低噪聲圓鋸片動態拓撲優化設計研究

田永軍， 徐國勝， 趙海龍， 段國林

(1.天津職業技術師范大學 工程實訓中心 創新學院，天津 300222；2.河北工業大學 機械工程學院，天津 300130)

金剛石圓鋸片是硬脆材料加工領域不可缺少的刀具，但是這種圓型薄片刀具橫向剛性差，鋸切工件過程極易受激振動，輻射高強度噪聲。隨著刀具行業面向綠色制造發展要求不斷提高[1-3]，振動噪聲控制問題已成為高速旋轉刀具制造業亟待解決問題。目前，基于創新型拓撲優化開槽研究方法已成為鋸片減振優化降噪領域研究最具有生命力的研究方向。基體開槽降噪原理是鋸切過程中因沖擊、摩擦所產生的振動在鋸片基體上的傳播受到槽孔結構隔斷作用而消弱，使噪聲的產生、共鳴及輻射減小。

近年來，基體拓撲開槽研究主要集中于利用靈敏度梯度分析等方法在靜載荷或等效靜載荷等簡單激勵條件下對基體進行拓撲，推進了低噪聲圓鋸片優化設計領域發展。然而工程實際中，鋸片-石材間干涉運動是一種涉及到邊界條件、材料性質、幾何變形等多重條件的非線性復雜系統的動力學問題，基于靜力學的結構優化設計難以保證鋸片強度，可能導致鋸切不穩定情況甚至造成重大事故。為了避免這些問題，需要以刀具動態響應為約束或目標函數進行結構的動力學優化設計。動力學優化設計主要為解決結構嚴重的振動問題而發展起來的一門學科，其中，動態拓撲優化問題是動力學優化設計問題中難度最大一種[4-6]，也是優化設計領域中研究熱點[7-16]。該問題主要特點：①動態問題涉及結構間的非線性振動且具有復雜耦合關系；②結構形態設計自由度龐大，計算量大；③多向激勵條件下結構動態分析計算困難以及結構響應量與設計變量的關系確定困難。

國內外對碰撞、沖擊類等動態拓撲優化問題的研究仍處于探索階段。其中，Tovar等受骨骼重塑的啟發提出了混合元胞自動機算法(Hybrid Cellular Automaton，HCA)，打破了傳統梯度分析在動態拓撲優化領域局限性，開創了新的研究方向。Soto將HCA算法引入碰撞領域對零件進行合理拓撲優化，國內學者也逐漸在動態拓撲優化領域引入HCA算法，開展了一些研究，王冠和雷正保等分別在鋁合金薄壁梁結構輕量化設計和護欄梁板耐撞性設計中結合HCA算法進行拓撲優化，取得了合理結果。

本文以降低圓鋸片的動態響應為設計指標，建立了以鋸片表面振動速度的時空均方值的極小值為目標的減振降噪優化模型，結合HCA算法對具有高度非線性激勵條件的鋸片基體進行拓撲優化研究，得到了滿足剛度需求的低噪聲開槽鋸片，依據優化結果制備了鋸片，現場實驗表明開槽鋸片具有明顯降噪效果，驗證了該方法的有效性。

1 動態拓撲優化設計基本理論

1.1 混合元胞自動機理論基礎

HCA 方法是一種結合了元胞自動機(Cellular Automaton, CA)理論和有限元理論的非梯度方法。HCA模型中元胞單元和有限元(FE)網格是一一對應關系，CA算法用于記錄設計域中材料分布情況實現局部優化設計規則，而FE算法用于計算因材料分布而引起的模型結構變化情況。HCA方法的核心是CA，元胞是構成CA的最基本單元，也就是CA模型是定義在一個具有離散、有限狀態的元胞單元組成的元胞空間上，利用一定規則進行局部控制規則，在離散的時間維度上迭代演化的動力學系統。組成CA模型有限的元胞柵格都有一個狀態值，并且每個元胞柵格的狀態在某一時間步長是特定的，某個元胞柵格在下一時間步長的狀態只取決于這一時間步長自身的狀態以及周圍相鄰的所有鄰居的狀態，這就是CA的局部控制規則。圖1為CA模型的三種典型的鄰居類型。

