高中學生數學學習“錯誤”的再認識

☉寧夏銀川市第二中學 邱旭琴

學生學習中的“錯誤”既然在所難免，教師也只有好好探索處理這些“錯誤”的方法并將其變“廢”為“寶”了，將學生的“錯誤”視作寶貴的教學資源并好好運用，能夠使學生在“錯誤”中獲得新的領悟并最終形成正確、清晰而深刻的認知.“錯題本”在高中學生的數學學習中是最常用的一種形式，學生的查漏補缺與走出思維誤區往往會在“錯題本”的有效利用中獲得良好的效果.筆者根據學生在學習中的實際表現進行了處理“錯誤資源”的思考與探索，在處理手段和方法上有了一些體會并將其形成于文.

一、從教師的“錯誤”上激發學生數學學習的動力

“人無完人”這一古語為大家所熟知，教師在教學中出現錯誤也在所難免，有經驗的教師在教學設計中往往會根據學生常見的錯誤特意犯錯，或者故意將學生容易疏漏的知識點設計到自己的教學設計中，在課堂教學中引導學生發現這些錯誤并提出質疑，這種“借題發揮”的方式往往能夠更好地引導學生進行科學的探究，使學生在探究正解的過程中充滿熱情與動力并逐漸獲得成功的愉悅體驗，數學學習的自信也就逐步建立了.

例如，教師在“函數與不等式”相關知識的復習教學中就可以故意設置“破綻”，并給學生機會來發現這些“破綻”，從而有效地促進學生學習的動力，使學生在逐步增強學習自信的過程中越來越投入地進行數學學習.具體教學片段如下：

案例1：已知當x≥0時，函數f（x）=x2+1，當x＜0時，函數f（x）=1，若不等式f（1-x2）＞f（2x）成立，則x的取值范圍如何？

圖1

學生感覺教師的這一解法比較順理成章，因而沒有意見產生，此時教師可以運用一系列問題來啟發學生進行再思考.

師：一道題得解之后還應該做些什么呢？

生：應該回頭檢查所得結論是否符合要求.

生1：剛才的解題過程好像有問題，x=-2并不能令（f1-x2）＞（f2x）成立啊！

教師：很好，生1聯想到了特殊值檢驗法，并對我們剛才的解題過程進行了回顧，那么大家認為出錯的地方在哪兒呢？

生2：函數（fx）的圖像在區間（-∞，0）上是平行于x軸的線，在區間［0，+∞）上是上升曲線；函數（fx）在R上不會單調遞增，與（f1-x2）＞（f2x）等價的是1-x2＞2x且1-x2＞0，即-1＜x＜-1+.

生1對于教師解題上的質疑是學習自信、勇于挑戰權威的表現，能夠打破教師權威這一定式思想的重要表現對于學生在數學概念的理解上具有重要的意義，不僅如此，學生還會在提升質疑能力的同時產生對數學學習的積極情緒.

解析：如圖1，由題意作函數f（x）的圖像，根據函數單調遞增的性質將f（1-x2）＞f（2x）轉變成1-x2＞2x，即-1-

二、借助學生的“錯誤”引導學生自主發現

很多有經驗的教師在教學中特別注重學生知識學習的“生長點”，事實上，這是值得所有教師重視、珍惜和利用的寶貴資源.學生在實際學習中往往會對同一數學知識或問題形成不同的理解和觀點，其中不乏有些“荒謬”的想法，數學教師在面對學生的不同觀點時應做到“大肚能容”，允許學生犯錯并借助學生的這些“錯誤”引導學生自主發現，使學生在積極發現、思考、交流、爭論中實現共同糾錯，并最終對數學問題有深刻的認知和理解，數學教師所期待的舉一反三、觸類旁通往往也會在這一過程中實現，學生認知上的不足往往會因此得到有效彌補，學習能力的提升自然不再是空談.

