基于多變量多尺度模糊熵的行星齒輪箱故障診斷

鄭近德， 潘海洋， 張 俊， 劉 濤， 劉慶運

(1. 安徽工業大學 機械工程學院，安徽 馬鞍山 243032；2.福州大學 機械工程及自動化學院，福州 350116)

行星齒輪箱具有傳動比大、承載能力強、傳動效率高等優點，已被廣泛應用于風力發電、直升機、工程和化工機械等大型復雜機械裝備中。低速重載的工作環境常導致其太陽輪、行星輪、行星架等關鍵部件出現磨損或疲勞裂紋等故障。現有許多行星齒輪箱故障診斷方法往往只采用垂直箱體方向振動信號進行診斷而忽略了其他方向振動信息。由于行星齒輪箱振動傳輸路徑復雜，傳感器采集的行星齒輪箱各個方向的振動信號往往都包含了重要信息。盡管通常單一方向或路徑的振動信號能夠有效的診斷故障，但由于故障響應比較微弱，綜合多通道振動信號信息則能夠得到更準確的故障診斷效果。隨著多傳感測量技術的發展，對由一個或多個傳感器同步觀測的多通道數據序列內及序列間的動態相互關系的評估日益成為一種有效的數據分析方法，越來越受到研究者的重視[1]。

當行星齒輪箱發生故障時，振動信號往往表現出非線性和非平穩特征。許多非線性動力學的方法如近似熵[2]、樣本熵(Sample Entropy，SampEn)[3]和多尺度熵(Multi-Scale Entropy，MSE)等，由于能夠提取隱藏在振動信號中的非線性故障特征信息，已經被廣泛應用于機械故障診斷領域。文獻[4-6]將多尺度熵分別應用于滾動軸承和轉子系統的故障診斷；文獻[7]將多尺度模糊熵(Multi-Scale Fuzzy Entropy，MFE)，應用于滾動軸承故障診斷，MFE有效地抑制了MSE由于時間序列變短而導致熵值突變的問題，穩定性和一致性更好。

但是，MSE和MFE都是單變量分析方法，Ahmed等[8-9]在傳統單變量復雜度測量的基礎上，結合多維嵌入重構理論，提出了多變量樣本熵(Multivariate Sample Entropy，MvSampEn)，并將其擴展到多尺度，提出了多變量多尺度熵(Multivariate Multi-scale Entropy，MMSE)。MMSE不僅能夠測量多通道數據序列中每一個序列自身的復雜性(序列內模式的自相似性)，同時還考慮了多個通道序列之間的互預測性。MMSE從復雜性、互預測性和長時相關性角度評價了多通道時間序列的動態相互關系，展現了多通道時間序列內在的非線性耦合特征，在生物血壓數據分析[10]和呼吸序列分析[11-12]等多個領域得到了應用。在MMSE的基礎上，論文采用模糊熵代替樣本熵，同時結合多變量粗?；亩喑叨确绞剑岢隽硕嘧兞慷喑叨饶：?Multivariate Multiscale Fuzzy Entropy，MMFE)，用來衡量多通道時間序列的復雜性和互預測性。

最后，將提出的MMFE方法應用到行星齒輪箱故障診斷中，同時結合粒子群優化支持向量機(Particle Swarm Optimization Support Vector Machine, PSOSVM)[13-14]構建多故障分類器，提出了一種基于MMFE和PSOSVM的行星齒輪箱故障診斷方法。通過試驗數據分析，將提出的方法與基于單變量多尺度熵，多尺度模糊熵以及多變量多尺度熵的故障診斷方法進行了對比分析，結果表明，與上述方法相比，論文提出的方法故障識別率更高。

1 多變量多尺度模糊熵

1.1 多變量模糊熵

為了計算多變量樣本熵或多變量模糊熵，需要依據Takens嵌入定理產生多變量嵌入向量。

Xm(i)=[u1,i, ...,u1,i+(m1-1)λ1,u2,i, ...,
u2,i+(m2-1)λ2, ...,up,i+(mp-1)λp]

(1)

(2)定義Xm(i)與Xm(j)之間的距離為

(2)

(3)

(4)定義函數

(4)

再將嵌入維數m擴展到m+1，由于包含有p個序列，通過分別擴展mk+1(k=1,2, ...,p)可獲得p×(N-n)個重構向量Xm+1(i)。對于m+1，在一個固定的閾值內，延遲向量對的平均數目可由兩種方式得到。一種是對于m+1維空間的第k個子空間，可以在一個固定的閾值內計算延遲向量對的平均數目，然后再對所有的p個子空間求平均。第二種方法是考慮所有子空間的延遲向量，然后在p個子空間內部直接對比延遲向量，得到