圖1 典型的CA模型相鄰位置信息Fig.1 Typical location information of a CA model

CA算法的特點是在計算過程中隨著時間的推進持續對體系內的元胞同步更新，利用有限的、離散的元胞來考察整個體系行為，不僅免除了傳統拓撲優化方法對梯度信息的處理，而且解決了網格單元間的高度并行性問題，因此CA算法適用于非線性動力學系統的拓撲優化，在碰撞、沖擊領域具有極大的潛力。

標準CA系統A用數學符號可表示為

A=(L,d,S,N,f)

(1)

式中：L為元胞空間，CA系統中，各類型的元胞所處于被有規律劃分出來的空間，這些網格空間的集合稱為元胞空間；d為元胞空間維數，本研究在三維空間內進行動態拓撲優化，因此取d=3；S為有限的、離散的元胞狀態集合；N為某個鄰域內所有元胞的集合；f為局部規則。

1.2 材料參數化

動態拓撲優化方法本質是通過迭代計算保留對系統傳力路徑有利的結構單元，實現材料密度最優布局問題[17]。優化過程中可能出現的中間密度單元，常用懲罰的變密度插值函數(Solid Isotropic Material with Penalization, SIMP)對中間密度單元進行懲罰減少這類單元的產生，以保證清晰的拓撲結果。高速碰撞、沖擊類問題中結構受力產生塑性應變，則SIMP模型中彈性應變的假設已不成立。因此當塑性應變發生時，材料對于屈服應力的克服，使得非線性的插值問題必須考慮材料應變與應力關系。

本文采用分段式塑性模型來表示材料在塑性應變過程中不同的應變情況。具體可分為兩個階段：①材料未達到屈服極限，彈性應變過程近似的表現為線性過程；②若進入塑性應變階段，利用應變硬化模量來表示材料在塑性應變過程中不同應變、應力之間關系。在非線性動力學分析模型中，設計變量要涵覆全局剛度矩陣K和質量矩陣M。通過SIMP模型，材料屬性可表示為

(2)

式中：p，q為懲罰因子；xi為離散單元相對密度，ρ0為單元初始密度；E0為單元初始彈性模量；σ0為單元初始屈服極限；Eh為單元初始應變硬化模量；屈服強度以及應變硬化模量代表材料非線性是涉及材料屈服的動態問題所需的參量。

1.3 拓撲優化數學模型

CA模型迭代演化核心是元胞狀態更新，元胞狀態由設計變量和場變量來定義，用數學表達式表示為

σi={xi(t),Ui}

(3)

式中：Ui為場變量；xi為設計變量，一般定義為單元相對密度。

(1)場變量

動態拓撲優化問題，首先要考慮結構安全性，也就是要求結構能夠吸收更多能量，還要保證碰撞過程中的結構可靠性。HCA算法中，缺省的目標函數是場變量與其設定值之間差值的最小值，此時可以引入內能密度作為元胞場變量，內能密度可量化為結構變形所儲存的機械能，結構剛度越大，儲存的應變能越低。因此，耐碰性拓撲優化問題的缺省目標函數可描述為

(4)

(5)

(6)

(7)

式中：N為結構碰撞過程中有效的單元總數。若第m個循環的質量分數滿足指定目標值時，終止更新材料密度。

(2)設計變量

計算過程設計變量更新取決于元胞狀態，元胞密度改變量計算公式為

(8)

優化過程中，根據元胞狀態以及局部控制規則重新分布模型中元胞的密度實現單元的添加或刪除，進而尋求結構單元最小應變能，以保證高速沖擊過程中鋸片剛度要求。另外還要降低鋸切噪聲輻射強度，因此還需建立目標函數(約束函數)實現圓鋸片減振降噪。

2 低噪聲圓鋸片動態拓撲優化策略

2.1 圓鋸片減振降噪數學模型

實現鋸片減振降噪最直接的優化方法是將鋸切噪聲作為目標函數(約束函數)并使其最小化。然而鋸切系統的聲學耦合模型計算量大，優化計算過程若迭代次數太多則成本巨大，因此需要建立合理計算模型以及減振降噪數學模型。

