如何幫助學生“數學地”發現和提出問題

【摘 要】受評價和應試的羈絆，數學課堂中教師“滿堂問”、學生不敢問，評價方式的單一嚴重影響了學生“數學地”發現、提出問題的能力。2017年版課標所闡述的數學學科核心素養幾乎都與發現、提出問題的能力有關。教師需要創設問題驅動的課堂，把握一般性思維方法，不斷拓展學生的學習空間，用多元化的評價，培養學生數學地發現、提出問題的能力。

【關鍵詞】發現問題；提出問題；核心素養；教學策略

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2019）11-0038-04

【作者簡介】余建國，南京市大廠高級中學（南京，210044）教師，高級教師，江蘇省特級教師。

筆者觀察，當下高中數學課堂教學普遍存在如下現狀：其一是教師一問到底，將“滿堂灌”變為“滿堂問”；其二是學生不敢問、問不出來，或者由于學生所提問題不外乎對數學概念、解題方法等理解方面的困難，往往因為“價值不大”而被教師所忽略；其三是評價方法的單一，以考代練，以考促學，用這種簡單粗暴的方法壓縮了學生自由學習、思考探究的空間，學生難以成為學習的主人。學校對教師教學效果的評價片面地取決于教學成績的好壞，考試的目的就是選擇優秀學生和淘汰落后學生，單一的紙筆考試形式很難反映學生發現、提出問題的能力。這些現象的背后是學生“發現和提出問題的能力”（以下簡稱“兩能”）的缺失。

一、課標中的“兩能”

在“立德樹人”的總目標下，《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱“2017年版課標”）回應了新的課程改革要求。相比于2001年版的課標，2017年版課標在“課程目標”中將“分析、解決問題的能力”變為“發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”，凸顯了課標組專家對學生“發現和提出問題的能力”的重視。筆者認為，從數學角度發現和提出問題的能力是一個人終身學習能力的基礎，也是數學核心素養的重要體現。

2017年版課標中關于核心素養的論述，處處涉及“兩能”。在數學抽象素養中，要求學生“養成在日常生活和實踐中一般性思考問題的習慣”；“發現問題和提出命題”是邏輯推理素養的主要表現；數學建模素養要求學生“在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題、分析問題、建立模型”“學生能有意識地用數學語言表達現實世界，發現和提出問題”；“直觀想象素養是發現和提出問題，分析和解決問題的重要手段”；“數據分析主要表現為：收集和整理數據”，而收集和整理數據也是發現和提出問題的體現之一。總之，幾個高中數學核心素養幾乎都與發現、提出問題有關。

二、“兩能”的界定

“兩能”是核心素養的重要體現，那么何為“發現問題”“提出問題”？筆者認為所謂“發現問題”，它要求學生對一些現象（生活的、數學內部的）習慣從數學的角度去進行思考，感悟其在數量或者空間方面的某些聯系或矛盾，或在現實與數學的具體情境中獲得一些新的數學信息，通過一定的梳理、概括、提煉，并以數學的方式做出“是什么？為什么？怎么樣？”等方面的思考。

所謂“提出問題”，是在已經發現問題的基礎上采用恰當的數學語言、符號對問題作進一步的數學抽象，并在特定的邏輯線索和數學關系空間中，將問題數學地表征出來。這樣一個發現、提出問題的過程是學生運用數學知識、技能、思想方法乃至基本活動經驗進行數學抽象（數學化）、建立模型和邏輯推理的過程，也是學生進行數學交流、數學表達以及主動運用數學的意識及態度的過程。學生通過進一步對問題作出分析，選擇策略、方法，最終解決問題，整個數學問題解決的過程突出了對能力的培養。

美國數學家哈爾莫斯說：“問題是數學的心臟。”問題解決的過程首先是發現、提出問題，然后才是分析、解決問題。愛因斯坦說過，提出一個問題往往比解決一個問題更重要，因為解決問題也許僅僅是一個數學上或實驗上的技能而已，而提出新的問題、新的可能性，從新的角度去看舊的問題，卻需要創造性的想象力。創新性的成果往往始于問題，發現問題、提出問題是創新的基礎。

三、“兩能”的培養策略

課堂教學是培養學生數學地發現、提出問題能力的沃土。教師不僅是知識的講授者，還應該是課堂教學的引導者、組織者和學生學習的合作者、評判者，扮演著數學活動中的顧問、辯論會主席、對話人、咨詢者等多方面的角色。[1]教學活動的設計必須從知識的形成過程出發，并符合學生學習數學的認知規律，讓數學學習的過程充滿質疑、判斷、比較、推理等多樣化的活動。正如數學教育家張奠宙先生所說的那樣，把數學知識的學術形態轉化為生動活潑的教育形態。

1.創設問題驅動的課堂。

研究始于問題，同樣，教學也應該始于問題。教師要善于將教材進行二次開發，轉換成一系列問題序列，使教學成為問題解決的活動過程；教師更要善于創設問題情境，引導學生自己去發現、提出問題。

【案例1】空間向量的基本定理。

師生回憶，兩個非零向量只能線性表示它們所在平面內的向量，不在這個平面內的向量就不能線性表示了。而根據共線定理，一個非零向量只能表示與它共線的向量。將共線定理、平面向量的基本定理和剛才的“不能”問題放在一張表內，如表1。

