基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)下的數(shù)列教學(xué)研究

☉江蘇省張家港市塘橋高級(jí)中學(xué) 湯 鴻

數(shù)列，作為高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，一直是高考命題的熱點(diǎn)，高考數(shù)列考什么的話題已成“老生常談”.當(dāng)下，在我們排除應(yīng)試教育干擾的情況下，從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)角度重新審視數(shù)列教學(xué)，我們應(yīng)該教會(huì)學(xué)生什么呢？我們知道，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)主要包含數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析等六個(gè)方面.［1］那么，在數(shù)列教學(xué)中，我們?cè)撊绾巫尳虒W(xué)內(nèi)容處處體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)呢？筆者談幾點(diǎn)拙見，供同仁參考.

一、教會(huì)學(xué)生從函數(shù)的角度看數(shù)列

任何一個(gè)數(shù)學(xué)觀念的產(chǎn)生都有它的前因后果.數(shù)列誕生于函數(shù)，又不同于普通的函數(shù).因此教會(huì)學(xué)生從函數(shù)角度看數(shù)列就包含了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)據(jù)分析等能力的培養(yǎng).

數(shù)列雖然可以看作一類特殊的函數(shù)，但它有著自身獨(dú)特的解決問題的方法，什么事情都是一分為二的，如果我們教學(xué)生一遇到數(shù)列問題，就想到用函數(shù)方法求解，這就有失偏頗了，只抓矛盾的普遍性而忽視了矛盾的特殊性，這是數(shù)列教學(xué)中極易走入的誤區(qū).因此我們應(yīng)該讓學(xué)生知道，數(shù)列是函數(shù)，但不可認(rèn)為數(shù)列就是函數(shù)，不可將數(shù)列與函數(shù)等同起來.［2］

例1 已知數(shù)列{an}.

（1）若an=n2-5n+4，則：①數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？②n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值.

（2）若an=n2＋kn＋4，且對(duì)于n∈N*，都有an+1＞an成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

分析：（1）本題雖然是數(shù)列問題，但其實(shí)是求二次函數(shù)的最小值問題，與二次函數(shù)不同的是，這里的自變量n是正整數(shù).（2）數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，本題的通項(xiàng)公式可以看作相應(yīng)的解析式f（n）=n2+kn+4，f（n）在其定義域上單調(diào)遞增，但自變量不連續(xù).因此我們可以從二次函數(shù)的對(duì)稱軸研究其單調(diào)性.我們也可以利用an+1＞an恒成立，即轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題.

點(diǎn)評(píng)：（1）當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng)公式可以看作一個(gè)定義在N*上的二次函數(shù)時(shí)，通常可以利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸研究其單調(diào)性，從而得到實(shí)數(shù)k的取值范圍，使問題圓滿解決.

（2）在運(yùn)用二次函數(shù)的觀點(diǎn)解決數(shù)列問題時(shí)，一定要注意二次函數(shù)所對(duì)應(yīng)的拋物線的對(duì)稱軸的位置.

本題是一個(gè)數(shù)列問題，卻用函數(shù)的思想加以解決.同時(shí)，體現(xiàn)出了數(shù)列是一類特殊的函數(shù).

二、教會(huì)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)看數(shù)列

萬事萬物都存在著聯(lián)系，用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題，有助于我們把握數(shù)列的本質(zhì)，從而更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系，等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系，以及數(shù)列解題方法之間的聯(lián)系，都是數(shù)列教學(xué)的好素材.

用聯(lián)系的觀點(diǎn)分析問題與解決問題，有利于學(xué)生形成科學(xué)的世界觀，有利于學(xué)生更好地把握數(shù)列的內(nèi)涵，從而不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

解析：本題是等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合性問題，如何解決此類問題？需通過知識(shí)與方法的“雙重”聯(lián)系才能解決.知識(shí)層面上的聯(lián)系，是等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系，方法層面上的聯(lián)系，是數(shù)列{Tn}最值與數(shù)列單調(diào)性的聯(lián)系.