(5)

(5)定義多變量模糊熵為

(6)

當有限時，式(6)近似表示為

MvFE(m,n,r,N)=lnφm(n1,r)-lnφm+1(n1,r)

(7)

1.2 多變量多尺度模糊熵

多變量多尺度模糊熵的步驟如下：

(8)

式中：τ=1，2，…為尺度因子。

多變量多尺度模糊熵是對歸一化多通道時間序列復雜性的量度，其幾何解釋如下：①如果在大部分尺度上，多變量時間序列X的多變量模糊熵值比Y大，那么就認為X的動力學行為比Y更復雜；②如果多變量時間序列X的多變量多尺度模糊熵隨著尺度因子的增加而單調遞減，這意味著X僅在最小的尺度上包含較多的有用信息，典型例子如隨機白噪聲或可預測的信號。MMFE不僅考慮了多通道數據序列中每一個時間序列內模式的自相似性，同時還考慮了多個通道序列之間的互預測性。因此，MMFE從復雜性、互預測性和長時相關性角度評價了多通道時間序列的動態相互關系。

1.3 參數選擇與對比分析

在多變量多尺度模糊熵的計算中，影響計算結果的參數主要有：①多維時間延遲λ=[λ1,λ2, ...,λp]和總維數M=[m1,m2, ...,mp]，k=1,2, ...,p；②時間序列的長度N；③控制模糊隸屬函數梯度和寬度的n1和r。首先，基于單變量的嵌入定理及多變量多尺度熵的相關分析，mk=2,τk=1(k=1,2, ...,p)時對MMFE的計算結果影響較小。其次，時間序列長度對MMFE的計算有一定的影響。不失一般性，考慮長度為Ni=1 000·i(i=1,2, ...，6)的三通道白噪聲信號，在相同的其他參數條件下計算得它們的MMFE，結果如圖1所示。由圖1中可以看出，當時間序列長度大于2 000時，不同長度的白噪聲信號的MMFE相差較小，因此，一般選擇N≥2 000。

圖1 不同長度三通道白噪聲的MMFE對比Fig.1 MMFEs of three channel white noises with different lengths

在單變量信號分析方法中，白噪聲序列的MSE熵值隨著尺度因子增大而單調遞減，而1/f噪聲的MSE熵值在較大尺度因子逐漸趨于穩定[15]，這與1/f噪聲比白噪聲結構更復雜的事實一致。對于多通道數據而言，含有1/f噪聲序列的通道越多，其多變量復雜度應該越大，MMFE和MMSE的仿真結果也應與該結論一致。為此，采用三通道數據進行驗證，仍以白噪聲和1/f噪聲為例。根據三通道數據中含有白噪聲和1/f噪聲組合情況分為4組，即：(a)三通道1/f噪聲；(b)兩通道1/f噪聲，一通道白噪聲；(c)一通道1/f噪聲，兩通道白噪聲；(d)三通道白噪聲。每種狀態的仿真數據采用10組樣本(長度為4 096點)，畫出它們的MMSE和MMFE的均值和標準差曲線。依據多尺度熵理論，理論上，在大部分尺度上它們的熵值關系應該有：(a)>(b)>(c)>(d)。分別采用MMSE和MMFE對上述信號進行分析，結果分別如圖2(a)和圖2(b)所示，其中MMFE中模糊熵的參數n1和r的選擇，依據文獻[16]，設n1=2,r=0.15SD(SD為多通道數據標準差)。從圖2可以看出，在大部分尺度上有：(a)>(b)>(c)>(d)，與理論結果相符。這說明MMSE和MMFE能夠有效的反映多通道數據序列的復雜度；其次，從對比還可以看出，隨著尺度因子的增加，三通道1/f噪聲的熵值與兩通道1/f噪聲、一通道白噪聲的MMSE有一定的波動，且在較大的尺度上有重疊，因此，MMSE對四種組合的多通道噪聲的區分效果明顯不如MMFE。

圖2 多通道噪聲數據的MMSE和MMFEFig.2 MMSEs and MMFEs of three channels noise signals

2 基于多變量多尺度模糊熵的行星齒輪箱故障診斷

太陽輪是行星齒輪箱的關鍵部件，當齒輪發生故障時，往往以振動的形式的向外傳遞，但傳遞路徑較為復雜。為了盡可能多和更精確地利用振動信號信息實現齒輪箱的故障診斷，綜合采用齒輪箱多個方向的振動信號信息不失為一種有效的途徑。

