含間隙振動系統低頻周期沖擊振動的模式類型及分岔特征

侍玉青， 杜三山， 呂小紅， 羅冠煒

(1.蘭州交通大學 機電工程學院，蘭州 730070；2.甘肅省軌道交通裝備系統動力學與可靠性重點實驗室，蘭州 730070)

含間隙、約束機械系統的動力學研究對提升機械裝備性能、實現復雜裝備振動與噪聲的有效控制以及振動的有效利用具有重要的意義。含間隙、約束機械系統的動力學研究一般基于沖擊Poincaré映射的定性分析和數值仿真，但由于沖擊映射存在擦碰奇異性，一些常規的光滑動力系統的定性分析方法難以直接應用于該類系統的全局分岔研究[1]。因此振動沖擊動力學迄今為止仍是國內外學者關注的研究熱點，特別是在含間隙、沖擊振動系統的穩定性、分岔、控制及應用研究[2-12]。基于含剛性限幅約束的單自由度簡諧激勵系統，Nordmark[13]定性分析了其周期軌道與約束低速碰撞和擦碰接觸誘發的一類非光滑系統特有的Grazing分岔，通過特征值分析給出了Grazing分岔的判斷準則。Nordmark在此領域的開拓性研究工作為后續Grazing分岔及其伴隨的復雜動力學特性的深化研究奠定了理論基礎。其后，國內外學者借助一系列二維沖擊映射和不連續幾何定性分析方法拓展了非光滑動力學系統的Grazing分岔及奇異性研究，文獻[14-24]報道了多類型沖擊振動系統在Grazing分岔點鄰域內呈現的豐富動力學行為特征。顫沖擊振動是含間隙、沖擊振動系統低頻域內的典型非光滑動力學特征。Budd等[25]研究了單自由度沖擊振子的顫振動現象，分析了顫與混沌的關聯性。Toulemonde等[26]基于預測校正法解析分析了簡諧激勵沖擊振子的完整顫碰-黏滯響應及特性。Wagg[27]通過數值分析觀察了兩自由度碰撞振動系統的低頻完整顫碰行為及其隆起現象。Nordmark等[28]構建了振動沖擊系統非完整、完整顫振的局部不連續映射，定性分析了系統完整顫碰-黏滯振動的穩定性。基于單自由度沖擊振子低速碰撞和擦碰奇異性誘發的復雜現象，Chillingworth研究了對應非退化、退化顫沖擊振動的非退化、微退化Grazing分岔，基于單參數分岔分析描述了強退化擦碰奇異點鄰域內的動力學特性及其誘發的顫軌道穩定流形中的回旋狀結構。H?s等[29]研究了機械壓力溢流閥的Grazing分岔及閥和閥座間的顫沖擊振動特性。隨著非線性動力學系統理論研究的不斷推進，其實驗研究也取得了一定的進展。朱文驊等[30]建立了受兩側約束單根懸臂梁的碰撞振動實驗系統，從實驗角度證實了系統存在混沌運動。基于兩自由度碰撞振動系統的理論及數值研究，金棟平等[31]設計了兩柔性梁碰撞的實驗系統，從實驗中觀測到系統的周期、亞諧和混沌等多種沖擊振動類型，發現其碰撞振動特性的確具有理論分析和數值計算所揭示的豐富運動形式。文獻[32]列舉了若干類大型機械設備因異常振動而發生過的災難性事故，強調“這些事故多表現為非線性低頻振動失穩，但該失穩機理至今研究的還不夠清楚”。復雜機械系統的低頻振動特性及發生機理目前仍是工程界關注的問題，并希望能夠在設計階段得以認識和解決。本文基于多參數仿真分析著重研究一類帶有間隙振動系統的低頻振動特性，分析系統低頻范圍內基本周期沖擊振動和亞諧沖擊振動的模式類型和分岔特征，揭示基本周期沖擊振動向非完整和完整顫沖擊振動的轉遷過程。

1 含間隙振動系統的力學模型

fsin(ωt+τ),x1-x2<δ

(1)

(2)

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f1(x1,x2)=-f2(x1,x2)=

(4)

式(1)和式(2)對應圖1(a)模型，式(3)和式(4)對應圖1(b)模型，其中無量綱時間t、變量xi和參數為

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圖1力學模型為非光滑動力學系統，在其參數空間中存在復雜豐富的周期或亞諧沖擊振動，一般情況下借助符號p/n歸納周期、亞諧沖擊振動特征，n表示系統運動周期與激振力周期的比值，p表示兩質塊于系統運動周期內的相互沖擊次數，p=0，1，2，3，…… ，n=1，2，3，……。對于n=1情況，即p/1振動群，稱其為基本周期沖擊振動，其中p=0對應系統的無沖擊周期受迫振動。將0/1振動歸為p/1振動群，是因為0/1與1/1振動間的相互轉遷特性與p/1和(p+1)/1振動間的轉遷特性完全相同(p>0)。基于周期、亞諧沖擊振動的符號特征p/n，針對圖1帶有間隙的振動系統選擇Poincaré截面

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對于周期、亞諧沖擊振動而言，Poincaré截面σp上的不動點數p代表了圖1系統運動周期內質塊相互沖擊次數，Poincaré截面σn上的不動點數n等于系統運動周期與激振力周期的比值。借助于Poincaré截面σp和σn及運動特征符號p/n，可從系統層面和多參數角度開展圖1力學模型的多目標、多參數協同仿真分析。

X(i+1)=f(X(i),μ)

