循循善誘，提升效率

蔡愛(ài)華

[摘? 要] 在初中數(shù)學(xué)的概念教學(xué)中，教師要善于通過(guò)建模處理、開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、利用邏輯演繹、加強(qiáng)學(xué)習(xí)反思等方式來(lái)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)概念，以此提升學(xué)生的概念學(xué)習(xí)效率.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);概念教學(xué);基本策略

學(xué)生的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)離不開(kāi)教師的循循善誘. 那怎樣才能更加有效地對(duì)學(xué)生施以引導(dǎo)呢？下面是筆者有關(guān)教學(xué)策略的思考.

結(jié)合建模處理來(lái)實(shí)施概念教學(xué)

在數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究過(guò)程中，人們?yōu)榱艘欢ǖ难芯磕康模瑢?duì)有關(guān)場(chǎng)景進(jìn)行簡(jiǎn)化，從中提煉出較為純化的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并且在進(jìn)一步的研究中形成數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)，完成對(duì)問(wèn)題的處理. 我們將上述操作稱為“數(shù)學(xué)建模”，它是非常重要的數(shù)學(xué)研究方法，也是人們運(yùn)用知識(shí)來(lái)對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行解決的基礎(chǔ)所在. 同時(shí)，它還是人們用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述客觀世界的重要途徑. 所以，我們引導(dǎo)學(xué)生利用建模思想來(lái)領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)概念，從而有效地提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)他們的學(xué)習(xí)效率[1].

數(shù)學(xué)建模思想在很多概念的形成過(guò)程中都有所體現(xiàn)，所以在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合建模思想來(lái)經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，體會(huì)隱含于其中的簡(jiǎn)化和抽象等數(shù)學(xué)研究方法. 而且，學(xué)生還將由此挖掘概念的內(nèi)涵與外延. 這樣的教學(xué)將概念的特點(diǎn)及學(xué)生的學(xué)習(xí)重心落實(shí)在對(duì)概念進(jìn)行建構(gòu)的各種體驗(yàn)活動(dòng)中，學(xué)生不再拘泥于對(duì)概念字面的反復(fù)咀嚼和辨析. 這樣的處理，不但能讓學(xué)生見(jiàn)識(shí)到數(shù)學(xué)概念的本來(lái)面貌，還能讓學(xué)生明確概念為什么是這樣的.

比如，在幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師讓學(xué)生從物體的大小、方位等空間特點(diǎn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從建模的角度出發(fā)，來(lái)建立長(zhǎng)度、面積、體積和測(cè)度等基本概念. 這樣的處理，可以讓學(xué)生對(duì)知識(shí)的形成過(guò)程有更加深刻而全面的認(rèn)識(shí)，還能使學(xué)生的理解更加透徹.

結(jié)合數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)組織概念教學(xué)

在教學(xué)過(guò)程中，將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引入課堂教學(xué)中，有助于學(xué)生改進(jìn)自己的學(xué)習(xí)方式，同時(shí)有助于豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，讓學(xué)生更加透徹且全面地理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì). 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)包括學(xué)生采用各類教具、學(xué)具以及電腦軟件來(lái)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行探索. 學(xué)生在實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中將充分發(fā)揮自己的觀察、操作、探索和發(fā)現(xiàn)等能力，以此推進(jìn)自己對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)和理解. 在這樣的教學(xué)過(guò)程中，我們要充分做到讓學(xué)生 “在做中學(xué)”.