問題2：我們需要幾個基向量才能線性表示某一空間內的任意向量？這些基向量滿足什么要求？你覺得這個依據該叫什么名字？

問題1的追問與學生已有的知識結構相沖突，是學生發現問題的“先行組織者”；通過列表，有助于學生在已經發現問題的基礎上采用恰當的數學語言、符號對問題作進一步的數學抽象，并在特定的邏輯線索和數學關系空間中，將問題數學地表征出來，這就是“提出問題”的能力。從一維、二維到三維，創設適當的問題情境，讓學生發現問題，驅動學生提出問題，用類比的方法猜想結論，探究定理的證明方法，既加深了學生對數學的理解，又提高了抽象概括的水平，發展學生的數學抽象素養。

2.把握一般性思維習慣。

高中數學課程是一個整體，課程的整體性既體現在代數、幾何、統計與概率等各部分內容之間的相互聯系上，也體現在同一部分內容中知識的前后邏輯關系上，特別是在數學核心概念所反映的數學思想方法的前后一致性上。[2]因此，遵循數學的內在邏輯關系，發現、提出有價值的數學問題既可以從同一數學學科內在的邏輯發展必然性中產生，也可以從不同數學學科的聯系中產生。

【案例2】向量的概念及表示。

教師用一組情境讓學生提煉出其中的量：溫度、速度、力……分析這些量的聯系和區別。學生知道它們分屬標量與矢量。結合三角函數中“有向線段”的概念，從中分化、抽象出它們的共同本質——既有大小又有方向的量，從而定義向量。

對于一個新的“量”，我們如何研究呢？如果不知道，我們可以先回顧一下如何研究數量（實數）的。每個學生發一張表格，列出要研究的問題（主題）及其相應的具體內容，大膽猜測，可以相互討論。教師展示各小組的表格，如“向量如何表示？”“向量的大小就是線段長嗎？”“有相反向量、倒數向量的說法嗎？”“向量怎么運算？”“有沒有單位向量、零向量？”等等都是有價值的問題。教師與學生一起分析，這些問題涉及三個方面：概念的表示，大小和方向，運算。類比實數，逐次從這三個角度展開研究，運算雖未涉及，卻為下面的學習留下懸念。

這種利用同一數學學科內在的邏輯發展必然性設計的教學，采取以舊引新的方法引出內容，使學生認識到它們在思想方法上的一致性，培養學生運用數學抽象的學科素養思考并解決問題。主題（單元）教學在培養“兩能”、發展學生一般性思維方法中很有作用。

3.拓展自主學習的空間。

數學教育家史寧中先生指出：“發現問題更多地是指發現了書本上不曾教過的新方法、新觀點、新途徑以及知道了以前不曾知道的新東西。”[3]實事求是地講，僅僅靠訓練應用題習題，學生不可能有史先生所說的“新方法、新觀點、新途徑、新東西”的，必須將學生的思維引導到現實生活中，“用數學的眼光觀察世界”。因此，解決實際問題的需要，也是引導學生發現和提出數學問題的基本策略。

當然，實際生活中的問題遠比習題復雜得多，發現、選擇可以研究的問題并清晰地加以表述無疑是其中重要的一環，教師在這個環節要加強引導，如推薦課題，指導方法，甚至共同參與。當然，更多的時候是教師不斷鼓勵學生通過自主發現、小組遴選、分析討論等過程，從生活中、學習中發現和提出具有挑戰性和數學價值的問題。

2017年版課標把“數學建模活動與數學探究活動”作為高中數學的主線之一，因為它們具有問題性、情境性、綜合性、開放性、實踐性、創造性等特征，使它們更契合數學學科核心素養的本質屬性和特點，所以，在核心素養的視域下，教學更應該強化這兩類活動，拓展學生自主學習的空間。

4.科學評價發現的“結果”。

2017年版課標指出：“評價既要關注學生學習的結果，更要重視學生學習的過程。”過去，對學生的學習評價過分強調甄別的功能，使得學業成績成為學生排名的主要工具。現在，我們必須建立目標多元、方式多樣、重視過程的評價體系。

雖然學生發現、提出的問題在深刻性、原創性、獨特性以及表達的流暢性等方面差別很大，數學價值也有區別，但是都應該得到教師的鼓勵并導向更加深刻的思考：是怎么想到的？這是一個數學問題嗎？這個問題與什么數學知識和方法有關？解決的方法和結論合理嗎？能不能進一步優化、推廣？積極鼓勵學生積累發現、提出問題的經驗。

方式多樣，既是指發現、提出問題的方式，也是指評價的方式。教師要鼓勵學生將自己的發現記在檔案里，寫進日記里，通過進一步的探究和討論，寫成數學調查報告、數學建模報告或數學小論文、數學課題結題報告等，召開報告會、討論會、發布會，營造民主開放的學習氛圍，鼓勵和引導學生逐步學會發現問題，并敢于提出問題，發揮評價的引導功能。

培養學生數學地發現、提出問題的能力，除了上文所述，還有如傳統文化因素的改良、教師育人觀念的改變、考試命題的進步、社會和家長的人才觀的發展等，限于篇幅且囿于筆者的認識，就不再贅述。總之，如何培養學生數學地發現、提出問題的能力，需要我們在實踐中深入思考，開展教學實驗研究，在課堂教學中尋找途徑和策略，實現“立德樹人”的教育目標。

【參考文獻】

[1]余建國.如何在數學概念教學中實現“過程性目標”[J].數學通訊，2013（10）：1-4.

[2]章建躍.有價值的問題從何而來[J].中小學數學：高中版，2014（4）：66.

[3]史寧中，柳海民.素質教育的根本目的與實施路徑[J].教育研究，2007（8）：10-14，57.