識別動力減振鏜桿主系統等效參數的數學計算方法

何 苗， 孫蓓蓓

(東南大學 機械工程學院，南京 211189)

深孔鏜削加工時鏜桿的懸伸量較大，鏜桿長徑比越大剛度越低，越容易產生切削顫振，所以深孔加工一直是機械加工的難題，也是國內外學者研究的熱點。動力減振鏜桿是在鏜桿內部空腔放置一個有阻尼動力吸振器，可以有效地減少切削顫振，提高加工精度。為了設計減振鏜桿，必須建立其動力學模型，需要識別出等效質量和等效剛度，從而把連續體實際結構等效為理想的集中參數模型。所以鏜桿主系統的等效參數準確與否，直接關系到鏜桿內部的動力吸振器的動力參數設計。

目前，動力減振鏜桿的研究大多集中于吸振器參數優化設計[1-5]、顫振抑制機理[6]、吸振器工程實現[7]、動力學特性[8-10]等。Sims針對切削顫振提出一種吸振器的解析調優策略，Miguelez等基于Sims調優策略，給出了鏜削過程中最佳調諧頻率的新解析表達式，并提出了吸振器頻率比和阻尼比的經驗擬合表達式，羅紅波等利用幅頻響應曲線面積最小法來修正全局尋優搜索法求得的設計參數值從而得到一組最優參數值。Henrik等研究了夾緊性能對鏜桿動態特性的影響，Sortin等提出一種基于有限元梁和經驗的鏜刀系統混合動力模型，Moetakef-Imani等給出了鏜削過程的動力學仿真方法。

識別動力學模型的等效參數研究不多，大多將等效參數作為已知條件， Miguelez、Rubio等和Houck III等將鏜桿模型作為等截面梁進行研究。實際減振鏜桿結構(見圖1)內部有一長段空腔用于安裝動力吸振器，鏜桿主系統橫截面是不等的。何山等[11]提出的基于正交多項式法的動力吸振器安裝點的等效質量識別方法，需要測得動力吸振器安裝點的原點頻響函數，并用正交多項式進行擬合，對于減振鏜桿這類結構較簡單的主系統，識別過程較復雜?？傊壳皠恿p振鏜桿等效模型的等效參數識別都是通過實驗和仿真的方法，效率低，傳統質量感應法識別過程復雜，識別精度低。特別是當鏜桿的尺寸、結構、材料等發生改變時，必須重新建模仿真或實驗，費時費力，本文提出一種新的識別動力減振鏜桿主系統等效參數的計算方法，可以快速計算出鏜桿主系統參數，其計算結果比等截面鏜桿計算結果更準確，效率和精度相比傳統方法提高。

本文將大長徑比的鏜桿看做懸臂梁，由于橫截面不等，目前廣泛應用的均質梁的求解公式不再適用，而且等截面懸臂梁的等效質量計算公式也不適用于非自由端等效點的等效質量計算。所以本文根據減振鏜桿橫截面明顯的分段特點，提出了基于歐拉—伯努利梁理論和分段連續條件的方法求解主系統的固有頻率和固有振型函數，再根據最大動能不變原則，推導出了主系統等效質量的求解公式，由此可求解出鏜桿主系統所有等效參數。數值仿真結果表明，此計算方法比將鏜桿作為等截面梁計算更為準確，可準確地計算出動力減振鏜桿的主系統參數，從而提高動力減振鏜桿設計效率，同時適用于其他不等截面梁等效參數的求解。

1 動力減振鏜桿模型

動力減振鏜桿的結構簡圖如圖1所示。從圖1中可以看出，鏜刀桿體、車刀轉接頭和車刀構成主系統，鏜桿內部的振芯、橡膠圈和阻尼油構成了動力吸振器的質量m、剛度k和阻尼c系統，為了設計動力吸振器系統，需要根據吸振器的安裝位置對主系統進行動力學等效，從而得到主系統的等效參數。忽略主系統阻尼，動力減振鏜桿的等效模型如圖2所示。其中，M和K即為主系統的等效質量和等效剛度，m，k和c是吸振器的設計參數。