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圖1 含間隙沖擊振動系統的力學模型Fig.1 Mechanical model of a impact vibration system with a clearance

2 含間隙-剛性約束振動系統低頻周期沖擊振動的模式類型及分岔特征

圖2 圖1(a)含間隙振動系統(ω, δ) -參數平面內周期沖擊振動的模式類型及其存在域Fig.2 Pattern types and existence regions of impact motions with period in the (ω,δ)-parameter plane associated with the impact vibration system of fig. 1(a)

圖3 相鄰基本周期沖擊振動p/1和(p+1)/1相互轉遷特征描述Fig.3 Description of mutual transition characteristics about adjacent impact motions with fundamental period p/1 and (p+1)/1

圖4 相鄰基本周期沖擊振動4/1和5/1的分岔圖及相關舌形域內亞諧振動分岔圖, ω=0.425Fig.4 Diagram of adjacent impact motions with fundamental period 4/1 and 5/1, and diagram of subharmonic (4n+1)/n motions in the tongue-shaped zones nearby the boundary L:R41∩R5/1, ω=0.425

圖5 圖4局部示意圖：ω=0.425Fig.5 Local bifurcation diagram of fig.4,ω=0.425

3 阻尼分布對含間隙振動系統低頻周期沖擊振動特征的影響

圖6 不同阻尼分布條件下(ω,δ)-參數平面內周期沖擊振動的模式類型及其存在域Fig.6 Pattern types and existence regions of impact motions with period in the (ω,δ)-parameter plane with different damping distribution

圖7 圖6 (a)低頻周期沖擊振動模式類型及分岔特征, c=0.05Fig.7 Pattern types and bifurcation characteristics of impact motions with period under low frequency of fig. 6 (a), c=0.05

4 含間隙-彈性約束振動系統低頻周期沖擊振動的模式類型及分岔特征

圖1(b)含間隙-彈性約束振動系統的非光滑動力學特征取決于約束剛度k0和間隙值δ，等間隔離散約束剛度k0的取值范圍(0, 1)，其余參數仍取初始基準參數，計算系統在不同約束剛度條件下(ω,δ)-參數平面內的周期沖擊振動的模式類型及其發生區域。圖8(a)和圖8(b)分別為對應約束剛度k0=0.75和k0=0.95的(ω,δ)-參數平面上周期沖擊振動的模式類型及其發生區域，圖8(c)是圖8(b)低頻域內周期、亞諧沖擊振動的細節描述。對小或偏小的k0，圖1(b)系統主要呈現0/1和1/1振動。隨著k0的遞增，基本周期沖擊振動的數量也隨之增大，即p/1振動群的量p與約束剛度的k0大小密切相關，見圖8(a)和圖8(b)。對于大的約束剛度k0，其周期、亞諧沖擊振動模式類型、分布規律和分岔特征與圖1(a)含間隙-剛性約束振動系統有一定的類似性，且在低頻域內存在顫沖擊振動。如k0=0.95，系統低頻域內呈現p/1基本周期沖擊振動群，相鄰基本周期沖擊振動的相互轉遷是不可逆的，轉遷域仍為遲滯域和舌形域，舌形轉遷域內存在亞諧(np+1)/n振動。對照圖2和圖3(b)及圖8(b)和圖8(c)，可以發現圖1(a)和圖1(b)系統低頻沖擊振動的一些共性特征。

圖8 不同約束剛度條件下(ω,δ)-參數平面內周期沖擊振動的模式類型及其存在域Fig.8 Pattern types and existence regions of impact motions with period in the (ω,δ)-parameter plane with different stiffness

5 結 論

含間隙周期激勵振動系統低頻范圍內主要呈現基本周期沖擊振動p/1、非完整顫沖擊振動、完整顫沖擊振動(剛性約束情況)和亞諧振動。隨激振頻率或間隙遞減，p/1振動或通過Real grazing分岔轉遷為(p+1)/1振動，或通過Bare grazing分岔穿越舌形域嵌入(p+1)/1振動發生區域。隨激振頻率或間隙遞增，(p+1)/1振動或通過鞍結分岔轉遷為p/1振動，或通過倍化分岔穿越舌形域嵌入p/1振動發生區域。除若干奇異點外，相鄰基本周期沖擊振動p/1和(p+1)/1振動相互轉遷過程是不可逆的。p/1振動的Real grazing分岔和Bare grazing分岔與(p+1)/1振動的鞍結分岔邊界和倍化分岔邊界交替橫截于一系列奇異點，由此產生兩類交替分布的轉遷區域-遲滯域和舌形域。p/1和(p+1)/1振動可共存于遲滯域，其存在與否取決于系統運動的初始條件。舌形域在(ω,δ)參數平面內隨ω遞減和δ遞增呈現分型特征，其內存在(np+1)/n亞諧沖擊振動，該類亞諧沖擊振動隨ω和δ變化發生倍化或Bare grazing分岔。當阻尼分布μc偏小時舌形域內存在4/4，5/5，6/6，…，10/10，…序列和5/3 及8/5等更多形式的亞諧沖擊運動。基本周期沖擊振動p/1在(ω,δ)參數平面內呈帶狀域分布，p越大，其帶狀存在域越窄，且基本周期內其沖擊速度逐次減弱。當p足夠大時，系統呈現非完整顫沖擊振動。對于間隙-剛性約束周期激勵振動系統而言，隨激振頻率進一步遞減，非完整顫沖擊振動發生Sliding分岔，轉遷為完整顫沖擊-黏滯振動。