比如有關(guān)“無(wú)理數(shù)”概念的學(xué)習(xí)，教師可以讓學(xué)生對(duì)兩張邊長(zhǎng)可視為1的紙片進(jìn)行剪拼操作，要求他們拼湊出一個(gè)面積等于2的正方形. 學(xué)生紛紛展開(kāi)操作，采用多種方式來(lái)完成教師安排的任務(wù). 比如圖1所示的解決方案. 教師在此基礎(chǔ)上提出問(wèn)題：請(qǐng)對(duì)自己的拼圖進(jìn)行觀察，你能得出現(xiàn)有正方形的邊長(zhǎng)嗎？學(xué)生從算術(shù)平方根的基礎(chǔ)知識(shí)出發(fā)，得到邊長(zhǎng)等于. 接著，教師繼續(xù)提問(wèn)：請(qǐng)推測(cè)應(yīng)該在哪兩個(gè)整數(shù)之間. 學(xué)生很快便給出了結(jié)論：在1和2之間. 教師追問(wèn)：這個(gè)數(shù)字可以用分?jǐn)?shù)來(lái)表示嗎？這個(gè)問(wèn)題使得學(xué)生的認(rèn)知沖突被激起，教師再引導(dǎo)學(xué)生用計(jì)算器研究這個(gè)數(shù)字的小數(shù)部分. 學(xué)生嘗試輸入一個(gè)介于1和2之間的數(shù)，演算其平方的具體取值，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行調(diào)整，使其平方盡量接近2. 學(xué)生經(jīng)過(guò)不斷的嘗試，終于發(fā)現(xiàn)無(wú)法找到一個(gè)有限小數(shù)，使其的平方恰好等于2. 學(xué)生由此確信是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，“無(wú)理數(shù)”的概念由此浮出水面.

在上述實(shí)驗(yàn)操作中，學(xué)生見(jiàn)證了無(wú)理數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的存在，這樣的處理有助于學(xué)生思維的拓展，而且能增強(qiáng)學(xué)生的合作意識(shí)，能讓學(xué)生充分體驗(yàn)到成功的喜悅.

利用邏輯演繹來(lái)推進(jìn)概念教學(xué)

數(shù)學(xué)研究工作非常強(qiáng)調(diào)邏輯演繹，而概念本身就是邏輯演繹的基礎(chǔ)所在，很多概念之間本就存在著緊密的邏輯關(guān)系. 這些關(guān)系的存在也是讓學(xué)生系統(tǒng)地建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要脈絡(luò)，它為學(xué)生的理解和探索指明了方向，掃平了障礙. 因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師要從概念的內(nèi)在關(guān)系出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從邏輯的角度出發(fā)，多方位地展開(kāi)演繹，由此提升學(xué)生同化知識(shí)的效率[2].

比如有關(guān)“三角函數(shù)”的概念教學(xué)，不少學(xué)生都只是將三角函數(shù)的概念作為三角比概念的后續(xù)內(nèi)容，他們?cè)诖嘶A(chǔ)上就將三角函數(shù)簡(jiǎn)單地理解成三角知識(shí)，并且在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的基本性質(zhì)時(shí)也相對(duì)比較局限，這樣的教學(xué)效果乏善可陳. 在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，我們應(yīng)該讓學(xué)生從函數(shù)的角度著手，認(rèn)識(shí)三角函數(shù)作為函數(shù)的基本特點(diǎn)，幫助學(xué)生跳出三角知識(shí)的框架來(lái)理解各種知識(shí)，讓他們不再將三角函數(shù)作為單純的三角知識(shí)，而是將其納入函數(shù)知識(shí)體系，并從函數(shù)的角度增強(qiáng)對(duì)這一概念的理解和認(rèn)識(shí). 這樣的處理，有助于學(xué)生更加系統(tǒng)地理解概念.

在反思過(guò)程中提升概念教學(xué)

教師在組織學(xué)生進(jìn)行概念學(xué)習(xí)時(shí)，有必要引導(dǎo)學(xué)生積極展開(kāi)各類反思活動(dòng)，由此讓學(xué)生對(duì)概念的本質(zhì)內(nèi)容產(chǎn)生更具本質(zhì)性的認(rèn)識(shí)和理解. 同時(shí)，這必然會(huì)促使學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)經(jīng)歷進(jìn)行反復(fù)的思考和總結(jié)，從中提煉出學(xué)習(xí)方法和研究思想. 課堂小結(jié)時(shí)，很多教師也會(huì)通過(guò)問(wèn)題來(lái)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)當(dāng)堂內(nèi)容進(jìn)行回顧和總結(jié)，他們通常的提問(wèn)包括“結(jié)合這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些內(nèi)容”“你在研究中獲得了哪些認(rèn)識(shí)與體會(huì)”“你對(duì)本課的學(xué)習(xí)還存在什么疑問(wèn)嗎”等等，這些問(wèn)題將引領(lǐng)學(xué)生展開(kāi)反思，并嘗試用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言進(jìn)行總結(jié)和概括. 當(dāng)然，上述問(wèn)題還比較籠統(tǒng)，很多內(nèi)容也比較膚淺. 筆者認(rèn)為，無(wú)論是探究還是反思，學(xué)生都應(yīng)該是唯一的主體，因此，他們依然需要在反思的過(guò)程中主動(dòng)參與實(shí)踐和探索，從而增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的積累和體驗(yàn)[3].

