化學爆炸等效單自由度結構體系抗力動力系數分析

耿少波, 葛培杰, 劉亞玲, 李 洪

(1.中北大學 土木工程學科部，太原 030051；2. 長安大學 橋梁結構安全技術國家工程實驗室，西安 710064;3.大連理工大學 水利工程學院，大連 116024)

重要建筑物及防護結構一般需進行抗爆設計，爆炸荷載作為一種偶然作用，通常由核爆和化學爆炸兩種類型組成。核爆概率低，其沖擊波正超壓作用時間長，常大于建筑結構塑性最大變形時間；化學爆炸概率較高，沖擊波正超壓衰減快、爆炸作用影響區域較小，正超壓作用結束后結構再完成最大塑性變形。本文以化學爆炸產生的正超壓沖擊波為考慮荷載類型，允許建筑結構在爆炸荷載作用下進入彈塑性狀態，研究不同延性比條件下爆炸荷載等效靜載動力系數的變化特點。

由于理論分析較為復雜、組織結構抗爆試驗難度大，大部分學者采用商業軟件分析各種類型結構在爆炸作用下的受力及破壞特征。設計人員最熟悉的荷載類型為靜載，如果能將化學爆炸荷載簡化處理為靜載類型，可明顯提高結構抗爆設計效率[1-2]。因此，《人民防空地下室設計規范》、《平戰結合人民防空工程設計規范》等規范均推薦采用基于抗力動力系數的等效靜載完成抗爆設計。

關于爆炸荷載等效靜載的計算問題，國內外學者開展了一些研究。方秦等[3]分析了爆炸作用下承重柱的等效質量、等效荷載，推導了彈性階段響應解析解；穆朝民等[4]采用等效靜載方法研究了室內爆炸流的動載系數，并用有限元方法進行了驗證；任秀敏等[5]采用等效靜載法求解了天線罩的最大位移，荷載類型為線性荷載；楊科之等[6-7]深入研究了延性比及結構參數對動力系數的影響規律，未對荷載正超壓作用時間與直線等效荷載等效作用時間進行轉換研究；邊文鳳等[8]采用Cole提出的爆炸等效靜載方法對水下船體遭受爆炸沖擊波作用時進行了計算，指出了船體的破壞模式，未對等效荷載函數模式及作用時間做進一步分析；伍俊等[9]以一實例完成了防爆墻的等效靜載設計與有限元對比；顏海春等[10]對封堵梁進行了化爆作用等效荷載內力及抗力計算；楊濤春等[11]和Chen等[12]分別對混組合梁及地下拱結構進行爆炸作用計算，并驗證了等效單自由體系方法簡便性；陳俊杰等[13]指出了阻尼系統對結構等效靜載抗爆設計的提高作用。動力系數計算與荷載時長、彈塑性階段位移響應有關，且按等沖量等效出的線性衰減荷載作用時長短于真實的爆炸荷載作用時長，兩種荷載模式的動力系數有何區別，目前鮮有研究。

爆炸沖擊波荷載衰減函數可用多項式為基底的級數擬合[14-15]，為此，本文首先確定線性等效荷載與多項式曲線擬合衰減荷載時長關系，推導兩種荷載模式等效單自由度體系彈塑性階段動力系數公式，進而確定兩種荷載模式計算精度。

1 彈塑性體系動力微分方程

1.1 等效單自由度微分方程

由結構動力學等效單自由度彈塑性理論可知，結構等效靜載荷取決于沖擊波荷載超壓函數、超壓作用時間和結構自振頻率。化學爆炸荷載正超壓作用時長及等效時長很小，在此時間區間內結構來不及完成最大位移響應[16]。根據達朗貝爾原理，彈性階段爆炸荷載等效動力體系微分方程

(1)

式中：kM-L為彈性階段等效質量-荷載比值；m為每延米質量；l為長度；W(t)為動位移；K為等效剛度系數；Δp(t)為爆炸荷載正超壓函數。

結構在tT時刻進入塑性階段，此后結構動力微分方程為

(2)

式中：km-l為塑性階段等效質量-荷載比值；qm為塑性階段構件最大抗力。

等沖量線性衰減荷載的函數表達式為

(3)

