摭談類比思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用實踐

☉江蘇省泰州中學(xué) 周花香

類比思想方法是數(shù)學(xué)思想方法的一種，高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出，類比思想方法的運用是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的重要途徑之一，是形成創(chuàng)新思維的基礎(chǔ)；實踐表明，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中靈活地運用類比思想，有助于學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)新知，有助于學(xué)生形成解決數(shù)學(xué)問題的思路，有助于學(xué)生獲得知識類比遷移的能力.眾所周知，數(shù)學(xué)問題中類比方法主要運用于類似形式、性質(zhì)、解題方法等方面，在高中數(shù)學(xué)的圓錐曲線部分，圓、橢圓、雙曲線之間存在很多相似性.多數(shù)教師用來體現(xiàn)類比思想方法的巧妙性的極佳素材.筆者根據(jù)教學(xué)實踐，借助圓、橢圓、雙曲線三種圓錐曲線為探究載體，從“定值、定點、定軌跡”三個角度進行類比，旨在拋磚引玉，僅供教育同仁參考，不當(dāng)之處，敬請批評指正.

一、類比思想與定值問題的“接觸”

圓的性質(zhì)1：已知A，B為⊙O上任意兩點，且滿足OA⊥OB，則S△OAB為定值.

二、類比思想與定點問題的“碰撞”

圓的性質(zhì)2：已知點P為⊙O上任意一點，過點P作圓的兩條直線分別交圓于點M和N，且滿足MP⊥NP，則MN過某一定點.

三、類比思想與定軌跡問題的“共舞”

圓的性質(zhì)3：已知在⊙O：x2+y2=r2外存在一動點P，過P點作⊙O的切線PM，PN（M，N為切點），且滿足PM⊥PN，則動點P的軌跡方程為x2+y2=2r2.

橢圓與圓類比：已知A（x0，y0）為橢圓0）外一動點，AE，AF是橢圓的兩條切線，且AE⊥AF，則動點A的軌跡方程為x2+y2=a2+b2.

證明：若直線AE和AF中有一條直線平行于y軸（斜率不存在），則動點A的坐標(biāo)為（a，b）.若直線AE和AF都不平行于y軸，令過A點的直線方程為y=kx+m，代入橢圓方程，得（a2k2+b2）x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.令Δ=0，即b2+a2k2=m2，根據(jù)題意，點A在直線y=kx+m上，即y0=kx0+m，則（y0-kx）02=b2+a2k2，化簡此式，可得（x02-a2）k2-2x0y0k+y02-b2=0，根據(jù)韋達定理，可知由題意知過A點的兩條切線AE⊥AF，即k1k2=-1，則x2+y2=a2+b2.雙曲線與橢圓類比：已知A（x0，y0）為雙曲線外一動點，AE，AF是雙曲線的兩條切線，且AE⊥AF，則動點A的軌跡方程為x2+y2=a2-b2.

證明：根據(jù)題意，直線AE和AF都不平行于y軸，令過A點的直線方程為y=kx+m，代入雙曲線方程，得（b2-a2k2）x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0.令Δ=0.即a2k2-b2=m2，根據(jù)題意，點A在直線y=kx+m上，即y0=kx0+m，則（y0-kx0）2=a2k2-b2，化簡此式，可得（x02-a2）k2-2x0y0k+y02+b2=0.根據(jù)韋達定理，可知由題意知過A點的兩條切線AE⊥AF，即k1k2=-1，則x2+y2=a2-b2.

圓的性質(zhì)4：已知A（x0，y0）為圓⊙O：x2+y2=r2上一個固定點，過點A作圓的任意兩條弦AE和AF，且AE⊥AF，過A點作AD⊥EF于D點，則垂足D的軌跡方程為，即（x-x0）x+（y-y0）y=0.

橢圓與圓類比：已知A（x0，y0）為橢圓b＞0）上一個固定點，過點A作橢圓的任意兩條弦AE和AF，且AE⊥AF，過A點作AD⊥EF于D點，則垂足D的軌跡

四、結(jié)束語

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，類比思想方法的靈活運用有助于學(xué)生鏈接數(shù)學(xué)新知識和舊知識，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)體系；學(xué)生在數(shù)學(xué)類比探究的過程中不斷體驗數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)概念的形成過程，在自主探究的學(xué)習(xí)過程中感悟運用數(shù)學(xué)類比思想方法處理實際問題的優(yōu)越性與實效性.實踐表明，類比思想方法是數(shù)學(xué)解題教學(xué)中常用的解題方法之一，作為一線高中數(shù)學(xué)教師，在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，應(yīng)該積極創(chuàng)造條件，引導(dǎo)學(xué)生進行類比思想方法的有效運用，培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升.W