點(diǎn)評(píng)：解答本題，處處體現(xiàn)了聯(lián)系的觀點(diǎn)和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).從原問題中抽象出等比數(shù)列模型，又與數(shù)列的單調(diào)性聯(lián)系，求出數(shù)列{Tn}最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值，而對(duì)奇偶數(shù)的分析與最值的運(yùn)算，體現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算這兩個(gè)最基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

數(shù)列是什么？數(shù)列是一列按一定次序排列的數(shù)，這是數(shù)列的本質(zhì).研究數(shù)列，其實(shí)就是揭示數(shù)列中各項(xiàng)之間的內(nèi)在聯(lián)系和不同數(shù)列之間的內(nèi)在聯(lián)系.當(dāng)我們用聯(lián)系的觀點(diǎn)去審視數(shù)列問題時(shí)，思維就會(huì)被打開.不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)列求和中的錯(cuò)位相減法與等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)，有著驚人相似的一幕，而數(shù)列求和的倒序相加法，正是啟發(fā)于等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo).因此，教會(huì)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)看數(shù)列，切實(shí)可行，也十分有效.

三、教會(huì)學(xué)生用數(shù)列的眼光看世界

教會(huì)學(xué)生用數(shù)列的眼光看世界，既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模的要求，同時(shí)體現(xiàn)了數(shù)列教學(xué)的落腳點(diǎn)，用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，也是新課標(biāo)的教學(xué)目的.于此同時(shí)，教師也可以將數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化滲透其中，讓學(xué)生感受到數(shù)列知識(shí)的博大精深與數(shù)列歷史的源遠(yuǎn)流長(zhǎng).

于此同時(shí)，在數(shù)列教學(xué)中，我們要時(shí)刻關(guān)心身邊的客觀世界，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，并用數(shù)列的觀點(diǎn)與方法去解決問題.

例3 張家港市2017年發(fā)放汽車牌照12萬張，其中燃油型汽車牌照10萬張，電動(dòng)型汽車牌照2萬張.為了節(jié)能減排和控制總量，從2017年開始，每年電動(dòng)型汽車牌照的發(fā)放量按50%增長(zhǎng)，而燃油型汽車牌照每一年比上一年減少0.5萬張，同時(shí)規(guī)定一旦某年發(fā)放的牌照超過15萬張，以后每年發(fā)放的電動(dòng)型汽車牌照的數(shù)量維持在這一年的水平不變.

（1）記2017年為第一年，每年發(fā)放的燃油型汽車牌照數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}，每年發(fā)放的電動(dòng)型汽車牌照數(shù)構(gòu)成數(shù)列{bn}，完成表1，并寫出這兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；

表1

（2）若從2017年算起，你能算出二十年發(fā)放的汽車牌照總量嗎？

解析 ：（1）

表2

所以從2017年算起，二十年發(fā)放的汽車牌照總量為229.25萬張.

點(diǎn)評(píng)：現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)列問題的模型極為廣泛，如物群的生長(zhǎng)和消亡，人們生活中的收入與支出等.解決此類問題的途徑有兩種：一是列舉前幾項(xiàng)，尋求規(guī)律，滿足某種數(shù)列；二是尋求任意前后兩項(xiàng)間的關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為遞推式問題.這些都是數(shù)列教學(xué)的好素材.

用數(shù)列的眼光看世界，也是學(xué)生研究性學(xué)習(xí)的好素材，是數(shù)列教學(xué)中值得做大做強(qiáng)的一篇好文章.

新的時(shí)代呼喚新的教育，新的教育呼喚核心素養(yǎng).教師應(yīng)解放思想，擺脫應(yīng)試教育的束縛，讓核心素養(yǎng)觀滲透到每一節(jié)數(shù)學(xué)課中去.或許我們會(huì)少做幾個(gè)難題，或許階段性測(cè)試會(huì)暫時(shí)落后，但我們收獲的是學(xué)生思維的可持續(xù)發(fā)展.