立足核心素養(yǎng)，雕琢數學課堂

何曉麗 郭海萍

【內容摘要】核心素養(yǎng)是當代課程改革與發(fā)展的靈魂，教師是新課程推行的主體，課堂是教書育人的主要陣地，教師應將“學生為本”的理念與教學實際有機結合，培養(yǎng)并提升學生的核心素養(yǎng)。筆者結合《球的體積和表面積》的教學實際，談談自己在優(yōu)化課堂教學過程中的實踐與思考。

【關鍵詞】核心素養(yǎng)?數學文化?生活實例?探究學習

核心素養(yǎng)是當代課程改革與發(fā)展的靈魂，旨在培養(yǎng)適應社會需要的全面發(fā)展的人。《教育部關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》指出：課程改革的深化“將提出各學段學生發(fā)展核心素養(yǎng)體系，明確學生應具備的適應終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關鍵能力，突出強調個人修養(yǎng)、社會關愛、家國情懷，更加注重自主發(fā)展、合作參與、創(chuàng)新實踐”[1]。高中數學核心素養(yǎng)包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、運算能力、直觀想象和數據分析[2]。教師應將“學生為本”的理念與教學實際有機結合，將核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落到實處。筆者結合立體幾何中《球的體積和表面積》的教學實際，談談自己在優(yōu)化課堂教學過程中的實踐與思考。

一、弘揚數學文化，培養(yǎng)家國情懷

中華民族的文化博大精深，數學文化更是燦爛的瑰寶，在古代數學發(fā)展的歷史長河中涌現出許多杰出的數學家，如劉徽、祖沖之、秦九韶、楊輝等，他們的豐功偉績?yōu)橥苿訑祵W發(fā)展做出了巨大的貢獻。老師在課堂中應充分利用數學文化的寶貴資源，為學生展現他們嚴謹務實、堅韌執(zhí)著的治學態(tài)度，讓他們的敬業(yè)品質和民族精神給學生以心靈的觸動。

【教學實例】由于球的體積和表面積公式在推導證明上比較繁瑣，學生在理解掌握上也比較困難，根據《數學課程標準》要求，學生了解即可，但對其中所蘊含的數學文化和思想的體會，對學生來說卻是難得的機會，因此在授課過程中筆者作了如下處理。

問題：我們回顧了柱體、錐體、臺體的體積和表面積公式及其推導，球既沒有底面，也無法展成平面圖形，那么，要怎樣求球的體積和表面積呢？

對體積問題，學生提出了自己的想法——排液法，“置象大船之上，而刻其水痕所至，稱物以載之，則校可知矣。”借助曹沖稱象之法，取一容器，放入小球，則排開的液體體積即為小球體積。老師首先肯定了同學們的想法，同時也指出局限性，排液法可操作性不強且沒有廣泛的應用性，每次測量都要取容器何其麻煩，測量較大的球體如星球則容器無處可尋，這時，老師介紹祖暅原理——“冪勢既同，則積不容異”，同時不失時機地說：“它是由我國南北朝杰出的數學家祖沖之的兒子祖暅首先提出來的，在西方，球體的體積計算方法雖然早已由希臘數學家阿基米德發(fā)現，但祖暅原理是在獨立研究的基礎上得出的，且內容更豐富，涉及的問題更復雜。17世紀，意大利數學家卡瓦列里在1635年出版的《連續(xù)不可分幾何》中提出了等積原理，他的發(fā)現要比我國的祖暅晚1100多年。”

老師結合教材內容，在課堂中介紹與所授知識有關的數學家、名言、故事等，展示豐富的數學文化，能讓學生在潛移默化中接受熏陶，增強民族自豪感，不但有利于培養(yǎng)學生思考問題的積極性，更重要的是通過人格品行的教育，激發(fā)學生的求知欲。

二、活用生活實例，靈動教學課堂

數學來源于生活，服務于生活，生活為數學提供了豐富的素材，教師要善于利用生活，就地取材，化腐朽為神奇，激發(fā)學生的興趣，幫助學生沖破思想的難關。

【教學實例】老師以問題形式引導學生推導球的表面積公式：球面不能展開成平面圖形，所以球的表面積無法用展開圖求出，那么，要如何推導球的表面積公式呢？

老師結合課件進行回顧：“我們把一個半徑為R的圓分成若干等分，然后重新拼接，把一個圓近似看成邊長分別是R和

R的矩形，當所分的份數不斷增加時，精確度就越來越高;當份數無窮大時，就得到了圓的面積公式。”圓面積的推導過程體現了分割、求近似和、化準確和的極限思想，學生自然而然地聯想到要對球進行分割，設想一個球由許多頂點在球心，底面在球面上的“準錐體”組成，那么問題來了，平面的近似可以理解，立體的分割卻不易接受，這時，老師話鋒一轉：“同學們對學校的田徑場相當熟悉吧，我們平常都把田徑場近似地看成一個平面四邊形，可田徑場也是地球表面的一部分呀。”學生恍然大悟：“這些準錐體的底面并不是真的多邊形，但只要其底面足夠小，就可以看成真正的錐體。”

