動中求“定”，三招搞定“定值”問題

☉江蘇省灌云高級中學 任之庭

解析幾何中的定值、定點、定圓和定直線等問題是江蘇數學高考中的“常客”，由于它涉及面廣、綜合性強，且具有一定難度，因而，經常令許多考生“忘題興嘆”.那么，求解這類問題有哪些基本策略呢？本文教你三招.

第一招：設參消參，定值自現

所謂定值，就是動中有“定”，雖然有的量在變，但某個值不變，而變的量往往可以用參數刻畫，當聯立幾個等式消去參數后，定值自然會“浮出水面”.

例1 （2018年安徽合肥高三二模）已知點A（1，0）和動點B，以線段AB為直徑的圓內切于圓O：x2+y2=4．

（Ⅰ）求動點B的軌跡方程；

（Ⅱ）已知點P（2，0），Q（2，-1），經過點Q的直線l與動點B的軌跡交于M，N兩點，求證：直線PM與直線PN的斜率之和為定值．

分析：（Ⅰ）設以線段AB為直徑的圓的圓心為C，取A（′-1，0），借助幾何知識分析可得動點B的軌跡是以A，A′為焦點，長軸長為4的橢圓，根據待定系數法可得動點的軌跡方程為B；（ ） 當直線垂直于 軸時，=1Ⅱ①lx不合題意；②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y+1=k（x-2），與橢圓方程聯立消元后可得二次方程，根據二次方程根與系數的關系及斜率公式可得kPM+kPN=3，故其和為定值．

解：（Ⅰ）結合圖形，利用定義法，不難算得動點B的軌跡方程為（過程略）

（Ⅱ）①當直線l垂直于x軸時，直線l的方程為x=2，此時直線與橢圓l相切，與題意不符．

②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y+1=k（x-2）．

由消去y整理得（4k2+3）x2-（16k2+8k）x+16k2+16k-8=0．

因為直線l與橢圓交于M，N兩點，所以Δ=（16k2+8k）2-4（4k2+3）（16k2+16k-8）＞0，解得k＜

點評：通過設出動直線方程，與橢圓方程聯立，進而運用韋達定理直接推理、計算，并在計算、推理的過程中消去變量，從而得到定值．這是常規思路，主要考查考生的推理能力和計算能力.

第二招：特值探路，心中有數

解題要有目標意識，定值究竟是多少，可以通過特值法求得，然后通過一般的運算加以證明.例 已知 ，是橢圓2 F1F2（ ）的兩個焦=1a>b>0點，M是與F1，F2不共線的橢圓上的點，設I為△MF1F2的內心，延長MI與FF交于點N，如圖1，求證12為定值.

圖1

點評：特殊探路，一般證明，這種從特殊到一般的思維鎖定了解題的最終目標.與二次曲線有關的探求定值問題，常以曲線的頂點、焦點及相交弦的端點等作為點的特殊位置，而與對稱軸平行或垂直的直線作為直線的特殊位置，在推證時，往往要借助參數，將變量轉化為常量，這種轉化的難易，既與參數的選擇有關，也與證明途徑有關.

第三招：方程思想，整體代換

定值問題離不開方程思想，與此同時設而不求、整體代換為這類問題開辟了一條捷徑.

例3（2018年江蘇南通、徐州、揚州等六市高三二模）如圖 ，在平面直角坐標系 中，，是橢圓2

xOyB1B2=1（a＞b＞0）短軸的端點，P是橢圓上異于點B1，B2的一動點.當直線PB1的方程為y=x+3時，線段PB1的長為4

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設點Q滿足：QB1⊥PB1，QB2⊥PB2，求證：△PB1B2與△QB1B2的面積之比為定值.

圖2

點評：在解析幾何中，常常會遇到兩曲線的交點及相關點的問題，若用常規方法通過解方程組求交點，往往運算量大，易出差錯；若設而不求，使用整體思維，便可簡捷求解.本解法不僅采用了“設而不求”的思想方法，而且實施了“整體代換”，從而使解答更簡捷.

圓錐曲線定值問題，歷來是高考的一個難點，難就難在方法的選擇上，若方法不當，往往無功而返.如果把握了上述三招，那么解答此類問題必定“旗開得勝，馬到成功”.W