(1)計算模型。鋸切系統噪聲A計權聲功率級可表示為

L=10lg(E/E0)=

(9)

從噪聲與振動角度考慮，降低鋸片表面振動速度的時空均方值，鋸切系統聲輻射水平則會得到有效控制。鑒于此，低噪聲鋸片優化問題在數學上可等效為：將鋸片表面橫向振動速度時空均方值作為目標函數，使其最小。因此優化過程只需計算石材鋸切系統的動力學仿真模型，并輸出鋸片的橫向振動速度，減少了計算量。

(2)設計域和控制域。合理的設計域(拓撲區域)不僅能夠減少計算量而且滿足結構設計形態完整性以及安全性要求。鋸切噪聲主要源于圓鋸片外緣區域的高強度振動，尤其在圓鋸片半徑的0.7～0.8倍以外區域振動十分劇烈[18]，為了提高計算效率只需將此區域的振動強度進行控制便可降低噪聲。

本文將鋸片分析區域設定為兩部分：設計域和控制域。通過對設計域進行拓撲優化降低鋸片主要振動區域(控制域)的振動強度，從而降低噪聲。圖2為鋸片的設計域和控制域示意圖。將基體作為設計域，設計域不應與夾盤所對應區域重合，在此區域進行拓撲視為無意義，因此將夾盤與基體重疊區域為非優化域，為了計算方便將優化域離散為6等份。同時，將噪聲輻射主要區域即圓鋸片外緣區域作為控制域使其表面節點速度時空均方值最小化。

(3)多約束條件。鋸切過程中鋸片受復雜交互作用將產生軸向變形(撓度)，過大的軸向變形導致受力不均、加劇刀頭磨損，因此為了避免過大的軸向變形，限定鋸片節塊最大軸向撓度位移為0.8 mm。工程實際中，過大的鋸切力直接降低鋸片壽命以及增大鋸片振動幅度，為此限定總鋸切力不超500 N。還需限定鋸切過程中鋸片控制域的單元振動速度范圍為-0.8 ～0.8 m/s，也就是在優化迭代過程中限制拓撲結構控制域單元的振動速度在此范圍之內，并最小化控制域振動速度的時空均方值以降低鋸切噪聲的輻射強度。另外，定義優化過程中的材料剩余質量分數≤0.85。

圖2 鋸切系統及拓撲結構設計域Fig.2 Sawing system and topology optimization design domain

(4)拓撲優化數學模型。根據上述原則，建立多約束作用下的單目標優化模型，使圓鋸片在鋸切力、軸向位移等約束要求的前提下，獲得滿足剛度要求的低噪聲圓鋸片。數學模型為

(10)

式中：ψ為目標函數，即鋸片的控制域速度時空均方值；vn為每次迭代過程中控制域單元n的振動平均速度，m/s，在此模型中，控制單元的法向振動速度為約束目標函數的自變量；n為優化前后保持不變的單元，即鋸片外邊緣控制域單元；Sn為單元n的面積，m2；S為控制域有效表面積，m2；d為最大橫向位移，mm；F為總鋸切載荷，N；M為結構的初始質量，kg；ρi為優化域單元的相對密度，kg/m3；Vi為優化域每個單元的體積，m3。

2.2 初始化變量和加載條件

以直徑為350 mm，厚度為3 mm普通圓鋸片作為原模型。其工作條件為：轉速為50 r/s，進給速度20 mm/s，鋸切深度10 mm。選取高強度65 Mn作為基體材料確保鋸片基體(設計域)具有正常支撐作用。計算初始階段對基體材料變量進行初始化，見表1。

2.3 動態拓撲優化收斂準則

普通結構拓撲優化問題的求解一般定義迭代間元胞的密度或質量變化之和小于收斂因子，見式(11)所示

(11)

