基于應變模態參數的結構瞬態載荷識別方法研究

周 玙， 劉 莉， 周思達， 王大宇， 邵玉佩

(北京理工大學 宇航學院 飛行器動力學與控制教育部重點實驗室，北京 100081)

飛行器結構在飛行或運輸過程中經常會受到瞬態載荷的作用。對實際工作過程中所受載荷進行識別，將為飛行器結構的優化、故障評估、壽命預測提供基礎。然而，在實際工程中，往往載荷無法通過傳感器直接測得，如：測點不可達、載荷作用點較多，以及涉及流固耦合時。而一般情況下，結構的動響應是較為容易得到的。因此，通過載荷識別方法確定載荷具有較高的實用價值。

載荷識別屬于結構動力學的第二類反問題。在識別瞬態載荷時時域法具有較大優勢，國內外許多專家學者對此做過許多研究：周晚林[1]通過有限元逆分析和人工神經網路相結合的綜合方法對智能結構的沖擊載荷進行識別；蔡元奇[2]通過假設載荷形式為二次函數利用Duhamel積分式推導出了時域非遞推載荷識別模型；嚴剛等[3]應用遺傳算法對復合材料沖擊載荷的識別進行了研究。劉杰[4]通過求解核函數矩陣對載荷進行識別并研究了其正則化方法；毛伯永等[5]提出了基于瞬態統計能量分析理論的沖擊載荷識別方法，識別除了載荷作用位置和輸入能量；張磊等[6]在總體最小二乘法基礎 進行Tikhonov正則化后利用共軛梯度法求最優解對載荷進行識別；張方等[7]利用廣義正交多項式作為形函數推導了基于時間有限元的動載荷識別模型，該方法尤其適用于瞬態載荷的識別。Xu等[8]提出一種根據不完全測量信息的自適應迭代最小二乘法對載荷和參數進行識別。朱斯巖等[9]通過頻域修正時域載荷識別結果，并應用于實際工程。

目前，載荷識別主要基于位移響應和加速度響應。然而，對于運行中的飛行器而言，由于傳感器安裝、排線等約束，用于振動測量的加速度計十分有限，且多普勒激光測振儀(速度)幾乎不可能，因此給其載荷辨識帶來很大困難。

最近，光纖光柵應用的興起，提供了輕量、串聯復用、抗干擾的結構動應變響應測試途徑式。然而，應變響應和結構載荷之間關系并不直接，需通過應變與位移間的關系間接建立。應變到位移是一個空間積分過程，在實際過程中測點數量有限，積分結果誤差很大。目前結構位移模態和應變模態的識別方法都有一些成熟的方法，許多學者也推導了應變模態和位移模態的關系[10-12]。本文主要圍繞基于應變響應的沖載荷識別進行研究，綜合利用結構的位移模態和應變模態參數實現應變到位移的轉換避免空間積分，穩定、精確地通過應變反求出了位移響應，進而實現了基于應變響應的識別。

1 基于位移響應的載荷識別

描述多自由度振動系統的方程為

(1)

令Φn×m為系統質量歸一化后的振型矩陣，同時假設阻尼為比例阻尼。

根據振型疊加原理

xn×1=Φn×mqm×1

(2)

式中：q為模態振型坐標，代表各振型在振動系統的貢獻度。

將式(2)代入式(1)得

(3)

(4)

得到第j振型坐標下的振動方程

(5)

(6)

將式(6)代入式(2)可得在時刻的動響應

(7)

進一步可得

(8)

令

式(8)可改寫為

(9)

由于振型坐標下的響應無法直接獲得，需要將物理坐標下的位移響應轉換到振型坐標下，根據式(2)可得

(10)

(11)

將式(10)代入式(9)可得

(12)

整理得

(13)

(14)

速度信息仍由位移響應采用五點差分得到

(15)

2 基于應變響應的載荷識別

應變響應相較于位移響應對載荷更加敏感，在識別瞬態載荷時識別精度更高。同時應變的測量也比位移測量簡便。若利用應變響應進行載荷識別，需建立載荷到應變的關系。一般來說，兩者通過位移相聯系，應變到位移是一個積分過程，實際工程中測點有限，無法通過應變積分得到位移。

本文的基本思路是：通過試驗或有限元數值仿真得到結構的位移模態和應變模態，找到應變和位移的關系，實現應變到位移的轉換。

設彈性結構的變形位移分別為u，v和w，根據模態疊加原理得

(16)

(17)

(18)

式中：qr為時間和頻率的函數，它代表的是各階模態在結構變形中所占的比例，與坐標無關，因此?qr/?x=0。當然，根據上述推導方式，還可以推導出εy，εz以及γxy，γyz，γxz等表達式。

在三維空間中，設位移向量為x=[uvw]T，則位移模態為

(19)

根據彈性力學基本原理，應變與位移之間的關系為

(20)

式中：εx，εy和εz為正應變，剪應變為γxy=αyx+αxy，γyz=αzy+αyz，γzx=αxz+αzx。

根據模態疊加原理，得到應變張量響應表達式

(21)