圖1 減振鏜桿結構簡圖Fig.1 Dynamic damping boring bar

2Euler-Bernoulli經典梁理論求解鏜桿彎曲模態

動力減振鏜桿在實際加工中為橫向振動，由于其長徑比大，所以可以使用Euler-Bernoulli經典梁理論進行計算。根據Euler-Bernoulli梁理論，等截面梁自由振動的運動方程為

圖2 動力減振鏜桿等效模型Fig.2 Dynamic damping boring bar equivalent model

(1)

求解運動方程式(1)，利用分離變量法，即令y(x,t)=Y(x)T(t)

可得等截面懸臂梁的固有振型函數為

Y(x)=Acos(βx)+Bsin(βx)+
Ccosh(βx)+Dsinh(βx)

(2)

由圖1可以看出，鏜桿作為非等截面懸臂梁進行計算時，可以根據其橫截面不同，分為三段，每段長度用li表示，彎曲剛度和線密度用EIi和ρAi表示(i=1,2,3)。在刀具裝夾端建立坐標系，如圖3所示，xE為振芯質心位置即吸振器安裝位置，也是鏜桿主系統的等效點位置。每段連接處的連續條件為位移、轉角、彎矩和剪力連續。

圖3 刀桿分段坐標系Fig.3 Boring bar segmented coordinate system

根據Euler-Bernoulli梁理論，減振鏜桿主系統的振型函數Y(x)可以分段表示為

(3)

其中，

(4)

將待定系數用矩陣形式表示，即C(i)=[AiBiCiDi]T(i=1,2,3)，則振型函數可以用矩陣形式表示為

Yi(x)=[cos(βiXi) sin(βiXi) cosh(βiXi) sinh(βiXi)]

(5)

根據分段連續條件，即第i段與第i+1段在連接點xi處位移、轉角、彎矩和剪力均連續，可得

Yi(xi)=Yi+1(xi)

(6a)

(6b)

(6c)

EIiY?i(xi)=EIi+1Y?i+1(xi)

(6d)

將振型函數表達式(5)代入連續條件中(式6(a)～式6(d))，整理可得振型函數的待定常數遞推公式為

(7)

其中，矩陣A(i)和Q(i+1)為

(8)

(9)

所以，引入遞推系數矩陣Z(i)，可得遞推公式為C(i+1)=Z(i)C(i)

(10)

根據懸臂梁固定端和自由端的邊界條件，即固定端位移和轉角為0，自由端彎矩和剪力為0，可得

(11a)

(11b)

將振型函數表達式(5)代入邊界條件中(式(11a)和式(11b)，計算可得

則可得

PC(1)=0

(12a)

QC(3)=0

(12b)

由式(10)的待定系數遞推公式可得，C(3)=Z(2)Z(1)C(1)，代入式(12b)，可得

QZ(2)Z(1)C(1)=0

(13)

(14)

欲使式(14)有非零解，則其系數矩陣Γ的行列式必等于零，由此可得刀桿橫向振動的特征方程為

det(Γ)=0

(15)

特征方程式(15)只有一個未知量，即ω，求解此方程可得ωn(n=1,2,3,…)，對應鏜桿主系統的第n階固有頻率。

將所求的固有頻率ωn代入線性方程組式(14)中，可求出該階模態的振型函數待定系數A1，B1，C1，D1，再代入式(10)，得到第二段和第三段的待定系數，從而得到整個刀桿的振型函數。

3 鏜桿主系統等效質量和等效剛度的計算

在上一節中，由經典梁理論分段連續原理，已經求出了鏜桿橫向振動的固有頻率和振型函數，根據最大動能等效原則，可計算出鏜桿主系統的等效質量。

等效前鏜桿最大動能為

(16)

代入上節所求的鏜桿的分段連續振型函數，可得

(17)

等效后，鏜桿單自由度系統的最大動能為

(18)

式中：xE為吸振器安裝位置，即等效點位置。對比等效前后的最大動能表達式(17)和式(18)，等效前后的最大動能保持不變，所以等效后的等效質量為

(19)

等效剛度可由等效質量與固有頻率推算得出，所以鏜桿主系統的等效剛度為

K=Mω2

(20)

4 減振鏜桿等效參數計算實例與結果驗證

為驗證本文提出的計算方法，以直徑32 mm長徑比為10的動力減振鏜桿為例，該減振鏜桿的基本材料參數、結構尺寸參數，如表1所示，其中分段位置和內徑參數均參考圖3所示的分段坐標系。