低噪聲鋸片的動態拓撲優化問題求解還要控制鋸片噪聲輻射強度，因此除需滿足質量收斂外，還要滿足所求目標(約束目標)函數兩次迭代間的變化小于收斂因子ε2，如式(12)描述

(12)

式中：ε2為收斂因子，取0.1。

2.4 動態拓撲優化實施流程

為了深入挖掘低噪聲鋸片的優化潛能，根據目標函數及約束條件，基于HCA算法建立了圓鋸片動態拓撲設計模型，優化流程如圖3所示。計算步驟如下：

步驟1確定合理設計域，把設計域離散為CA單元，并實現基體材料參數初始化。

步驟2建立鋸切系統動力學仿真模型，使用顯式分析法對其求解計算，記錄單元內能密度以及圓鋸片的橫向速度、橫向位移、鋸切力等動響應信息。

步驟3建立設計域的有限元網格與元胞網格一一對應關系，根據數學優化模型利用CA的局部規則計算求解域中元胞場變量信息，更新元胞狀態，重新分布材料的密度，不斷添加或刪除網格，從而在滿足鋸片剛度要求下實現控制域振動速度的時空均方值最小化，進而實現鋸片的減振降噪。

步驟4當滿足收斂標準后計算結束，得到最終拓撲結構，將拓撲結構中的高密度區域作為實體結構，而將低密度區域材料刪除，從而得到低噪聲開槽鋸片。若不符合要求，重新從步驟2開始迭代計算。

2.5 低噪聲圓鋸片動態拓撲優化分析

根據動態拓撲優化方法，歷經93次迭代，計算趨于收斂，得到了優化結構。

圖4為鋸片動態拓撲優化迭代過程，圖4(d)為拓撲結構最終的密度分布圖，經拓撲優化后，結構內部相對密度為0的單元集合被刪除因此結構呈現出開槽(孔)區域，而剩余單元部分為相對密度接近于1的保留單元，得到圖5(a)拓撲優化結構的有限元模型，為了保證了拓撲結果具備良好的可制造性，將拓撲優化結構進行光滑處理，得到如圖5(b)所示的開槽圓鋸片幾何模型。

圖3 動態拓撲優化程序流程圖Fig.3 Flowchart of topology optimization program

圖4 金剛石圓鋸片拓撲優化過程Fig.4 Topology optimization process of saw blade

圖5 拓撲優化結果Fig.5 Optimum topology layout

圖6(a)為迭代過程中總鋸切力變化情況，迭代結束后鋸切力最大值小于500 N，圖6(b)為迭代過程中橫向位移的變化情況，最小值為0.71 mm，均滿足約束條件。圖6(c)為鋸片振動速度的時空均方值趨于5.98×10-4(m/s)2，明顯小于原始鋸片振動速度的時空均方值3.37×10-3(m/s)2。

圖6 拓撲過程收斂圖Fig.6 Convergence curves of topology process

為了驗證開槽圓鋸片的降噪效果，利用FEM/BEM耦合方法構建了鋸切系統聲輻射模型，經計算得到了鋸切系統的時域、頻域聲學信息。其中，為了測量聲場信息在過鋸片中心軸且垂直于鋸片表面1 m處布置觀測點。

圖7為鋸切噪聲時域曲線圖，發現開槽圓鋸片的噪聲聲壓級平均值為96.8 dB，比普通圓鋸片噪聲聲壓級小5.1 dB，明顯降低噪聲輻射強度。

圖8為圓鋸片在穩定鋸切階段的噪聲聲壓級-頻域曲線圖，可以發現：兩種鋸片的噪聲聲壓在低頻域表現不明顯，而在1 000～1 500 Hz，2 000～5 000 Hz中高頻域的聲壓較為集中；開槽圓鋸片相對于普通圓鋸片在中高頻域聲壓有明顯降低，不僅表現出了較弱的輻射能力，而且聲壓有向周圍分散的趨勢，表明基體內部具有“缺陷”的開槽圓鋸片不但能夠有效的抑制鋸切過程中高強度噪聲而且可以分散中高頻域的噪聲能量。