例如，以下是一道高一的函數問題，筆者在講評此題時故意將學生的錯誤進行了“暴露”，這一做法旨在引導學生自主發現和認識，事實上，學生在激烈的思辨中確實獲得了更多更好的體驗與認知，具體教學片段如下：

師：大家覺得這一解法是否正確？

生1：這個解法跟我答卷時的解法差不多，我感覺沒有錯，但我的解題被扣了3分，應該是有問題的吧.

生3：對，有漏洞，應該補充說明x=0也是方程（fx）=x的唯一解（a≠0，b=1，Δ=0，ax+b≠0），這樣才完全正確.

師：綜合大家的發言，該題是不是完全解決且沒有問題了呢？

生4：由（fx）=x有唯一解可得Δ=（b-1）2=0的結論并不唯一，還有一種可能Δ=（b-1）2＞0（b≠1），則方程ax2+（b-1）x=0（a≠0）的兩個根為x=1（實根），x=0（增根），則2ax+b=b=0.

引導學生自主發現錯誤并因此對問題展開新的審視往往能夠促進學生對數學問題的深層次理解，學生在深層次理解問題的過程中也會更好地提升自身的能力，并從“錯誤”中得到更多的啟發，學生也會因此積累更加豐富的解題經驗.不僅如此，教師根據學生的“錯誤”所作出的針對性教學也能更好地改進其教學的手段和方法，在對學生所作出的科學引導和剖析給學生帶來深入思考和感悟的同時，教師與學生在針對性的教與學中均獲得了自身成長.

三、挖掘學生的“錯誤”根源并追溯教學的薄弱點

很多教師在某個章節的教學結束之后往往會詢問學生是否都已掌握，學生在教師的這一問題下往往會選擇肯定的答案，其中的原因自然是多種多樣的，教師面對學生的肯定態度之時往往也不會深究學生在學習中存在的問題，教師的這一疏忽自然會令一些學生在具體解題時犯錯，事實上，教師的這一忽視正是其實際教學中存在的薄弱點.學生因為對概念理解的淺薄、對知識的負遷移、不良習慣及過分依賴直覺思維等多種因素會在解題中出錯，教師在實際教學中應對學生的錯誤進行分析，引導學生積極結合直覺思維、發散思維、合情推理與邏輯對實際問題進行分析，學生思維的嚴謹性往往會在教師的有意培養中得以提升.例如，學生經常出現的計算錯誤這些往往都是思維習慣或負遷移導致的錯誤，教師在實際教學中應結合具體案例進行糾正，一帶而過的教學往往無法令學生的知識負遷移及思維習慣得到改善.

還有的學生會在不等價變形與推理中產生解題錯誤，教師在這些糾錯教學中應結合具體的案例進行辨析，將自己教學中可能存在的缺陷和不足進行反復的思考并令學生獲得真正且深刻的認知和理解.例如，零點判定問題中，函數（fx）在［a，b］上有零點的充分條件為（fa）·（fb）＜0；若（fa）·（fb）＜0不成立，也不能說明（fx）在［a，b］內沒有零點.導數性質中，函數（fx）單調遞增的充分條件為f（′x）＞0，函數（fx）存在極值的必要條件為f（′x）=0.運用反例進行實際教學的案例比較少見，很多教師也將這些知識點留到復習教學中重點講解，這種教學方式往往會導致“夾生飯”的形成.

由此可見，解題中的有些錯誤并不能完全歸咎于學生本身，教師在實際教學中的設計與落實也往往會存在問題，因此，教師在實際教學中應能客觀分析學生錯誤的根源并進行教學手段與方式的調整與改進，使學生能夠更好地理解數學知識和規律，這種反思教學欠缺的行為對教學質量和效益的提升來說具有積極的意義.

總之，學生在數學學習中出錯是非常普遍的，教師在實際教學過程中應充分重視“錯誤”資源的價值并對其進行有效研究，在幫助學生糾錯、提升的同時反思教學上的缺陷，思考教學方法與策略的改進，并因此促成教師與學生在教與學中的共同進步.W