著眼于矛盾落實設問教學的實踐與反思

☉江蘇省海門中學 楊智慧

教師在授課中往往會著眼于矛盾的激發并借此來引導學生在思考與討論中進行自主探索，因此，怎樣站在矛盾的焦點上引導學生探索成為了廣大教師共同關注的問題.筆者參加青年教師基本功比賽之后獲得了一定的感悟和思考，借助教學的某些實踐性片段與同仁們作一定的交流.

一、課堂教學片段

問題情境：取一張長方形16K白紙并在距底邊一定距離處取一點F，現將白紙進行折疊并使每次折疊時的底邊都能經過點F，折疊20至30次后形成一系列折痕，如圖1所示，觀察折痕所圍輪廓，用光滑的曲線將其連起并使其與折痕均相切，形成的曲線是怎樣的呢？

圖1

圖2

追問：對折痕所圍輪廓為拋物線，可以如何進行說明？

生1：底邊與點F能確定一條拋物線這是比較清晰的，因此可將其設為C，如圖2.在直線底邊上作點F關于折痕的對稱點M，并過點M作MP與底邊垂直，與折痕相交于點P，可知PF=PM，即點P到定底邊的距離等于點P到定點F的距離，因此，點P在拋物線C上.另外，取折痕上異于P的一點P′，過P′作NP′與底邊垂直，可知FP′≠P′N，因此點P′不在拋物線C上，這就意味著折痕跟拋物線之間只存在一個交點，由此可知折痕為拋物線的一條切線.也就是說，折紙后所得的若干條切線將該拋物線包圍了起來.

問題1：大家在生活和數學學習中可曾關注到一些拋物線呢？

生2：噴泉.

生3：鉛球被扔出去后的軌跡.

生4：投三分球.

生5：二次函數的圖像.

……

師：生活中時時處處都有拋物線的痕跡，由此可見拋物線在我們生活中的重要性，不僅如此，拋物線在科學技術等范圍的應用也很廣泛，那么大家知道什么叫拋物線嗎？請大家回憶：平面上不在直線l上的定點F到定直線l距離相等的點的軌跡即為拋物線.點F和直線l則被分別稱作該拋物線的焦點與準線，通常用字母p來表示焦點F到準線l的距離，稱作拋物線的焦參數.

（運用幾何畫板進行拋物線形成的演示）

追問：大家認為哪個點在拋物線的所有點中是較為特殊的？為什么？

設計意圖：拋物線頂點建立在原點這一最佳建系方式是本節課接下來要探究的內容，此處的設計是一種鋪墊.

生6：定點F到定直線垂線段的中點即為拋物線的頂點.

問題2：有同學之前提及了二次函數的圖像也是拋物線，如y2相應的定點和定直線.拋物線方程和二次函數的解析式應該保持高度的一致性，從解析式求定點和定直線目前看來不可行，那是因為建立方程的過程在此時并不存在，因此，我們應對這一過程進行探索.

問題3：拋物線的方程應該怎樣建立呢？

追問1：大家還記得怎樣建立曲線的方程嗎？

眾生：①建立直角坐標系；②設曲線上動點的坐標；③看幾何限制條件；④將坐標代入幾何條件；⑤化簡方程.就是之前歸納過的“建設限（現）代化”.

追問2：假如焦點F與準線l之間的距離為p（p＞0），坐標系應如何建立呢？

學生討論后呈現以下建系方式，如圖3：，大家能否運用定義對其進行證明呢？

師：事實上，這一問題就是尋找

分別求出以下方程：

追問3：三個方程各有哪些特點？最簡潔的是哪一個？

引導學生總結得出：（1）、（2） 均含有常數項，（3）最簡潔.

追問4：（3）最簡潔的理由何在？

學生在片刻思索之后很快將注意力放在了沒有常數項上.

師：數學學科的簡潔美正表現于此.

師：所以我們將y2=2px稱作拋物線的標準方程，焦點到準線的距離即為p.

問題4：大家能否將橢圓、雙曲線的兩種形式的方程進行類比并得到其他拋物線方程呢？

學生完成表1：

表1

問題5：上述四個標準方程的共同特點是什么？怎樣記憶？

學生在思考、討論和總結后獲得“一次定焦點、正負定方向”的口訣.

師：大家回頭再看問題2，拋物線y=x2的焦點F、準線l分別是什么呢？

大家不約而同地感受到了初中所學的二次函數圖像是不同建系下的拋物線.

課堂小結（.略）

二、教學設計的反思

1.小結

（1）引導學生在折紙活動中發現本課的研究對象并建立初步的體驗與感知，折紙活動雖然在教材上也有所編排，但難度相對較大，經過改編后的折紙活動簡單且易操作，筆者在通過幾何畫板演示動態的過程中花了較多的時間，學生在這一演示過程中的收獲與課堂反饋令筆者感到欣慰，這是筆者的嘗試與改編.

（2）從學生熟悉的二次函數入手說明二次函數的圖像為拋物線是學生易于接受的，但證明學生不會，學生在“憤、悱”中頓時燃起興趣的火苗，符合學生最近發展區的設計令學生對問題展開了積極的探索，學生在初中已有知識的基礎上順利構建起了新的知識體系.

（3）筆者在教學設計中比較注重學生的自主發現，將教學內容、數學思想、數學方法融合在一起，并引導學生進行探索，引導學生對研究世界的空間形式和數量關系進行深入的思考與探究，學生在領略數學刻畫問題的過程中更好地感受到了數學概念及研究對象的發生、發展過程，學生在參與數學結論的發現過程與數學概念系統的創建過程中往往會獲得更多的體驗與感悟.

（4）筆者對于其他開口方向的拋物線的標準方程的探究設計是引導學生對橢圓、雙曲線方程進行類比而獲得的，學生在焦點不同、圖形旋轉中進行了大膽的猜測、推理與論證，這些方法上的類比很好地促進了學生能力的遷移.

（5）筆者在此課的設計中始終沒有忽略“育人”的教學立足點，且在具體教學中盡量將教學提升至文化育人的高度.本課開始時設計了學生齊聲朗讀M·克萊因名言的環節，問題3的探究過程中引導學生對數學的簡潔美進行了比較和感受，前面推導橢圓方程時引進b2=a2-c2、推導雙曲線方程時引進b2=c2-a2的方法也是細微之處見精神.

2.不足

（1）提“問題”、提“好問題”是具體教學中的一項重要任務，教師可以將自己教學中想說的或者想告訴學生的都設計成問題，并令學生在問題的思考中獲得答案是至關重要的.教師在學生遭遇困難時適時介入的“啟”和“發”給予學生的不僅僅是茅塞頓開，更多的是思維上的拓展.筆者在處理問題的環節中投入了較多的時間，導致學生進行鞏固練習的時間明顯不夠，在問題5上的討論上給予學生的時間也明顯不足，學生的討論倉促而不夠充分，筆者也因此過早地進行了歸納記憶與課堂小結.

（2）課堂小結也因為時間的倉促而過于簡單，學生自主參與小結的過程太過簡單，由此看來，有必要適當縮減之前的教學時間并為學生的小結反思預留更多的時間.

（3）課后的探究問題沒有來得及布置.學生的課后思考是課堂教學的延伸，是學生對上節課所學內容的反思、體驗、鞏固與拓展，也是后續學習必要的鋪墊，但也因為時間的不夠而沒有得到落實.

3.改進

教師可以運用視頻展示折紙的步驟以節約時間，學生也能在直觀中獲得清晰的感知并順利折出拋物線，對研究對象形成清晰感知的同時，更加容易獲得成功的體驗.W