圖7 聲壓級時域曲線Fig.7 Time domain curve of sound pressure level

圖8 聲壓級頻率曲線Fig.8 Frequency domain curve of sound pressure level

3 開槽圓鋸片制備及噪聲實驗分析

依據優化結果，在原模型基礎上利用激光開槽技術制備了開槽圓鋸片。如圖9所示，1#為普通圓鋸片，2#為開槽圓鋸片，兩種圓鋸片僅基體開槽部分不同。

圖9 普通圓鋸片和開槽圓鋸片Fig.9 Ordinary saw blade and slotted saw blade

為了驗證開槽圓鋸片的降噪效果，對圓鋸片1#、2#進行了鋸切噪聲實驗測量。

3.1 鋸切噪聲指向性分析

圖10為兩種圓鋸片在轉速50 r/s、進給速度為20 mm/s、鋸切深度為10 mm條件下的鋸切噪聲的指向性曲線。測量半徑R=1 m，過鋸片中心軸且垂直于其表面的0°測點為初始測點記做測點1，每隔30°布置一個噪聲測點，依順時針排序測點標號記做測點2，3，…，12。分析發現：①鋸切條件相同條件下，開槽鋸片噪聲聲壓水平均降低，各測點的聲壓級約降低1.8～3.7 dB； ② 確定了開槽圓鋸片能夠有效降低各測點的聲壓水平，驗證了拓撲優化方法的可行性。

圖10 鋸切噪聲指向性實測值Fig.10 Directivity measurement of noise

3.2 鋸切參量對鋸切噪聲影響

為了確定鋸切參量對兩種鋸片的鋸切噪聲的影響關系，以不同的鋸切進給速度為例分別測量了鋸切噪聲值，所測的噪聲值為測點在測量半徑為1 m處的聲壓頻域變化情況，圖11～圖13給出兩種鋸片的鋸切噪聲聲壓-頻率響應特性圖。分析發現：①開槽圓鋸片的鋸切噪聲聲壓在2 000～5 000 Hz對人體影響最敏感頻率段內明顯的降低，實現了能量的衰減；②開槽圓鋸片對人體影響最敏感的中高頻區域的噪聲能量進行了衰減分散，把高強度的“單峰”值分散為較低強度“多峰”值，不僅破壞噪聲的能量集中而且降低了鋸切噪聲輻射強度；③隨著鋸切進給速度增大，兩種鋸片的鋸切噪聲聲壓級均增大，然而相同條件下開槽圓鋸片鋸切聲壓級增長程度較普通圓鋸片聲壓級增長程度要小，因此一定鋸切的條件下，開槽圓鋸片能夠有效的減小環境污染壓力。

圖11 噪聲聲壓頻域曲線圖-ap=10 mm,Vf=10 mm/sFig.11 Frequency domain curve of sound pressure -ap=10 mm,Vf=10 mm/s

圖12 噪聲聲壓頻域曲線圖-ap=10 mm,Vf=15 mm/s Fig.12 Frequency domain curve of sound pressure -ap=10 mm,Vf=15 mm/s

圖13 噪聲聲壓頻域曲線圖-ap=10 mm,Vf=20 mm/sFig.13 Frequency domain curve of sound pressure -ap=10 mm,Vf=20 mm/s

4 結 論

(1)在保證結構的剛度前提下，基于混合元胞自動機算法，建立了以降低鋸片表面振動速度的時空均方值為設計目標的數學模型。對多約束條件下的鋸片開展了拓撲優化分析，得到了基體材料的最優分布形態，通過工藝上的修正得到開槽圓鋸片。

(2)開槽圓鋸片明顯降低了鋸切噪聲輻射強度。在2 000～5 000 Hz對人體影響最敏感頻率段內，鋸切噪聲有效的降低，噪聲峰值由高強度的“單峰”值轉成了低強度“多峰”值，不但破壞噪聲的能量集中現象而且實現了能量的衰減分散。

(3)現場實驗驗證了該動態拓撲優化方法在低噪聲鋸片優化設計領域的可行性。該方法具有普遍適用性，為旋轉類刀具的減振降噪動態拓撲優化提供了新思路。