一題四大招 妙解離心率

☉江蘇省揚中市第二高級中學 張 麗

著名科學家錢學森先生說過：“模型就是通過對問題現象的分解，利用我們思考得來的原理去吸收一切主要的因素，略去一切不主要的因素，所創造出來的一幅圖畫.”圓錐曲線中的離心率問題一直是考試的熱點問題，也是歷年高考、自主招生、數學競賽中比較常見的一類問題.通過不同方式的設置，求解相應離心率的值、最值、取值范圍等，充分考查了圓錐曲線中橢圓或雙曲線的幾何性質.下面結合一道設置背景新穎的橢圓問題，通過多角度思維的切入解決橢圓的離心率問題，且知識板塊融合巧妙，方法多樣，是創新與素養培養的好場所.

例 （2019屆江蘇省某市高三上學期期中考試·13）橢圓的兩個頂點A（a，0），B（0，b），過A，B分別作AB的垂線交橢圓T于D，C（不同于頂點），若BC=3AD，則橢圓T的離心率是______.

本題以橢圓為問題背景，綜合平面幾何、平面解析幾何等相關知識，以求解橢圓的離心率為目的來設置題目.問題的創新亮點在于過不確定的兩頂點A（a，0），B（0，b）分別作AB的垂線交橢圓T于D，C（不同于頂點），結合兩線段關系BC=3AD的明確性來切入，為轉化與求解提供條件.同時，本題的求解較為繁雜，計算量也大，很好地考查了數形結合思想、邏輯推理能力及運算求解能力等，從而提升素養，拓展品質.

當我們閱讀并理解完一道題以后，要不斷領悟反思，從多角度切入并進行深度挖掘，從而達到觸類旁通、一題多解的效果.不同的切入點有不同的解法，多點思維，多向開花.

由題目條件確定直線AB的斜率，結合AB⊥AD得到直線AD的方程，利用直線AD與橢圓T的方程的聯立，結合根與系數的關系的轉化確定點D的橫坐標，同理可以確定點C的橫坐標，再通過題目條件利用向量的坐標運算建立關系式得到a2=3b2，最后結合橢圓的離心率公式加以轉化與求解即可.

由題目條件確定直線AB的斜率，結合AB⊥AD得到直線AD的方程，利用直線AD與橢圓T的方程的聯立，結合根與系數的關系及弦長公式求得AD長度的表達式，同理可以求得BC長度的表達式，再通過題目條件BC=3AD加以轉化，可以化簡得到a2=3b2，最后結合橢圓的離心率公式加以轉化與求解即可.

設出點D（x1，y1），C（x2，y2），結合條件的轉化得到，通過向量的坐標運算確定x2，y2的表達式，結合點D，C都在橢圓T上，聯立方程，并通過化簡得到3bx1-ay1-3ab=0，再結合條件求解直線AD的方程，利用點D在直線AD上，確定相應的直線斜率相等，化簡得到a2=3b2，最后結合橢圓的離心率公式加以轉化與求解即可.

解法3：設點D（x1，y1），C（x2，y2）.

由于AB⊥BC，AB⊥AD，則有BC∥AD.

設出點D（x0，y0），進而確定的坐標，根據題目條件的轉化得到從而得以確定點C的坐標，利用AB⊥AD，由建立相應的關系式，再結合點D，C都在橢圓T上，聯立方程，并通過化簡得到3bx0-ay0-3ab=0，通過兩方程的對比確定相應的關系式，化簡得到a2=3b2，最后結合橢圓的離心率公式加以轉化與求解即可.

其實，圓錐曲線的離心率作為一個重要的概念，是描述圓錐曲線形狀特征的一個主要要素，特別是圓錐曲線中離心率的求解與應用，內涵豐富且綜合性強.解決此類問題時，關鍵是要抓住題目條件與關鍵點，掌握一些比較常見的解題思維與相應方法是求解圓錐曲線離心率的主要策略之一.W