對一道三元代數(shù)式最值題的多解及變式探究

☉浙江省杭州高級中學 錢可悅

在近幾年的高考題與模擬題中，經(jīng)常會碰到求解雙元或多元代數(shù)式最值或取值范圍的問題.此類問題往往難度系數(shù)比較大，但通過細致認真的觀察，往往可以發(fā)現(xiàn)其中的特殊規(guī)律，解題思維方式多變，方法有時也多樣.下面結(jié)合一道三元代數(shù)式最值題來加以剖析，從多角度切入，達到殊途同歸的效果，并加以進一步的拓展與探究.

一、問題呈現(xiàn)

本題是在正數(shù)條件下對三元分式的最小值進行求解，通過從不同的觀察點切入，利用不同的思維方法處理，從待定系數(shù)法與拆分系數(shù)法角度變換不同位置的相應(yīng)系數(shù)，再結(jié)合基本不等式的應(yīng)用求解三元分式的最小值.進而通過深入探究，并加以進一步的變式與拓展，從而培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)并提升學生的解題能力.

二、多解思維

根據(jù)表達式，從分母入手，通過待定系數(shù)法設(shè)出ab+2bc=ta·，結(jié)合基本不等式的應(yīng)用與轉(zhuǎn)化得到參數(shù)之間的關(guān)系進而通過變換來確定分式的最值問題.

根據(jù)表達式，從分子入手，通過待定系數(shù)法設(shè)出a2+b2+c2=a2+tb2+（1-t）b2+c2，結(jié)合基本不等式的應(yīng)用與轉(zhuǎn)化得到參數(shù)之間的關(guān)系2，進而通過變換確定分式的最值問題.

解法2：設(shè)a2+b2+c2=a2+tb2+（1-t）b2+c2.

根據(jù)表達式，觀察分母中字母的組合與系數(shù)關(guān)系，有針對性地對分子中所對應(yīng)的b2的系數(shù)“1”加以拆分，進而利用基本不等式的轉(zhuǎn)化，并通過分式的化簡確定最值問題.

解法3：結(jié)合基本不等式，可得：

點評：解決本題可以根據(jù)分子或分母中的系數(shù)特點并利用待定系數(shù)法處理，也可以通過分子與分母中的系數(shù)關(guān)系加以巧妙配湊，再利用基本不等式處理.而通過對該題的深入分析，拓展思維，改變條件，可以得到意想不到的效果.

三、拓展變式

其實，如何確定解題思維并把問題歸結(jié)為同一個熟悉的“問題”來處理是解決問題的關(guān)鍵，也就是解題方法與技巧，以不變應(yīng)萬變，熟練解決問題，真正達到“認真解答一道題，拓廣解決一類題，變式深化一片題，思維能力一起高”的美好目的.

變式方向1：改變?nèi)鷶?shù)式的分母中的系數(shù)，通過系數(shù)的配湊變化進行變式拓展.

變式方向2：改變?nèi)鷶?shù)式的分母中的代數(shù)式，并改變分子中的系數(shù)，變成更為一般的三元分式情況，通過更為復雜的系數(shù)的配湊變化進行變式拓展.

通過多解思維與拓展變式等不同角度來探究，巧妙地把該題的底蘊充分挖掘并展示出來，從多角度出發(fā)，多方面求解，多層次拓展，真正體現(xiàn)了對數(shù)學知識的融會貫通，也充分展現(xiàn)了知識的交匯與綜合，真正達到培養(yǎng)素養(yǎng)、提升能力、拓展應(yīng)用的目的，進而真正達到在學中“悟”，在“悟”中不斷提升與拓展的解題技能.正如我國著名的數(shù)學家蘇步青先生所說：“學習數(shù)學要多做習題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.”W