基于上述分析MMFE的優勢，同時采用適合小樣本分類的支持向量機(Support Vector Machine，SVM)實現行星齒輪箱狀態的智能分類。由于懲罰參數c和核函數g取值對SVM預測精度有一定的影響，需采用優化算法在一定區域內搜索參數最優組合，以獲得具有較好分類性能的SVM。粒子群優化(Particle Swarm Optimization，PSO)是一種基于群體的智能尋優算法，其初始化一群隨機粒子(隨機解)，然后通過迭代尋找最優解。在每次迭代中粒子通過跟蹤個體極值和全局極值來更新，個體極值為粒子本身所找到的最優解，全局極值為整個種群目標的最優解。PSOSVM的參數的過程，如圖3(a)所示。

基于此，提出了基于MMFE和PSOSVM的行星齒輪箱故障診斷方法，具體步驟如下：

步驟1 假設有K種不同故障狀態的齒輪箱振動信號，每種狀態有M個樣本，隨機選擇其中的組數據作為訓練樣本，剩余M-M1組作為測試樣本；

步驟2 分別計算所有樣本的MMFE，將20個尺度的特征值作為故障特征向量；

步驟3 將所有訓練樣本的故障特征向量輸入到基于PSOSVM建立的多故障分類器進行訓練；

步驟4 將測試樣本的故障特征向量輸入到已訓練的多故障分類器識別，實現齒輪箱的故障診斷。

論文提出的故障診斷方法流程，如圖3(b)所示。

圖3 粒子群優化支持向量機及論文提出的故障診斷方法流程圖Fig.3 Flowcharts of PSOSVM and the proposed fault diagnosis method

為了驗證所提行星齒輪箱故障診斷方法的有效性，將其應用于試驗數據分析。試驗采用動力傳動故障模擬試驗臺(Dynamics Diagnosis System, DDS)模擬行星齒輪箱太陽輪故障，試驗臺主要結構如圖4(a)所示。試驗行星齒輪箱為一級四星減速箱，具體參數為：太陽輪齒數28，行星輪齒數36，齒圈齒數100，行星輪數4，模數1。其中故障齒輪為太陽輪故障，故障類型為：缺齒，裂紋(單齒根裂紋)，磨損(齒面均勻磨損)，如圖4(b)～圖4(d)所示。振動信號采集時，加速度計垂直安裝在行星齒輪箱上方箱體上，實驗采集了Y和Z軸(徑向和垂直箱體)兩個方向的振動加速度信號，采樣頻率為8 192 Hz。試驗過程中電機轉速為1 500 r/min，轉頻為25 Hz，負載為0.5 A。四種狀態行星齒輪箱振動信號兩個通道的時域波形，如圖5所示。

為了對比，分別采用MSE，MFE，MMSE和MMFE對正常，斷齒，磨損和裂紋四種狀態齒輪的多通道振動信號進行分析，其中基于單一通道振動信號分析的MSE和MFE方法采用垂直箱體Z軸方向的振動信號，而基于多通道信號分析的MMSE和MMFE方法分析中采用兩個通道的振動信號。四種狀態齒輪(每組20個樣本)的MSE，MFE，MMSE和MMFE均值與標準差曲線分別如圖6(a)～圖6(d)所示，四種方法參數選擇如表1所示。

圖4 動力傳動故障模擬試驗臺及太陽輪故障類型Fig.4 Dynamics diagnosis system and fault types of sun gear

圖5 四種狀態的振動信號兩個通道的時域波形Fig.5 Time domain waveforms of two channel vibration signals of four gear states

MSEMFEMMSEMMFE嵌入維數m=2m=2M=[2,2]M=[2,2]時間延遲11[1, 1][1, 1]尺度因子20202020相似容限0.15SD0.15SD0.15SD0.15SD模糊參數n1=2n1=2

由圖6可以看出，上述四種狀態齒輪振動信號的熵均值在大部分尺度上的大小關系為：裂紋，正常，磨損和缺齒。這是因為正常齒輪振動信號主要成分以嚙合頻率及其高次諧波為主，發生磨損故障時，齒輪振動信號主要成分仍以嚙合頻率及其高次諧波為主，但各成分在頻譜的幅值明顯增強，因此相較于正常齒輪振動，熵值降低；而當發生缺齒故障時，振動信號表現出明顯的周期性沖擊特征，信號的周期性和自相似性增強，復雜性程度降低，多變量模糊熵值也逐漸降低。此外，仔細觀察圖6容易發現，MSE和MMSE曲線中正常和裂紋故障，MFE曲線中正常、磨損和裂紋故障振動信號在相同尺度下的熵均值非常接近，標準差也有重疊，區分效果并不理想，而MMFE在部分尺度上(尺度因子3～7)無交叉重疊，能夠將四種狀態明顯區分開。因此，與MSE，MFE和MMSE相比，MMFE的區分效果更好。