比如，在反比例函數(shù)概念教學(xué)的總結(jié)階段，教師可以圍繞問(wèn)題“你是怎樣理解反比例函數(shù)的”來(lái)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行更具深度的探索和反思.

師：請(qǐng)比較正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的異同.

生1：兩個(gè)函數(shù)的定義方式類似，它們都可以采用一般式進(jìn)行定義.

生2：在兩個(gè)函數(shù)的一般式中，都只存在一個(gè)自變量，而且只有一個(gè)不為零的常數(shù).

生3：它們的解析式形式存在差別，正比例函數(shù)的解析式是一個(gè)整式，而反比例函數(shù)的解析式則屬于分式.

生4：它們自變量的取值范圍存在差別，正比例函數(shù)的自變量可以取一切實(shí)數(shù)，反比例函數(shù)的自變量不能取0.

師：你們能比較一下兩個(gè)函數(shù)在圖像上的差別嗎？比如圖2所示的幾個(gè)圖像，哪一個(gè)可能對(duì)應(yīng)函數(shù)y=這一表達(dá)式？請(qǐng)說(shuō)明理由.

生5：從反比例函數(shù)的自變量取值范圍可知，其函數(shù)圖像的橫坐標(biāo)不能等于0，而且縱坐標(biāo)也不能等于0，因此函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸不存在交點(diǎn)，于是可以排除A，D兩項(xiàng)，只能在B，C中選擇.

師：很不錯(cuò)的分析思路，那么答案到底是B，還是C呢？你們還能給出更進(jìn)一步的分析思路嗎？

生6：應(yīng)該選擇C. 從函數(shù)解析式的角度出發(fā)我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，自變量取正數(shù)時(shí)，函數(shù)值也應(yīng)該取正數(shù);自變量取負(fù)數(shù)時(shí)，函數(shù)值也應(yīng)該取負(fù)數(shù)，即x，y要么同時(shí)是正數(shù)，要么同時(shí)是負(fù)數(shù)，所以答案是C.

生7：老師，我們還可以采用描點(diǎn)作圖的方法來(lái)進(jìn)行分析. 也就是選取幾個(gè)特殊的數(shù)值來(lái)進(jìn)行運(yùn)算，確定一些具有特征的點(diǎn)，就能搞定選項(xiàng).

師：在本課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，你體驗(yàn)到了哪些函數(shù)概念的學(xué)習(xí)方法？如果安排你對(duì)二次函數(shù)的概念進(jìn)行學(xué)習(xí)，你有哪些設(shè)想？

生8：我們可以從實(shí)例、概念、圖像、應(yīng)用等角度來(lái)展開(kāi)研究……

在上述反思引導(dǎo)的過(guò)程中，教師安排學(xué)生自主進(jìn)行各種嘗試和分析，并為多位學(xué)生提供展示的機(jī)會(huì)，這樣的處理能將學(xué)生徹底推向前臺(tái)，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)效率的提升.

在教學(xué)實(shí)踐中，很多策略的使用并不是孤立的，教師要結(jié)合教學(xué)實(shí)際綜合運(yùn)用，以便更好地匹配學(xué)生發(fā)展的需要.

參考文獻(xiàn)：

[1]萬(wàn)榮慶. 清晰概念形成過(guò)程? 突顯數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)——蘇科版必修2“直線的斜率”內(nèi)容分析及教學(xué)改進(jìn)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2017（8）.

[2]郭慶學(xué). 數(shù)學(xué)概念教學(xué)中“概念同化”的幾個(gè)階段——拋物線的定義課例分析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2007（5）.

[3]姜志明. 基于中學(xué)生數(shù)學(xué)空間思維障礙分析的教學(xué)策略探討[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2015（18）.