考慮到利用應變計或FBG傳感器測量結構應變時，通常只能測量結構正應變，因此，只考慮正應變時，則有

(22)

通過比較式(22)和式(19)可以發現，位移響應和應變響應擁有相同的模態坐標qr，因此，對于同一階模態對應的振型，位移響應與應變響應具有相同的貢獻度。

位移響應和應變響應擁有相同的模態坐標，因此有

(23)

(24)

(25)

式中：ψ和Φ分別為結構的應變模態和位移模態；Qε和Qx分別為應變模態坐標和位移模態坐標，可由最小二乘法解得模態坐標

(26)

由于Qε=Qx，所以得出

(ψTψ)-1ψT·ε=(ΦTΦ)-1ΦT·x

令Sε=(ψTψ)-1ψT，Sx=(ψTΦ)-1ΦT

Sεε=Sxx

(27)

根據最小二乘法可得應變到位移的轉換關系

x=ΦSεε

(28)

為了緩解求逆過程時的矩陣病態，對方程進行正則化，引入正則化矩陣β，令Sε,β=(ψTψ+β)-1ψT得

x=ΦSε,βε

(29)

當以應變響應作為識別依據的時候，根據位移應變關系得

(30)

值得注意的是在應變-位移轉換過程中，必須保證應變測點nε,d≥m，從而保證式(28)在正定或超定條件下求解。

3 正則化方法及參數選取

一般在對式(14)和式(28)進行求解的時候采用傳統的最小二乘法就可直接求解。但是當系統矩陣條件數太大時，系統矩陣病態，會導致反求結果失真。此時需要采用正則化方法來緩解模型的不適定性。

本文參考文獻[13]采用的是擴展Tikhonov方法。以一個一般的線性系統為例

AX=Y

(31)

(32)

(33)

正則化參數λ是平衡正則解的穩定性和精度的重要因素，λ過大精度低，過小則不穩定。

確定正則化參數在噪聲水平未知的情況下一般有L曲線法和廣義交叉驗證準則，但是在實際應用時，L曲線常出現曲線不明顯，參數不好選擇的情況。所以本文采用廣義交叉驗證準則選取。其形式為

(34)

值得注意的一點就是若其中A是一維向量時，則采用廣義交叉驗證準則確定的正則化參數始終為0，即此時正則化方法無效，此時需要濾波等手段提高系統的魯棒性。

本文在對式(14)和式(28)進行正則化時均采用上述方法。

4 海洋衛星的沖擊載荷識別

為了對所述方法的正確性性和數值特性進行論證，本文根據文獻[14]建立了海洋一號(HY-1)衛星的有限元模型，并嘗試對它進行載荷辨識。

模型結構材料都采用碳纖維蜂窩復合材料(除了對接環)，各板之間采用剛性連接，電子設備采用非結構質量模擬，太陽能帆板采用集中質量模擬。

如圖1所示在衛星的側板施加單點瞬態載荷，載荷形式為

F=2 000sin(π/0.002t),t≤0.02 s

采用有限元軟件Nastran得到衛星的位移模態和應變模態以及動力學響應，測量的位移為各節點上的位移，測量的應變為各單元中心。

圖1 海洋衛星有限元模型Fig.1 Oceanic satellite finite element model

4.1 基于位移響應的識別

工況描述：模擬衛星在軌時受沖擊情況，衛星受到一個垂直于板面的鋸齒波載荷作用(單點激勵)，載荷作用時間0.04 s，模型不受約束。

單點激勵時，式(14)中的FI只有一個奇異值，矩陣條件數為1，矩陣呈良態，無需正則化，令α=0。

從圖2可以看出，在測量響應中無噪聲時，所建立的載荷識別模型能夠很好地對所作用的沖擊載荷進行識別。

從圖3可以看出絕對誤差在開始階段會出現一個極大值，然后迅速穩定在某一水平上。開始時誤差產生極大值的原因是：采用五點差分格式導致速度從第三點開始計算，而前兩點是通過直接線性插值，速度誤差較大。由于是非遞推關系，所以此誤差不存在積累，識別結果的精度在起始幾點后仍得到保證。誤差方向相反大小相等是由于識別模型假設時間步長內載荷不變，所以一直存在一個與斜率相關的誤差，載荷斜率方向改變所以誤差方向也隨之改變，用更高階的多項式來近似時間步長內的載荷可以減小該誤差。

圖2 無噪聲識別結果Fig.2 No noise recognition results

圖3 無噪聲時識別絕對誤差Fig.3 Absolute error of no noise recognition

4.2 基于應變響應的識別

整個模型共4 786個節點，選取150個單元中心的應變值作為測點數據，選取包含載荷作用點在內的50個節點的位移模態信息進行識別。

矩陣ψ的條件數為204.635 9遠大于1，矩陣病態需要引入正則化參數λ。

從圖4可以看出所述的應變位移轉化關系能夠在極小的誤差范圍內將應變響應轉化為位移響應。

圖4 無噪聲正則化時轉化過程絕對誤差Fig.4 Absolute error of conversion without noise and regularization