表1 動力減振鏜桿參數

在該鏜桿的刀頭處施加掃頻激勵，測得鏜桿的頻率響應曲線，如圖4所示，由響應曲線可看出，減振鏜桿在第一階頻率處振動幅值最大，所以減振考慮鏜桿的第一階模態，即以下計算結果對應鏜桿的第一階模態。

將上節所推導的計算公式，通過MATLAB編程進行計算，計算流程如圖5所示。只要輸入減振鏜桿的基本結構參數，即可計算出該減振鏜桿主系統的固有頻率、等效質量和等效剛度。輸入表1中的鏜桿參數，計算結果如表2所示。

根據圖4所示的鏜桿頻率響應曲線可得，掃頻實驗方法所測得的鏜桿固有頻率為266.67 Hz，而本文提

出的數學方法計算所得固有頻率為268.62 Hz，相比掃頻實驗結果，相差0.73%，說明本文提出的數學計算方法是準確的。

圖4 鏜桿頻率響應曲線Fig.4 Frequency response of boring bar

圖5 MATLAB計算流程Fig.5 Calculation scheme of MATLAB

數學方法計算結果仿真方法計算結果結果相差率固有頻率/Hz268.62268.760.05等效質量/kg0.876 40.881 40.57等效剛度/(N·mm-1)2 496.62 513.40.67

用ABAQUS軟件對減振鏜桿主系統進行有限元仿真，首先由模態仿真得到主系統的一階彎曲模態固有頻率為268.76 Hz，結果云圖如圖6所示。

圖6 有限元仿真結果云圖Fig.6 Simulation results nephogram

根據質量感應法[12]，在等效位置處增加一定質量，再根據增加質量后固有頻率的變化，求解出鏜桿主系統的等效質量。Δm為增加的附加質量，Ω為原系統固有頻率，ω為增加附加質量后系統固有頻率。

(21)

在鏜桿等效位置設置一個RF參考點，并指定附加質量為0.2 kg，添加附加質量后鏜桿模態發生變化，附加質量后主系統的一階彎曲模態固有頻率為242.64 Hz。質量感應法計算結果如表2所示，由表2可以看出，仿真計算結果與本文提出的數學計算結果相比，固有頻率僅相差0.05%，等效質量相差0.57%，等效剛度相差0.67%，說明本文提出的數學計算方法是準確的。

為了對比將減振鏜桿作為非等截面梁和等截面梁的計算精度，本文對鏜桿截面進行以下兩種處理，并與本文提出的非等截面數學計算結果進行比較，驗證將鏜桿作為非等截面計算的必要性。

第一種等截面方法為將內徑按長度加權平均，即截面大小為

外徑D不變

第二種等截面方法為將截面積和慣性矩按長度加權平均，即截面大小為

此動力減振鏜桿主系統等效參數按照等截面計算的結果如表3所示?？梢钥闯鰧p振鏜桿作為等截面計算與非等截面計算結果相差較大，說明將減振鏜桿作為非等截面計算十分必要。

表3 等截面方法計算對結果的影響

5 結 論

本文針對采用實驗和仿真的傳統等效參數識別方法效率不高的問題，提出了一種新的識別動力減振鏜桿主系統參數的簡便高效的數學計算方法，通過仿真驗證了所提出方法的有效性。主要結論如下：

(1)新的數學計算方法在建立鏜桿固有模態數學模型的基礎上，通過數值方法識別出動力減振鏜桿主系統的等效參數，為動力減振鏜桿吸振器參數優化設計奠定了基礎。

(2)根據新的數學計算方法編制計算機軟件，只需更改幾個簡單尺寸參數，即可計算出不同型號、不同設計尺寸的減振鏜桿主系統的等效參數，提高了動力減振鏜桿的設計效率。

(3)本文所提出的數學方法可直接獲得等效參數，而有限元方法還需聯合應用質量感應法；而且，當減振鏜桿尺寸型號變化后有限元法仍需重復前處理和求解計算及質量感應法的過程，所需時間遠遠大于本文所提出的數學方法。

(4)將鏜桿視為非等截面梁比作為等截面梁計算更為準確，而且此計算方法簡單易行，也可適用于其他機械結構不等截面梁的等效參數計算。