多項式擬合曲線衰減荷載函數表達式為

(4)

式中：Δpm為正超壓峰值；f(t)為歸一化時程函數；ti為等效作用時長；t+為真實作用時長。如圖1所示。

圖1 化爆荷載類型對比圖Fig.1 Chemical explosion comparison diagram

根據Duhamel積分原理，由式(1)可得

(5)

(6)

彈性響應結束即將進入塑性時位移及速度為

(7)

(8)

由式(2)、式(7)、式(8)可得結構振動塑性位移及速度為

(9)

W(t)=wT+vT(t-tT)+

(10)

結構彈塑性階段等效靜載抗力動力系數為

(11)

1.2 等效時長與作用時長關系

由真實作用時長t+、超壓峰值Δpm及形狀調整參數a，且化學爆炸可取1.27

(12)

則線性等效荷載的等效時間為

(13)

對于多項式擬合曲線衰減荷載，不存在等效時長，據a的范圍確定其曲線的調整幅度，有沖量定義及式(4)、式(12)可知

(14)

由a的不同取值，可確定t+及相應的b0，b1取值，為便于后續分析，典型數值取值見表1。

表1 等效時長及相關參數表

2 彈塑性階段動力系數推導

結構在爆炸荷載作用下進入塑性階段完成設計要求的延性比，受結構自身特性與爆炸荷載時長限制，分為兩種類型：①承受爆炸荷載的建筑結構剛度較低，由于正超壓作用時間較短，爆炸沖擊波正超壓結束時，結構尚未完成彈性變形，在后續結構自由振動期間逐步完成結構塑性變形，達到設計所需的延性比，對應的時間關系為ti

2.1 較晚進入塑性階段

令ξT=ωtT,ξi=ωti,ξ+=ωt+,由式(7)可知線性等效荷載動力系數為

(15)

多項式曲線擬合衰減荷載的動力系數為

(16)

若定義

則由式(15)可得

(17)

定義

用A*，B*替換式(17)中A，B，即為得多項式曲線擬合衰減荷載cosξT公式，且

(18)

由式(8)可得彈性階段結束時，線性等效荷載下速度及比值

vT=Wcm[cosξT-cos(ξT-ξi)+ξisinξT]/ti

(19)

(20)

同理，可得多項式曲線擬合衰減荷載下比值

(21)

由式(9)及v(tm)為0可推導

(22)

由式(10)及v(tm)為0可推導得出

(23)

將式(22)代入式(23)，即

(24)

由于

(25)

將式(22)、式(23)、式(20)代入式(24)可得線性等效荷載的延性比表達式(26)，同理可得多項式曲線擬合衰減荷載的延性比表達式延性比式(27)

(26)

(27)

上述表達式為同一結構基于不同延性比β、結構荷載參數ωti(ωt+)的關于線性等效荷載與多項式曲線擬合衰減荷載的動力系數。

2.2 較早進入塑性階段

令ξm=ωtm，可知ξT<ξi<ξm或ξT<ξ+<ξm，線性等效荷載的動力系數可推導出

(28)

多項式曲線擬合衰減荷載的動力系數為

(29)

由式(8)線性等效荷載函數即將進入塑性階段的速度及比值

vT=Wcm(-1+cosξT+ξisinξT)/ti

(30)

(31)

多項式曲線擬合衰減荷載函數相應數值

(32)

由式(9)及v(tm)為0可知線性等效荷載

(33)

多項式曲線擬合衰減荷載積分后其數值為

(34)

由式(31)、式(33)線性等效荷載參數

(35)

由式(32)、式(34)多項式曲線擬合衰減荷載參數

(36)

由式(10)分別可得線性等效荷載的延性比式(37)及多項式曲線擬合衰減荷載函數的延性比式(38)

(37)

(38)

3 抗力動力系數計算算例

3.1 各工況動力系數計算

Kh為隱式表達式，求解時可先確定延性比，再根據不同的時間參數求出。

按表1所示三種工況參數分別進行計算動力系數計算，ωti范圍為0.2～2.8，結構設延性比范圍為1～5。令δ=t+/ti，工況1的詳細結果匯總為表2，所有工況結果如圖2和圖3所示。

