具有脈沖源項的二階半線性奇攝動邊值問題

謝亞南,謝峰

(東華大學理學院,上海201620)

1 引言

奇異攝動理論和方法來源于對天體力學和流體力學邊界層理論的研究[1],目前已是解決非線性問題的重要手段之一.奇異攝動問題廣泛存在于力學、物理、生物等學科中,這類問題的典型特征是其解通常包含多個時間尺度,如解的邊界層現象和內部層現象.至上個世紀九十年代末,二階奇異攝動兩點邊值問題獲得了充分的研究,光滑的二階奇攝動邊值問題的邊界層理論和空間對照理論已較為完善[2?4].

近年來,具有不連續系數和不連續源項的奇異攝動問題受到較多關注[5?8],這類模型經常出現在流固耦合等實際問題中.如文[5]中,Lin? Torsten研究了具有集中點源的對流擴散問題

其中δd=δ(x ?d)為Dirac-delta函數,這是一類典型的具有不連續系數的奇攝動邊值問題.在文[6]中,Gracia 和O’Riordan考慮了一個具有移動脈沖的奇異攝動對流擴散問題,作者構造出解原問題的參數一致的數值方法.

本文研究一類具有典型脈沖源項的二階半線性奇異攝動邊值問題：

其中f(x,y)和g(x)分別為[a,b]×R和[a,b]上的充分光滑函數,0<ε ?1為攝動參數,A和B為給定常數,I(s) = e?s2為脈沖源項.這類問題可以看做是具有集中點源奇攝動問題的光滑化.令ε →0,其退化問題為

這里方程(1.1)的右端不依賴于未知函數的一階導數y′(x),故方程(1.1)為二階半線性微分方程[1].一般而言,它在x=x0處不連續.退化問題的解可看作具有集中點源,因而原問題的解除展示邊界層外,可能會出現內部層現象.本文將用合成展開法和微分不等式理論研究問題(1.1)-(1.2)解的存在性和漸近估計.

2.構造形式漸近解

首先作如下假設:

(H)f(x,y)∈C∞([a,b]×R),存在常數?>0,使得

因退化問題的解在x=x0處的非光滑性,原問題的解除了在x=a和x=b處具有邊界層性質外,在x=x0處可能具有內部層現象.因此,按照合成展開法,我們尋求問題(1.1)-(1.2)的如下形式漸近解y(x,ε)=U(x,ε)+V(ξ,ε)+W(η,ε)+Z(t,ε),其中,U(x,ε)為外部展開,V(ξ,ε)和W(η,ε)為邊界層校正項,Z(t,ε)為內部層展開式,

ξ為伸展變量.邊界層和內部層項vj(ξ),wj(η)和zj(t)滿足邊界層函數性質

我們首先求解的外部展開式.當x≠x0時,考慮到脈沖源項當ε →0時的指數衰減性,原問題變為

在(2.3)式中令ε →0 即得到退化方程f(x,u0) = 0,由假設(H)知它存在唯一光滑的解y=u0(x),x ∈[a,b].比較(2.3)式中ε1,ε2,ε3,ε4的系數,可得

類似地,u4k+1(x)=u4k+2(x)=u4k+3(x)≡0 (k=1,2,···),并可逐次確定u4k(k=2,3,4···).

為構造左邊界層校正項,將y=U(x,ε)+V(ξ,ε)代入(2.1)式和(2.2)中的左邊界條件y(a)=A,可得

其中

在式(2.4)-(2.5)中,令ε的同次冪系數相等,得到

其中P2j?2(ξ)為由v0,v2,···v2j?2逐次確定的已知函數.

并且由假設(H)和文[2]中的定理2.2.3,可得v0(ξ) =O(exp(??ξ)),ξ →+∞.而式(2.7)中每個v2j(ξ)都可以用降階法解出

其中?(ξ)=?˙v0(ξ)為與(2.7)相應的齊次線性微分方程的解.