為了更準確地區分行星齒輪箱的四種狀態，將基于MMFE和PSOSVM的齒輪箱故障診斷方法應用于上述試驗數據分析，具體步驟如下：

步驟1上述四種齒輪狀態，每種狀態取50個樣本，樣本長度為2 048，共得到200個樣本。每種狀態的樣本中隨機選擇20組數據作為訓練樣本，剩余30組作為測試樣本；共得到80個訓練樣本和120個測試樣本；

圖6 四種狀態行星齒輪箱振動信號的MSE,MFE,MMSE和MMFEFig.6 MSE, MFE, MMSE and MMFE of four kinds vibration signals of faulty gears

步驟2計算所有訓練樣本和測試樣本的MMFE值，將20個尺度熵值作為故障特征向量；

步驟3將所有訓練樣本的故障特征向量輸入到基于PSOSVM建立的四類故障分類器進行訓練。其中，為了方便，標記“正常，缺齒，磨損和裂紋”故障的對應類別分別為1, 2, 3, 4；

步驟4將所有測試樣本輸入到已訓練的多故障分類器進行識別。

測試樣本輸出結果如圖7(a)所示，由圖中可以看出，120測試樣本中有一個磨損樣本和一個裂紋樣本被錯分到正常，其他樣本都得到了正確分類，故障識別率為98.33%，交叉驗證別率為100%，PSO優化SVM的最優參數c和g分別為1.44和88.97。

為了對比，將上述步驟2中MMFE分別換成MSE，MFE和MMSE，重復上述同樣過程，測試樣本輸出結果分別如圖7(b)～圖7(d)所示，其中圖7(c)和圖7(d)為MSE和MFE采用垂直箱體(Z軸)方向振動信號分析結果。表2更詳細地給出了分別采用MSE和MFE分析徑向和垂直箱體方向(Y和Z軸方向)的振動信號進行診斷的故障識別率。從圖7和表2可以看出，在基于MSE的PSOSVM分類器輸出中，分別采用單一徑向和垂直箱體方向振動信號進行分析，分別有8個和9個樣本被錯分，故障識別率分別為92.5%和93.3%；在基于MFE的PSOSVM方法中，也分別采用單一徑向和垂直箱體方向振動信號進行分析，兩個方向的振動信號分解結果中都有5個測試樣本被錯分，故障識別率為95.86%；而在基于MMSE與PSOSVM方法中，有9個測試樣本被錯分，故障識別率為92.5%；因此，基于單一通道的MSE和MFE方法及基于兩通道的MMSE方法的故障識別率都小于論文方法的識別率。表2更詳盡地給出了上述四種方法的錯分樣本信息、識別率、交叉驗證識別率和PSOSVM最優參數c和g。上述分析結果和表2更進一步說明了模糊熵相較于樣本熵、多通道相較于單通道信號分析的優越性。

圖7 基于不同方法的PSOSVM測試樣本輸出結果Fig.7 Outputs of testing samples based on the different fault diagnosis methods

故障診斷方法通道數據錯分類樣本(數字表示類別)識別率/%交叉驗證識別率/%最優c, gMSE+PSOSVMZ方向錯分9個:1→4, 3個;4→1, 6個92.593.7549.97, 0.01Y方向錯分8個:1→4, 3個;4→1, 4個;3→2, 1個93.393.758.47, 0.33MFE+PSOSVMZ方向錯分5個:1→4, 4個;4→1, 1個95.8397.53.16, 6.72Y方向錯分5個:2→3, 3個;4→1, 2個95.8398.750.1, 0.01MMSE+PSOSVMY,Z方向錯分9個:1→4, 3個;4→1, 5個;3→1, 1個92.598.752.81, 22.63MMFE+PSOSVMY,Z方向錯分2個:3→1, 1個;4→1, 1個98.331001.44, 88.97

3 結 論

(1)提出了多變量多尺度模糊熵方法來衡量多變量時間序列的復雜性、互預測性和長程相關性。通過仿真信號分析，將其與多尺度熵，多尺度模糊熵和多變量多尺度熵進行了對比，結果表明了多變量多尺度模糊熵的優越性。

(2)將MMFE應用于行星齒輪箱故障診斷，提出了一種基于MMFE和PSOSVM的行星齒輪箱故障診斷方法。通過分析行星齒輪箱的試驗數據，將其與基于單變量的多尺度熵、多尺度模糊熵和多變量多尺度熵的故障診斷方法進行了對比，結果表明論文提出的方法識別率更高。

當然MMFE方法也有不足之處，部分參數的選擇需要人為設置，筆者正在對這些問題進行研究和完善。