表2中采用灰度區分的為多項式曲線擬合衰減荷載模式計算結果，其中彈性設計狀態的底紋采用灰度5%的淺灰，較晚進入塑性狀態的底紋采用灰度15%的中灰，較早進入塑性狀態的底紋采用灰度25%的深灰。

為便于對比，線性等效荷載模式計算結果以相對誤差，標注在按多項式曲線擬合衰減荷載模式計算結果括號內側，未標注代表無解。

3.2 結果定性分析

結合表2、圖2、圖3可知，兩種荷載模式均在各自兩種塑性階段分界線處都能光滑過渡，線性等效荷載模式ωti計算范圍2.2小于多項式曲線擬合衰減荷載模式ωt+計算范圍2.8δ。

按多項式曲線擬合衰減荷載計算時，當ωt+<1.4δ時，對同一β與ti，ω越大，結構越較早進入塑性階段，且Kh越大，此時若β較大，且ωti較大時，均為較早進入塑性階段；各工況計算結果說明在同一β及ωt+，存在按多項式曲線擬合衰減荷載模式為較早進入塑性階段，而按線性等效荷載為較晚進入塑性階段情況。

按多項式曲線擬合衰減荷載計算時，當ωt+>1.4δ時，為較晚進入塑性階段，而按線性等效荷載計算動力系數時，為荷載較早進入塑性階段。ωti為較大數值時，β降低的過程依次對應較早進入塑性到較晚進入塑性、再到純彈性狀態(β=1)。采用線性等效荷載模式從較早進入塑性階段跳躍到彈性狀態，這種差別在于等沖量表示爆炸荷載傳遞給結構能量相同，但線性衰減荷載模式下等效時長變小，且減小幅度很高，對于剛度較大結構，吸收能量時間變短， 在時間上緩慢進入塑性狀態的過程縮減，誤認為較早便進入塑性狀態。

表2 工況1抗力動力系數Kh

圖2 直線型衰減荷載動力系數Fig.2 Dynamical coefficients for linear attenuation load

圖3 多項式擬合衰減荷載動力系數Fig.3 Dynamical coefficients for polynomial attenuation load

3.3 結果定量分析

由計算可知：當β<1.6時，工況一a為1.27，抗力動力系數按線性等效荷載計算的數值都高于按多項式曲線擬合衰減荷載計算數值，平均高1.8%，最大為10%；工況二對應a為1.44時具備同樣特征，平均高2.5%，最大為11.2%；工況三對應a為1.61具備同樣特征，平均高3.3%，最大為12.3%，說明由線性等效荷載計算時數值偏保守，且衰減曲線越陡，差值越明顯。

當β>1.6且ωti較大時，Kh按線性等效荷載計算小于按多項式曲線擬合衰減荷載計算結果，各工況最大幅度為19.1%，16.4%及18.0%，此時采用線性等效荷載偏不安全；β取5.0時會有線性等效荷載計算無解而多項式曲線擬合衰減荷載有解情況。

4 結 論

以化學爆炸為爆炸荷載類型，推導出線性等效荷載與多項式曲線擬合衰減荷載等效靜載抗力動力系數表達式，結合算例得到以下認識：

(1)兩種計算結果中較晚與較早進入彈塑性階段動力系數分界處均平滑過渡，在共同計算范圍內差異較小。

(2)對同一ωt+數值，隨著β增大，Kh降低，多項式曲線擬合衰減荷載劃分塑性結果空間為三部分，可完整顯示出從彈性、較晚進入塑性至較早進入塑性狀態轉換，線性等效荷載劃分塑性結果空間為兩部分，因此彈塑性變化在部分空間不連續。

(3)β較小時，多項式曲線擬合衰減荷載的可求解區間不僅大于線性等效荷載函數，且在兩種荷載重疊區間內Kh偏小。

(4)β較大時，線性等效荷載Kh可求解區間更小，且在兩種荷載重疊區間內Kh偏小，采用此抗力系數設計結構可能偏不安全。