從圖5中可以看出當測量的響應信號中存在噪聲干擾時，由于矩陣的病態會導致結果誤差較大，影響了識別結果精度。所以需要引入正則化對噪聲進行抑制，采用n=3的擴展Tikhonov正則化再根據廣義交叉驗證準則確定正則化參數為0.334 8，結果如圖5所示。

對轉換關系式進行正則化后，圖6顯示誤差穩定在了一個很小的范圍內，沒有出現失真現象，即通過應變響應的識別結果與直接通過位移響應的識別結果基本一致，識別精度都很高。

圖5 信噪比20 dB未則化時轉化絕對誤差Fig.5 Relative error of conversion with 20 dB signal-noise ratio without regularization

圖6 信噪比20 dB正則化后轉化絕對誤差Fig.6 Relative error of conversion with 20 dB signal-noise ratio with regularization

圖7 無噪聲時基于應變響應的識別結果Fig.7 Noise-free identification result based on strain response

從圖8可以看出識別結果嚴重失真主要原因有兩個：

(1)速度采用差分得到，會引入高頻干擾，雖然在對應變—位移的轉換過程進行正則化后會降低噪聲的干擾，但是速度差分后會重新引入高頻噪聲。

(2)單點激勵時式(30)中FI的只有一個奇異值，本例中FI的奇異值為5.743 9×10-9,由奇異值分解理論得

(35)

由于奇異值很小導致噪聲誤差被放大導致結果失真。

圖8 信噪比20 dB時識別結果Fig.8 Result with regularization when signal-noise ratio is 20 dB

單點激勵時，小奇異值引起的誤差由于只有一個奇異值無法通過正則化減小，只有減小響應中的噪聲誤差err項。減小響應中的噪聲誤差只有引入濾波，本文采用八階的最小二乘平滑濾波對由應變轉換得到的位移響應進行濾波后進行識別結果，如圖9所示。

圖9 信噪比20 dB時濾波后識別結果Fig.9 Result without regularization when signal-noise ratio is 20 dB

從圖9可以看出當對轉換得到的位移響應進行濾波處理后，識別結果基本處在了理論值附近，大大提高了識別進度和識別模型的魯棒性。同時也得出當載荷作用點較少時，或是系統矩陣雖然條件數不大但是奇異值均較小時，采用正則化的處理對噪聲的抑制作用不大，此時需要引入濾波方法對響應進行處理。

5 自由梁的錘擊載荷識別

為了驗證所述方法在實際中的應用，本文設計了如圖10所示的自由梁實驗裝置，梁的基本參數為長1 200 mm,寬65 mm,厚4.5 mm，密度為7 850 kg/m3,彈性模量為210 000 MPa,泊松比為0.33。利用橡皮繩將梁豎直懸掛以近似自由-自由約束，在梁的一側均勻布置13個FBG傳感器記錄傳感器應變響應。該梁的位移模態和應變模態信息如表1 和表2 所示。采用力錘敲擊梁未布置傳感器的一側與傳感器相對的位置，并記錄力的數據。實驗結果如圖11所示，識別結果如圖12所示。對信號進行濾波時仍采用平滑濾波，但是在靠近峰值時濾波效果逐漸減弱，以減輕濾波對沖擊響應幅值的影響。

圖10 實驗裝置圖Fig.10 Experiment equipment

特征頻率/Hz位移模態振型16.61045.77689.717148.270

表2 位移模態信息

從圖12可以看出識別出的錘擊力的大小和作用時刻與測量的力信號基本一致，作用時間由于噪聲影響較實際偏長。實際中對瞬態沖擊響應的幅值和作用時刻更為關心，所以本文方法在實際中仍有很好的價值。

圖11 錘擊點應變響應Fig.11 Strain of the impact point

圖12 識別結果與測量得到的力信號Fig.12 Identification result and measured force

6 結 論

本文所提方法主要是基于結構的應變模態參數和位移模態參數，運用應變響應來識別載荷。一方面由于光纖光柵的廣泛應用，運行飛行器的多通道動應變響應測量進入實用化，因此利用多應變完成飛行器結構載荷識別成為可能；另一方面，通常應變響應對低頻載荷更為敏感，基于應變響應的載荷識別無疑豐富了載荷識別的手段。

本文通過仿真與實驗算例對所提方法進行了驗證，結果表明：第一，方法利用應變響應，能夠穩定高精度地識別結果瞬態載荷；第二，應用位移模態和應變模態實現應變響應到位移響應的轉化，可以在很高的精度和穩定性下實現轉換，而且過程簡單、計算量小；第三，轉化過程中存在矩陣病態問題所以需要引入正則化對其進行改善，正則化后在有噪聲干擾時能夠提高轉化精度和數值穩定性；第四，識別過程由于采用差分求解速度會引入高頻干擾，當系統矩陣維度減小時正則化對噪聲的抑制作用減小，維度為1時正則化無作用，必須采用濾波方法提高識別的精度和魯棒性。