高中數學中數列通項與求和若干方法探討

摘 要：隨著社會的發展、時代的進步教育越來越引起人們的重視，而作為教育學段中尤為重要的高中階段就更是如此。那么在高中階段中作為其重要組成部分的數學教育除了備受人們關注以外，對之在高中數學里占有特別位置的數列也聚集了更多的目光。高中的數列學習有著承上啟下的關鍵作用，不僅在高中數學中占據著重要地位而且與大學數學也有緊密聯系，與其他數學知識例如不等式、積分、微分、函數、極限、級數、方程等等都有著緊密關系，在數列中還滲透著很多數學基本技能和數學思想。基于此，本文在調查的基礎上分析了高中數學中數列通項與求和若干方法探討，以此來供相關人士交流參考。

關鍵詞：高中數學;數列;通項與求和;方法探討

高考是目前我國選拔人才的一種主要方式，而數列的通項和求和是每年高考數學中的必考考點，由此可以看出其在高中數學中的重要地位。數列的通項與求和難度大，且并不只有一種方法，其解題運用的技巧性強且比較靈活，這就需要學生也要有一個靈活的思維方式，活用知識。掌握數列通項公式和求和這種在高考中占有一定比例題目的解法對其高考是十分有益的。在我國目前的高中數學教材書上大部分常見的數列有兩種，一種是等比數列，另一種是等差數列，但除此之外還有其他類型的數列存在，數列的形式是比較復雜多變的。筆者接下來就高中數學中數列通項與求和的若干方法做一下探討。

一、 求得數列的通項公式的幾種常見方法

（一） 觀察法

在我們看到數列題目時，要想求得數列的通項公式時就必須要仔細觀察。尤其是已經給出數列的前面幾項時，我們就必須要認真觀察這幾項數列的排列規律，從而發現通項公式，如這樣一組數列：3、6、9、12、15，我們通過觀察這些給出的數列就可以得出這組數列的通項公式為an=3n。但是觀察方法只適合比較簡單的排列組合，若是比較復雜的都不可能一眼就看出通項公式，但觀察法可以為其指明一定的方向。

（二） 公式法

當看到數列是等差或等比數列時，且題目中給出數列的前n項和的表達式Sn，那么我們就可以直接套用等差或等比數列的通項公式Sn-Sn-1，但我們需要注意的是n必須要大于或等于2，這樣通項公式才能成立。當碰到n小于2時的數列時就需要用到分段求解的方法了，因此再碰到這類數列時一定要注意n的取值范圍。例如在某一年的高考數學題中就有這樣一道題：數列{an}為等差數列，且a2=0，a6+a8=-10，求數列{an}的通項公式。這種直接點明等差或等比數列的類型題可以直接套用公式。

（三） 疊算法

當我們看到一道數列題，題目中給出了數列任何相鄰兩項之間的關系式，我們就可以直接根據這個關系式進行運算。比如an+1=an+f（n），可以將題中的轉換成n+1或者n-1，接著和原式進行加減消去an+1這樣就可以得出an，這種方法就叫做疊加法。若題目中提到它們相除得到的值f（n），所用的方法和上述一樣，不過最后用的是乘法，這種方法叫做疊乘法。這兩種方法都屬于疊算法。

（四） 構造法

數列是比較復雜多變的，有的數列題目即使給出了數列相鄰兩項之間的關系式，也不適用疊加或疊乘的方法;這時我們就需要靈活的運用我們所學到的知識對題目進行改變，使其變成我們可以直接套用關系式的數列例如等差數列或者等比數列，從而進行運算。若不能變成等差數列我們就可以添上一些數字或式子使其變成新的數列，這種方法就叫做構造法。

二、 高中數學中數列求和的幾種方法

（一） 拆項法

當我們看到數列題目中所給的數列若直接是等比數列或者等差數列那么就可以直接套用公式計算。若不是可以將其拆成它們的和，我們還可以直接運用拆項法來解決問題，直接套用等比或等差數列的求和公式就可以，要將其中的式子作為一個整體來看待。這種求和的方法叫做拆分法。

（二） 裂項相消法

若數列題目中給出的數列通項公式已經被算出來，并且這個數列中的每一項都可以分裂為兩項的差，那么這個時候就可以消除中間的項，從而求出和的公式，這種方法就叫做裂項消除法。運用這種方法的關鍵是需要寫出數列的通項公式，并且要明確怎樣分裂。

（三） 錯位相減法

當數列題目中給出的數列的通項公式中冪的次數很高或者冪之前的常數也不確定時，這時我們可以采用錯位相減法，比如說將原式中的n變成n-1將得到的式子和原式進行加減得到Sn和Sn-1，最后可以得出Sn。但在這種時候需要尤其注意n的取值范圍，要考慮其式子是否有意義，再選擇這種方式進行運算。

（四） 奇偶數討論方法

由于數列的復雜性，在我們計算有些數列時除了需要分段之外，還需要考慮到數列存在奇數和偶數兩種不同的情況，我們需要考慮到不同的情況將其綜合起來，不能只考慮一種方面。當碰到這種與奇偶數相關的數列問題時，我們要看其指數冪，當冪為n-1或者n+1時，n為偶數時，冪就為奇數，相反來說當n為奇數時，冪就是偶數。

三、 結束語

高中數列作為數學學習中的基礎部分，對于學生來說是比較重要和并且是有一定的難度的，因此教師要時時刻刻反思在教學中存在的問題，并不斷地去改進，讓學生喜歡并樂于主動的去學習數學數列，但是教師也不能止步于此，還應該在未來的教育發展過程中不斷摸索出更多的方式來培養學生數列通項與求和的若干方法，從而提高做題的效率，培養數學思維。

參考文獻：

[1]李蘭.高中數學“數列”單元的教學設計[J].考試周刊，2018（93）：73.

[2]曹亦成.數列知識學習中如何快速掌握重點[J].農家參謀，2018（19）：188.

[3]肖翼.數列學習的幾點體會和建議[J].智富時代，2018（9）：232.

作者簡介：

楊勇，河南省平頂山市，平頂山市第三高級中學。