為鞏固公式的應用，老師給出例題：一只飛蟲被長為2的細繩綁在棱長為4的正方體的底面中心，求飛蟲在正方體內活動范圍的體積。學生很快得出飛蟲的運動軌跡是半球，老師問：“若飛蟲綁在正方體的一個頂點上呢？”有的學生脫口而出“球的四分之一”，此時，老師借助多媒體將球進行復原：“我們把球看成一個西瓜，過球心橫切一刀，分成兩份，豎切一刀，分成四份，再切一刀，分成八份。”這樣，猶如切西瓜般，再現了球被切割的過程，因為貼近生活，學生很快就理解了。

三、適當探究學習，提升思維水平

數學思想方法大部分通過解題教學得以呈現，教師要精選課例，善于挖掘其中所蘊含的數學思想和延伸空間，讓學生從初始的模仿記憶，到主動的理解感悟，豐富學生的解題策略，提升學生的思維水平。

【教學實例】在教授完公式后，筆者設計了與球有關的切接問題的探究活動。

例題：已知小皮球直徑是10cm，在物流快遞中，郵遞員要將此球（充氣狀態(tài)）用正方體紙箱進行打包，怎樣才能做到用料最省？

探究一：正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，如果球O和正方體的棱都相切，求球的表面積。

探究二：正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，如果各個頂點都在球O的球面上，求球的表面積。

本題組以正確把握圖形結構特征為基礎，是空間想象力的直接反映。初學立體幾何，學生的圖形語言表達及空間想象能力相對不足，空間向平面轉化的意識也不夠，為方便學生觀察，筆者利用紙盒、建構球等工具制作了三個教具，并適時引導、鼓勵學生思考討論。

對例題，老師指導學生畫出平面圖形，并組織語言：球內切于正方體，它們的中心重合，切點是六個正方形的中心，過球心及四個切點作截面（球的軸截面），對面中心的連線是球的直徑，即直徑等于正方體的棱長。

教師：在解決此類問題時，一般要通過一些特殊點如球心、切點、頂點，或特殊的線如軸線、高線等，準確作出軸截面，再運用平面幾何知識研究有關元素的位置關系和數量關系。接下來請大家思考，探究題的解題關鍵是什么？

學生1：把空間問題轉化為平面問題，即作出過球心的軸截面。

老師：軸截面有無數多個，要找哪一個？請大家模仿例題描述自己的分析思路，并畫出相應的圖形。

學生2：探究一，球和正方體的中心重合，切點在各棱的中點，過球心作相應軸截面，對棱中點的連線是球的直徑，即直徑等于正方體的面對角線長。

學生3：探究二，球和正方體的中心也重合，頂點都在球面上，球心在對角面內，故過球心作過對角面的軸截面，則直徑與對角線相等。

老師乘勝追擊，讓學生繼續(xù)思考：

探究三：在球面上有四個點P、A、B、C，若PA、PB、PC都等于2且兩兩互相垂直，求這個球的體積。

探究四：已知正四面體的棱長為a，四個頂點A、B、C、D都落在球面上，求這個球的表面積。

對探究三，老師先利用課件進行演示和鋪墊：“我們把正方體沿著面對角線進行切割，可以得到側棱兩兩互相垂直的三棱錐，若正方體的八個頂點都在同一球面上，則三棱錐的四個頂點也在相同的球面上。”學生何其聰慧，一點就通，老師話音未落，馬上回答：“把已知的三棱錐補形成為正方體，本題就轉化成正方體的外接球問題了。”

老師：非常好，我們不知不覺已經利用化歸轉化思想實現了問題的解決。類比探究三，正四面體與正方體有何聯系？

學生4：正方體的面對角線相等，正四面體的六條棱也相等，取正方體中A、C、B 、D

四個頂點即可構成正四面體，所以正四面體的外接球即為對應正方體的外接球。

經過適當的引導，問題迎刃而解。數學問題表象不一，方法卻是相通的，通過探究活動，經歷了啟迪和反思，相信學生能夠更深刻地領會數學思想。

核心素養(yǎng)體系處于深化課程改革、落實立德樹人目標的基礎地位，教師是新課程推行的主體，課堂是教書育人的主要陣地，教師應與時俱進，更新觀念，聚焦核心素養(yǎng)，精雕細琢，畫龍點睛，優(yōu)化課堂教學，讓課堂煥發(fā)生機活力，充分展現其潛在的教育功能，引導學生真正觸及數學問題的本質。實現提升核心素養(yǎng)的目標。

【參考文獻】

[1]孫宏安.數學素養(yǎng)探討[J].中學數學教學參考，2016（10）：7-10.

[2]教育部課程標準修訂組.普通高中各學科核心素養(yǎng)一覽表[EB/OL].

【本文系福州市教育科學研究“十三五”規(guī)劃2017年度課題“聚焦核心素養(yǎng)，優(yōu)化課堂教學一一全國卷背景下高中數學有效教學策略研究”（課題編號：FZ2017GH104）的研究成果之一。】

（作者單位：福建省福清第一中學）