等式，再求解.

評點：利用導數研究恒成立問題，將函數、不等式結合起來，能提高學生解決問題的能力，是一類重要的題型.在解題過程中大致可分為三種類型：一是轉化為二次函數恒成立；二是轉化為常見函數的性質；三是分離變量.縱觀每年高考題中的恒成立問題，往往提問方式多樣，考生在審題時會出現“當局者迷”的現象，若能用上述幾種方法考慮，就能起到事半功倍效果.

評點：數列與不等式綜合的恒成立問題，能有效鍛煉學生的邏輯思維能力和靈活應用數學知識分析、解決問題的能力，體現了轉化思想和分類討論的思想.

以上求解方法并不是孤立的，它們相互聯系，相互滲透，求解這類問題的核心是轉化與化歸的數學思想，即將問題情境化為解不等式問題，應用時要依據條件，進行綜合，靈活選用.

（責任編輯 黃春香）

高中數學中的恒成立問題，涉及諸多數學知識和思想方法，如與函數、方程、導數不等式等進行綜合，涉及換元、化歸、數形結合、函數與方程的思想方法，此類問題有利于提升學生的綜合解題能力，對培養學生思維的靈活性和深刻性有顯著作用.因此，歷年來是高考命題的熱點.如何更好地解決這類問題？以下歸納幾種常用方法.

一、數形結合法

把所求問題，進行合理變形后，在同一坐標系中畫出函數圖像，利用圖像的位置關系，直觀得出結論，這種“以形助數”的方法，有時很有效.

【典型例1】已知函數f（x）=x（lnx+32），g（x）=a3x3+x（a∈R），若g（x）≥f（x）恒成立，求a的取值范圍.

評點：在表達式較為復雜的情況下，可以考慮通過構造函數，然后根據這個函數在指定區間上的性質（單調性、極值、最值、區間端點值）得到關于參數的一個不等式或等式，再求解.

評點：利用導數研究恒成立問題，將函數、不等式結合起來，能提高學生解決問題的能力，是一類重要的題型.在解題過程中大致可分為三種類型：一是轉化為二次函數恒成立；二是轉化為常見函數的性質；三是分離變量.縱觀每年高考題中的恒成立問題，往往提問方式多樣，考生在審題時會出現“當局者迷”的現象，若能用上述幾種方法考慮，就能起到事半功倍效果.

評點：數列與不等式綜合的恒成立問題，能有效鍛煉學生的邏輯思維能力和靈活應用數學知識分析、解決問題的能力，體現了轉化思想和分類討論的思想.

以上求解方法并不是孤立的，它們相互聯系，相互滲透，求解這類問題的核心是轉化與化歸的數學思想，即將問題情境化為解不等式問題，應用時要依據條件，進行綜合，靈活選用.

（責任編輯 黃春香）

高中數學中的恒成立問題，涉及諸多數學知識和思想方法，如與函數、方程、導數不等式等進行綜合，涉及換元、化歸、數形結合、函數與方程的思想方法，此類問題有利于提升學生的綜合解題能力，對培養學生思維的靈活性和深刻性有顯著作用.因此，歷年來是高考命題的熱點.如何更好地解決這類問題？以下歸納幾種常用方法.

一、數形結合法

把所求問題，進行合理變形后，在同一坐標系中畫出函數圖像，利用圖像的位置關系，直觀得出結論，這種“以形助數”的方法，有時很有效.

【典型例1】已知函數f（x）=x（lnx+32），g（x）=a3x3+x（a∈R），若g（x）≥f（x）恒成立，求a的取值范圍.

評點：在表達式較為復雜的情況下，可以考慮通過構造函數，然后根據這個函數在指定區間上的性質（單調性、極值、最值、區間端點值）得到關于參數的一個不等式或等式，再求解.

評點：利用導數研究恒成立問題，將函數、不等式結合起來，能提高學生解決問題的能力，是一類重要的題型.在解題過程中大致可分為三種類型：一是轉化為二次函數恒成立；二是轉化為常見函數的性質；三是分離變量.縱觀每年高考題中的恒成立問題，往往提問方式多樣，考生在審題時會出現“當局者迷”的現象，若能用上述幾種方法考慮，就能起到事半功倍效果.

評點：數列與不等式綜合的恒成立問題，能有效鍛煉學生的邏輯思維能力和靈活應用數學知識分析、解決問題的能力，體現了轉化思想和分類討論的思想.

以上求解方法并不是孤立的，它們相互聯系，相互滲透，求解這類問題的核心是轉化與化歸的數學思想，即將問題情境化為解不等式問題，應用時要依據條件，進行綜合，靈活選用.

（責任編輯 黃春香）