類似地,將y=U(x,ε)+W(η,ε) 代入(2.1)式和(2.2)中的右邊界條件y(b) =B可逐次確定wj(η)(j=0,1,2,···),其中w0(η) 可以表示為

而

式中ψ(η)=?(η)滿足齊次線性微分方程

Q2j?2(η)為在構造邊界層函數時由w0,w2,···,w2j?2逐次確定的已知函數,并且每個wj(η)當η →+∞時是指數式衰減的.

其退化方程為

由假設(H)可知,它有唯一光滑的解y=φ(t).將y=U(x,ε)+Z(t,ε)代入(2.9)式有

其中

令方程(2.11)兩邊關于ε的同次冪系數相等,得到一系列遞推代數方程,從而可逐次得到z0(t),z1(t),···.例如,z0(t),z1(t)滿足代數方程

從(2.12)(2.13)可得

從前面外部解展開式的推導可知u1=0,u0(x) 滿足代數方程f(x,u0(x))=0.

對上式兩邊關于x在x0處求導,可得

將u1=0和(2.14)代入(2.13),從而z1(t)可以表示為

命題1假設條件(H)成立,內部層校正項z0(t)和z1(t)有如下估計：

證注意到f(x0,u(x0))=0,由(2.10)式可得

從而從假設(H)知

關于z1(t)的估計可由(2.15)式利用假設(H)直接得到.證畢.

至此,我們得到原問題的一階形式漸近解

3 主要結論及證明

引理1[10](不等式理論) 假設函數α(x,ε),β(x,ε)∈C2[a,b] 使得

則邊值問題(1.1)-(1.2)在區間[a,b]上存在一個解y=y(x,ε),且成立不等式

滿足條件(3.1)-(3.4)的函數α(x,ε)和β(x,ε)分別稱為問題(1.1)-(1.2)的一個下解和上解.

定理1假設(H)成立,則問題(1.1)-(1.2)在[a,b] 上存在一個解y(x,ε),且當ε →0 時滿足

證選取界定函數

這里ξ,η,t為前面定義的伸展變量,r >0為待定常數.顯然有,

為證明α(x,ε)滿足式(3.3),將區間[a,b]分成三部分

注意到漸近解的構造過程,可得

其中k >0 使得式(3.5)中|O(ε2)|≤kε2.

可如前類似證明

由(2.9)式知,

利用式(3.6),有

式中(x,?)=(x,u0+z0+εz1?θrε2),0<θ <1.

其中K >0,使得式(3.7)中|O(ε2)|≤Kε2.

這樣我們證明了當r >max{k,K}時,α(x,ε)是問題(1.1)-(1.2)的一個下解.可完全類似可證β(x,ε)是問題(1.1)-(1.2)的一個上解.

顯然,在[a,b]上，α(x,ε)≤β(x,ε).又因為每個當ε →0時為EST,故存在充分小的正數ε0,使得不等式α(a,ε)≤A ≤β(a,ε),α(b,ε)≤B ≤β(b,ε),對每個0<ε ≤ε0成立.根據引理,問題(1.1)-(1.2)在[a,b]上存在一個解y(x,ε),并且滿足

α(x,ε)≤y(x,ε)≤β(x,ε),a ≤x ≤b.

4 例子

考慮兩點邊值問題

其退化問題的解為

左右邊界層v0(ξ),w0(η)分別滿足

它們有精確解v0=e?ξ,w0=e?η.作尺度變換x=εt得到內部層項滿足的方程

易求得內部層展開式的前兩項為z0(t)=e?t2,z1(t)=0.

因此,從定理1知問題(4.1)-(4.2)的一階漸近解為

進一步,從前面漸近解的構造過程我們也容易求出問題(4.1)-(4.2)的二階漸近解

圖1出示了當ε= 0.3時數值解與一階漸近解和二階漸近解的比較.二階漸近解比一階漸近數值解更好地吻合.當ε取更小值時,經典的數值方法將難以得到其數值解,此時漸近解將展示出巨大優勢.

圖1 當ε=0.3時數值解和一階、二階漸近解的比比較